专题3对角互补模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题3对角互补模型解题策略模型1：全等形90对角互补模型 模型2：全等形120对角互补模型模型3：全等形任意角对角互补模型模型4：相似形90对角互补模型 经典例题【例1】（2021全国九年级专题练习）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，EAF=12BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系（1）思路梳理将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，使AB与AD重合，由B+ADC=180，得FDG=180，即点F，D，G三点共线，易证AFGAFE，故EF，BE，DF之间的数

2、量关系为_；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，EAF=12BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D，E均在边BC上，且DAE=45，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为_.【例2】（2019山东枣庄中考真题）在ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC于点D,（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且BMN=90，当AMN=30，AB=2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且EDF=90，求证：BE=

3、AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且BMN=90，求证：AB+AN=2AM;【例3】（2022江苏八年级课时练习）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF=12BAD请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：_；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF=12BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且EAF=12BAD请画出图形（除图外），并直接写出

4、线段EF，BE，FD之间的数量关系【例4】（2022全国八年级课时练习）四边形ABCD是由等边ABC和顶角为120的等腰ABD排成，将一个60角顶点放在D处，将60角绕D点旋转，该60交两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于E、F两点（1）当E、F都在线段AB上时（如图1），请证明：BM+AN=MN；（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2），请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若AC=7，AE=2.1，请直接写出MB的长为 培优训练一、解答题1（2022陕西西安市第三中学七年级期末）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，

5、AB=AD，B=ADC=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，ABC+ADC=180，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出EAF与DAB

6、的数量关系2（2021陕西交大附中分校八年级开学考试）问题探究（1）如图，已知A=45，ABC=30，ADC=40，则BCD的大小为_；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=ADC=90，对角线BD=6求四边形ABCD的面积；小明这样来计算延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明ABDCBE，从而可以计算四边形ABCD的面积请你将小明的方法完善并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，ABC=60，ADC=30，DC=40米，AD=30米请计算出对角线BD的长度3（2021福建三明八年级期中）感知：如图，AD平分BAC

7、，B+C=180，B=90判断DB与DC的大小关系并证明探究：如图，AD平分BAC，ABD+ACD=180，ABDAC，点E在BC上，点D在AB上，CE=CA，连接DE，ACB+ADE=180，CHAB，垂足为H证明：DE+AD=23CH8（2020湖南湘西中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，BAD=90，BCD=90，BA=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明BCGBAE，再证明BFCBFE，可得出结论，他的结论就是_

8、；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，BAD=90，BCD=90，BA=BC，ABC=2MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，BAD+BCD=180，ABC=2MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的

9、速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离9（2019重庆西南大学附中八年级阶段练习）如图1，四边形ABCD中，BDAD，E为BD上一点，AEBC，CEBD，CEED（1）已知AB10，AD6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AFDE，连接BF，交BF交AE于G，过G作GHAB于H，BGH75求证：BF22GH+2EG10（2021全国九年级专题练习）探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满

10、足BAF45，连接EF，求证DEBFEF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90，ABGABF9090180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF4523BADEAF90454512，1345即GAF_又AGAE，AFAEGAF_EF，故DEBFEF(2)方法迁移：如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF12DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想11（2021全国八年级专题练习）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四

11、边形”（1）在平行四边形，菱形，矩形，正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，连接AC如图1，求证：AC平分BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分BCD：想法一：通过B+D=180，可延长CB到E，使BE=CD，通过证明AEBACD，从而可证AC平分BCD；想法二：通过AB=AD，可将ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到AEB，可证C,B,E三点在条直线上，从而可证AC平分BCD请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分BCD；如图2，当BAD=90，用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系

12、，并证明.12（2019全国九年级专题练习）如图，ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，EDF=120，把EDF绕点D旋转，使EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F（1）当DFAC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由13（2022全国八年级专题练习）如图所示，ABC为等边三角形，边长为4，点O为BC边中点，EOF=120，其两边分别交AB和CA的延长线于E，F，求AEAF的值.14（2019全国九年级专题练习）如图所示，ABC中，AB=BC=1，ABC=90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在A

13、C的中点上（直角三角板的短直角边为DF，长直角边为DE），将三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中，DE交AB于M，DF交BC于N，证明DM=DN；（2）继续旋转至如图所见，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，证明DM=DN.15（2019江西南昌市第十九中学九年级阶段练习）一位同学拿了两块45三角尺MNK，ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ACB的斜边AB的中点处，设AC=BC=4.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM，则重叠部分的面积为_，周长为_.（2）将如图1所示中的MNK绕顶点M逆时针旋转45，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为_，周长为_

14、.（3）如果将MNK绕M旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为_.（4）在如图3所示情况下，若AD=1，求出重叠部分图形的周长.16（2019江苏常州一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”（1）如图，四边形ABCD为对直角四边形，B=90，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；（2）如图，四边形ABCD中，ABC=90，AB=BC，若BD平分ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图，连结AC，若SACDSABC=35，求tanACD的值17（2021全国九年级专题练习）阅读下面材料：小炎遇到

15、这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，EAF=45，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将ABE绕着点A逆时针旋转90得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45若B，D都不是直角，则当B与D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45，若BD=1， EC=2，求DE的长18（2021全国八年级专题练习）已知：ABC=ADC=90,AD=DC，求证：BC+AB=2BD