专题39 几何探究题（6大类型）（原卷版）.docx

1、模块三 重难点题型专项训练 专题39 几何探究题（6大类型） 考查类型考查类型一 非动点探究题考查类型二 动点探究题考查类型三 平移探究题考查类型四 旋转探究题考查类型五 折叠探究题考查类型六 类比探究题新题速递考查类型一 非动点探究题例1 （2022宁夏中考真题）综合与实践知识再现如图，中，分别以、为边向外作的正方形的面积为、当，时，_问题探究如图，中，（1）如图，分别以、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、，则、之间的数量关系是_（2）如图，分别以、为边向外作的等边三角形的面积为、，试猜想、之间的数量关系，并说明理由实践应用（1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角

2、度至，、相交于点求证：；（2）如图，分别以图中的边、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、为直径的半圆柱的体积分别为、若，柱体的高，直接写出的值例2 （2022辽宁朝阳统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，BAD60，BCD120，ABAD，连接AC求证：BC+CDAC(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DEBC，连接AE根据BAD+BCD180，推得B+ADC180，从而得到BADE，然后证明ADEABC，从而可证BC+CDAC，请你帮助小明写出完整的证明过程(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的

3、数量关系，并说明理由(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，AC与BD相交于点O若四边形ABCD中有一个内角是75，请直接写出线段OD的长各地的中考数学试题中,最后一道压轴题以代数和几何的综合性问题最为常见,而非动点坐标系图形探究问题,更是近年的重点与难点,这类问题往往自成一系,解法有规律可循.非动点坐标系图形探究问题,是指以坐标系中的特殊图形如特殊三角形,特殊四边形,相似图形或特殊直线等为探究对象,以初中代数和几何难点内容相结合为背景,以数形结合为研究方法的题型.通过图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值,建立方程或函数模型去求解,是解决这类问题的关键.【变式1】（2

4、022重庆统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EGAE交BC于点G，若AB8，AD6，BG2，则AE（）ABCD【变式2】（2022四川绵阳东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平行四边形中，于点E，点F为的中点，与相交于点P，则的长为_【变式3】（2022山东青岛山东省青岛第二十六中学校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究探究一：如图1，在中，求的面积在中，探究二：如图2，中，求的面积（用含、代数式表示），写出探究过程探究三：如图3，中，求的面积（用、表示）写出探

5、究过程问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：_（用文字叙述）问题应用：如图4，已知平行四边形中，求平行四边形的面积（用、表示）写出解题过程问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、表示），其中，考查类型二 动点探究题例1 （2022辽宁阜新统考中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），连接，(1)如图，求证：；(2)直线与相交于点如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；如图，连接，若，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值例2 （2022吉林长春统考中考真题）如图，在中，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点

6、B运动，连结作点A关于直线的对称点，连结、设点P的运动时间为t秒(1)点D到边的距离为_；(2)用含t的代数式表示线段的长；(3)连结，当线段最短时，求的面积；(4)当M、C三点共线时，直接写出t的值从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图象等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索及发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力为意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力，图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决

7、“动点”探究题的基本思路.【变式1】（2021江苏南通统考一模）如图，ABC中，ACB90，A30，BC2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE，则CD+EF的最小值为()AB3C1+D3【变式2】（2023陕西西安交大附中分校校考一模）如图，在矩形中，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时，点运动的距离为_.【变式3】（2022广东云浮校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，连接，若平分

8、，求点P的坐标；(3)如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由考查类型三 平移探究题例1 （2019天津统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6,0），点B在y轴的正半轴上，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2.（）如图，求点E的坐标；（）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为设，矩形与重叠部分的面积为S如图，当矩形与重叠部分为五边形时，分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）例2 （2012四川达州中

9、考真题）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D的坐标为（ ），点E的坐标为（ ）.（2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式；（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动；在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；运动停止时，求抛物线的顶点坐标.平移类几何探究题，需要注意平移的概念，同时观察平移的状态，找到对应的概念；

10、【变式1】（2022河南洛阳统考二模）如图，的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为将沿x轴向右平移得到，使点落在函数的图象上若线段扫过的面积为9，则点的坐标为（）ABCD【变式2】（2021浙江温州统考模拟预测）如图，直线分别与轴，轴交于点，直线分别与轴，轴交于点，直线，相交于点，将向右平移5个单位得到，若点好落在直线上，则_【变式3】（2021四川德阳二模）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，若抛物线与抛物线相交于点，连接，求点的坐标；判断的形状，并说明理由；（3）在（

11、2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 考查类型四 旋转探究题例1 （2022山东菏泽统考中考真题）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE(1)直接写出CE与AB的位置关系；(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长例2 （2022辽宁锦州统考中考真题）如图，在中，D，E，F分别为的中点，连接 (1)如图1，求证：；(2)如图2，将绕点

12、D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长考察点1：手拉手模型手拉手模型，亦称为共顶点等腰型，一定会出现旋转型全等。其衍生模型有等腰对补角模型和等腰旁等角模型考察点2：”脚拉脚”模型。构造辅助线思路是先中线倍长，再证明旋转全等。半角模型加强原题呈现：半角模型，又称为夹半角模型，半角旋转模型。常用辅助线做法，旋转或折叠。其中核心处理思路是通过几何变换把图形条件转化和集中，从而找到问题的突破口【变式1】（2022江苏无锡统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形按如图所

13、示摆放在第一象限，点B的坐标为，将矩形绕着点O逆时针旋转（），得到矩形直线、与直线相交，交点分别为点D、E，有下列说法：当时，矩形与矩形重叠部分的面积为；当，且落到y轴的正半轴上时，的长为；当点D为线段的中点时，点D的横坐标为；当点D是线段的三等分点时，的值为或其中，说法正确的是（）ABCD【变式2】（2022贵州黔东南统考二模）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且，则这个等边三角形ABC的边长为_【变式3】（2022山东济宁校考二模）如图1，正方形对角线、交于点，、分别为正方形边、上的点，交于点，且，为中点(1)请直接写出与的数量关系(2)若将绕点旋转到图2所示位置时，（1）中的结论是否成

14、立，若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)若，为中点，绕点旋转过程中，直接写出点与点的最大距离_考查类型五 折叠探究题例1 （2022山东菏泽统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC(1)求抛物线的表达式；(2)将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标并求出四边形OADC的面积；(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标例2 （2022吉林长春统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图，矩形为它的示意图他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图中他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B

15、的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想【问题解决】(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形是矩形，由折叠可知，请你补全余下的证明过程【结论应用】(2)的度数为_度，的值为_；(3)在图的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图，设，则的最小值为_（用含a的代数式表示）折叠类的几何探究题，需要注意对应边、对应角的相等关系，再利用几何图形的性质可求解；【变式1】（2022江苏无锡无锡市天一实验学校校考二模）已知：如图，在RtABC中，A=90，AB=8

16、，tanABC=，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将CMN沿MN翻折得EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sinNCE的值为（）ABCD【变式2】（2022浙江宁波统考一模）如图，矩形中，分别与边相切，点M，N分别在上，将四边形沿着翻折，使点B、C分别落在、处，若射线恰好与相切，切点为G，则线段的长为 _【变式3】（2022福建宁德统考二模）在中，点E是BC的中点，点F在AD上将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形(1)利用图1，求证：；(2)如图2，连接BD，若，当点落在BD上时，求EF的长；(3)如图3，当点恰好落在线段CD上时，求证

17、：直线与直线CD重合考查类型六 类比探究题例1 （2020山东烟台统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF【问题解决】（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CFCD；【类比探究】（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由何为类比？类比结构构造，是几何压轴题的一类模型，在中考数学压轴题中经常出现。那么，什么是类比构造呢？在初一学习平行线的时候，我们就接触过类比结构的题型，比如：拐角模型（也有部分老师细分成猪蹄模型、铅笔模型等）。下图是经典的拐角模

18、型范例：（1）当拐角在两平行线内部时（内拐、外拐）；（2）当拐角在两平行线外部时（上拐、下拐）；（3）当出现多个拐角时。何为类比？类比结构构造，是几何压轴题的一类模型，在中考数学压轴题中经常出现。那么，什么是类比构造呢？在初一学习平行线的时候，我们就接触过类比结构的题型，比如：拐角模型（也有部分老师细分成猪蹄模型、铅笔模型等）。下图是经典的拐角模型范例：（1）当拐角在两平行线内部时（内拐、外拐）；（2）当拐角在两平行线外部时（上拐、下拐）；（3）当出现多个拐角时。何为类比？类比结构构造，是几何压轴题的一类模型，在中考数学压轴题中经常出现。那么，什么是类比构造呢？在初一学习平行线的时候，我们就接

19、触过类比结构的题型，比如：拐角模型（也有部分老师细分成猪蹄模型、铅笔模型等）。下图是经典的拐角模型范例：（1）当拐角在两平行线内部时（内拐、外拐）；（2）当拐角在两平行线外部时（上拐、下拐）；（3）当出现多个拐角时。【变式1】（2022江苏镇江统考一模）【探究发现】在中，M是边上一点，将沿折叠得到如图1，若与线段相交，连接，在上取一点P，使，交于点Q，证明：；探究与的数量关系，并写出探究过程；【类比学习】如图2，在中，M是边AC上一点，将沿折叠得到，若与线段相交，连接，在上取一点P，使，交于点Q， （用含n的式子表示）；【拓展应用】在前面的发现和探究的经验下，当时，M是的中点时，若，求的长【变

20、式2】（2022江苏扬州校考三模）在矩形中，【问题发现】(1)如图1，E为边上的一个点，连接，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由【类比探究】(2)如图2，G为边上的一个点，E为边延长线上的一个点，连接交于点H，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由【拓展延伸】(3)如图3，点E从点B出发沿射线运动，连接，过点B作的垂线交射线于点F，过点E作的平行线，过点F作的平行线，两平行线交于点H，连接，在点E的运动的路程中，线段的长度是否存在最小值？ 若存在，求出线段长度的最小值；若不存在，请说明理由【变式3】（2022广东深圳深圳市大鹏新区华侨中学校考模拟预测）【问题背景

21、】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，EFAE，AEF90，点G是射线BC上一点，求证：tanFCG1；证明思路：取AB的中点K，连接EK，证明AKEECF，所以ECFAKE，又可证BKBE，所以BKE45，可证FCG45，从而结论成立；(1)【类比证明】在上例中，如图2，如果点E是边BC上与点B不重合的任意一点，其余条件不变，上述结论仍成立吗？如果成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)【深入探究】如图3，在矩形ABCD中，点E是边BC上与B不重合的任意一点，ABkAD，AEkEF，AEF90，点G是射线BC上一点，则tanFCG ；(3)【拓展应用】如图4，在RtACB中

22、，ACB90，点E是边AC上与A不重合的任意一点，ABkAC，BEkEF，BEFBAC，AE3，EC2，点G是射线AC上一点，若CFEB，请直接写出此时k的值【培优练习】1（2022福建福州校考一模）如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点则下列结论：，其中正确结论的有（）A4个B3个C2个D1个2（2022重庆重庆八中校考模拟预测）如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（）ABCD3（2022广东深圳校考二模）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，点在直线l：ykx8上直线l分别交x轴，y轴于点E，F将正方形A

23、BCD沿x轴向左平移m个单位长度后，点B恰好落在直线l上则m的值为（）A2B4C6D84（2022广东深圳深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则DCE的面积为（）A8B5C7.5D65（2021浙江湖州模拟预测）如图，已知在等腰RtABC中，ACB90，AD为BC边的中线，过点C作CEAD于点E，交AB于点F若AC2，则线段EF的长为（）ABCD6（2022广东深圳深圳市海滨中学校考模拟预测）如图，已知RtABC的斜边BC和正方形DEFG的边DE都在

24、直线l上（BCDE），且点C与点D重合，ABC沿直线l向右匀速平移，当点B与点D重合时，ABC停止运动，设DG被ABC截得的线段长y与ABC平移的距离x之间的函数图像如图，则当x3时，ABC和正方形DEFG重合部分的面积为（）ABCD7（2022江苏扬州校联考三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90到EF，连接DF，CF，则DFCF的最小值是（）A4B4C5D28（2022湖北鄂州统考一模）如图，已知正方形的边长为3，点E是边上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接，则当之和取最小值时，的周长为（）ABCD9（2022黑龙江哈尔滨校

25、考二模）如图，平行四边形中，点E在边上，连接，F在上，若，则_10（2022四川绵阳东辰国际学校校考模拟预测）如图，在正方形中，点E为对角线上一点，交边于点F，连接交于点G，若，则的面积为_11（2022浙江宁波统考一模）如图，矩形中，分别与边相切，点M，N分别在上，将四边形沿着翻折，使点B、C分别落在、处，若射线恰好与相切，切点为G，则线段的长为 _12（2020湖北武汉统考一模）如图，在中，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则_13（2023广西玉林一模）如图，在菱形中，点，分别在，边上，且，与交于点，若，则四边形的面积为_14（2022广西南宁统考三模）如图，若点是正方形外一点，则

26、的正切值是_15（2022山东菏泽菏泽一中校考模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边，上，且则现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为如图，连接，(1)如图，请直接写出与的数量关系(2)将旋转至如图所示位置时，请判断与的数量关系和位置关系，并加以证明(3)在旋转的过程中，当的面积最大时，_（直接写出答案即可）16（2022宁夏银川银川唐徕回民中学校考三模）如图，的边在轴上，点为的中点，点A的坐标为，反比例函数的图象经过点A，将沿轴向右平移得到，与反比例函数的图象交于点，连接(1)求反比例函数的解析式(2)在平移过程中，当时，求点的坐标17（2022黑龙江哈尔滨校考二模）在中，过作的平行线，交的平分线

27、于点，点是上一点，连接，交于点，(1)如图1，求证：四边形是菱形；(2)如图2，若，点、分别是、边中点，连接、，不添加字母和辅助线，直接写出图中与所有的全等的三角形18（2018江西景德镇统考二模）如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”(1)知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是”“旋转位似图形”；如图1，与互为“旋转位似图形”，若，则 ；若，则 ；(2)知识运用：如图2，在四边形中，于，求证：和互为“旋转位似图形”；(3)拓展提高：如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求出和的值19（2022辽宁盘锦校考一模）如图1，在中，于点D，连接，在上截取CE，使，连接（1）直接判断与的数量关系；（2）如图2，延长交于点F，过点E作交BC于点G，试判断与之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若，求的长20（2022四川绵阳东辰国际学校校考模拟预测）如图，在中，斜边，经过原点O，点C在y轴的正半轴上，交x轴于点D，且，反比例函数的图象经过A、B两点(1)求反比例函数的解析式(2)点P为直线上一动点，求的最小值