专题39 数列中的探索性问题（教师版）.docx

1、专题39 数列中的探索性问题数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：反设：设要证明的结论的反面成立作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论存真：否定反设，从而得出原命题结论成立一、题型选讲题型一 、数列中项

2、存在的问题 例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）设等差数列的公差为d，由得，解得，；（2）， ，若，则，整理得，又，整理得，解得，又，存在满足题意例2、（江苏省响水中学2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在，成等比数列，且；，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，数列的前n项和为，若 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n

3、项和（3）设等比数列的首项为2，公比为，其前项和为，若存在正整数，使得，求的值.【解析】（1）选 ，选 4分 （2） 8分（3）由（1）可得， 由，得， 所以， 因为，所以，即， 由于，所以， 当时，当时，所以的值为 12分例3、(2018无锡期末）已知数列an满足，nN*，Sn是数列an的前n项和(1) 求数列an的通项公式；(2) 若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；(3) 是否存在kN*，使得为数列an中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由【解析】 (1) 因为，nN*，所以当n1时，1，所以a12，(1分)当n2时，由和

4、，两式相除可得1，即anan11(n2)，所以，数列an是首项为2，公差为1的等差数列，于是，ann1.(4分)(2) 因为ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，所以于是或(7分)当时，解得当时，无正整数解，所以p5，q9.(10分)(3)假设存在满足条件的正整数k，使得am(mN*)，则m1，平方并化简得，(2m2)2(2k3)263，(11分)则(2m2k5)(2m2k1)63，(12分)所以或或(14分)解得m15，k14或m5，k3或m3，k1(舍去)综上所述，k3或14.(16分) （公众号：高中数学最新试题）题型二、 数列中的等差数列或者等比数列的存在问题例4、（

5、河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）已知正项数列的前项和为,，其中为常数(1)证明：(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)证明：因为，所以，所以因为，所以，所以，所以（6分）(2)解：因为，所以，两式相减，得因为，即，所以，由，得 若是等比数列，则，即，解得 经检验，符合题意.故存在，使得数列为等比数列 (12分)例5、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，且2Snaan，数列bn满足b1，2bn1bn.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设数列cn满足cn，求和c1c2cn；(3) 是否存在正

6、整数p，q，r(pqr)，使得bp，bq，br成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，r；若不存在，请说明理由【解析】 (1) 2Snaan，2Sn1aan1，得2an1aaan1an，即(an1an)(an1an1)0.因为an是正数数列，所以an1an10，即an1an1，所以an是等差数列，其中公差为1.在2Snaan中，令n1，得a11，所以ann.(2分)由2bn1bn得，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以，即bn.(5分)(注：也可累乘求bn的通项)(2) 由(1)得cn，所以cn，(7分)所以c1c2cn.(9分)(3) 假设存在正整数p，q，r(pqr)，使得b

7、p，bq，br成等差数列，则bpbr2bq，即.因为bn1bn，所以数列bn从第二项起单调递减当p1时，.若q2，则，此时无解；若q3，则，且bn从第二项起递减，故r4，所以p1，q3，r4符合要求；(11分)若q4，则2，即b12bq，又因为b1br2bq，所以b1Mn1，mnMn1an1，则anan1a2a1，而此时有mnmn1a1，不合题意，故两不等式中至少有一个取等号若d0，则必有MnMn1，所以anMnMn1an1，即对n2，nN*，都有anan1，所以Mnan，mna1，bnbn1d，所以anan12d，即an为等差数列(7分)若d0时，则必有mnmn1，所以anmnmn1an1，

8、即对n2，nN*，都有anMn时，则Mn1an1，mn1mn，此时an1Mn1Mnan，所以an1an对nN*恒成立，则Mnan，mn1mna1，所以bn1bnp，即an1an2p，为常数，则数列an是等差数列(7分) （公众号：高中数学最新试题）若mnan1Mn时，则Mn1Mn，mn1mn, 所以bn1bn.因为数列bn是等差数列且bnpnq，所以p0，bnq，所以Mn1MnMn1M1a1q，mn1mnmn1m1a1q，所以qan1q，即anq，即an为常数数列，所以数列an是公差为0的等差数列(8分)若an1mn时，则Mn1Mn，mn1an1，此时an1mn1mnan，所以an1an对nN*恒成立，则Mn1Mna1，mnan，所以bn1bnp，即an1an2p，为常数，则数列an是等差数列(10分) （公众号：高中数学最新试题）