专题4.32 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题4.32 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）模型一：一线三直角 图一 图二模型二：一线三等角 图三 图四图五 图六【典型例题】类型一、一线三直角模型1如图，在四边形ABCD中，ABCD，E为BC上一点，且，若，求AB的长【答案】【分析】由题意易知AB和CD所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度解：AB平行CD， ， ， ，【点拨】此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用举一反三【变式1】如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10（1）求证：AEFDFC；（2）求线段EF的长度【答案】（1）证明见分析；（2

2、）【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到A=D=B=90，根据折叠的性质得EFC=B=90，推出AEF=DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论解：（1）四边形ABCD是矩形，A=D=B=90，CD=AB=8，根据折叠的性质得EFC=B=90，AFE+AEF=AFE+DFC=90，AEF=DFC，AEFDFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，AF=4，AE=AB-BE=8-EF，EF2=AE2+AF2，即EF2=（8-EF）2+42，解得：【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定

3、，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答【变式2】如图1，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处（1）求证：；（2）若，求的长；（3）如图2，在第（2）问的条件下，若，分别是，上的动点，求的最小值【答案】（1）见分析；（2）；（3）的最小值为【分析】（1）选证得，即可证明结论；（2）利用折叠的性质，在RtABF中，求得BF的长，设CE=x，在RtCEF中，利用勾股定理构建关于x的方程，即可求解；（3）根据折叠的性质，点F、D关于直线AE对称，过F作FQAD于Q，交AE于P，此时PD+PQ的最小值为FQ，证明四边形Q

4、FCD是矩形，即可求解（1）证明：四边形是矩形，由翻折得到，；（2）四边形是矩形，.设，则，在中，在中，即，解得，即.（3）如图，根据折叠的性质，点F、D关于直线AE对称，过F作FQAD于Q，交AE于P，此时PD+PQ的最小值为FQ， 四边形ABCD是矩形，C=ADC=90，又FQAD，四边形QFCD是矩形，FQ=CD=AB=3， 的最小值为【点拨】本题考查了矩形的性质折叠变换，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题类型二、一线三等角模型2如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE且BADEC（1）证明：BD

5、ACED；（2）若B45，BC6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）且ADE是等腰三角形，求此时BD的长【答案】（）见分析；（2）或【分析】（1）根据题目已知条件可知，所以得到，即可得证（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：AD=AE，AD=DE，AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可解：（1）在中，又；（2），是等腰直角三角形BC=6，AB=AC=BC=3当AD=AE时，则，点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上此情况不符合题意当AD=DE时，如图，由（1）可

6、知又 AB=DC=当AE=DE时，如图，平分,综上所述：或【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题举一反三【变式1】如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）求证：；（2）请你再写出两对相似三角形【答案】（1）见分析；（2），【分析】（1）根据三角形内角和证即可；（2）根据公共角相等，利用两个角对应相等，写出相似三角形即可（1）证明：，；（2），E=E，同理，【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形判定定理并能灵活应用

7、是解题关键【变式2】ABC中，AB=AC，BAC=90，P为BC上的动点，小慧拿含45角的透明三角板，使45角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时求证：BPECFP；（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、FBPE与CFP还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连结EF，BPE与PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，BPE与PFE相似？说明理由【答案】（1）证明见分析；（2）BPECFP；（3）动点P运动到BC中点位置时，BPE与PFE相似，理由见分析【分析】（1）找出BP

8、E与CFP的对应角，其中BPE+BEP=135，BPE+CPF=135，得出BEP=CPF，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：BPECFP；（3）动点P运动到BC中点位置时，BPE与PFE相似，同（1），可证BPECFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 PB：BE=PF：PE，进而求出，BPE与PFE相似（1）证明：在ABC中，BAC=90，AB=AC，B=C=45B+BPE+BEP=180，BPE+BEP=135EPF=45，又BPE+EPF+CPF=180，BPE+CPF=135，BEP=CPF，又B=C，BPECFP（2）BPECFP；理由：在ABC中，BA

9、C=90，AB=AC，B=C=45B+BPE+BEP=180，BPE+BEP=135EPF=45，又BPE+EPF+CPF=180，BPE+CPF=135，BEP=CPF，又B=C，BPECFP（3）动点P运动到BC中点位置时，BPE与PFE相似，证明：同（1），可证BPECFP，得CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此PB：BE=PF：PE又因为EBP=EPF，所以BPEPFE【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力类型三、一线三等角综合3数学模型

10、学习与应用【学习】如图1，于点C，于点E由，得1=D；又，可以通过推理得到我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且若，用含x的式子表示CD的长；(2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，若为直角三角形，求CD的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标【答案】(1)(2)3(3)或(1)解：，又，即，(2)解：如图4，当时，点D为BC的中点，如图5，当时，过点A作，交BC于点F，不合题意，舍去，(3)解：分两种情况：如图6所示，

11、过A作ACy轴于D，过B作BEx轴于E，DA与EB相交于C，则C90，四边形OECD是矩形点A的坐标为（2，4），AD2，ODCE4，OBA90，OBE+ABC90，ABC+BAC90，BACOBE，在ABC与BOE中， ABCBOE（AAS），ACBE，BCOE，设OEx，则BCOECDx，ACBEx2，CEBE+BCx2+xOD4，x3，x21，点B的坐标是（3，1）；如图7，同理可得，点B的坐标（1，3），综上所述，点B的坐标为（3，1）或（1，3）【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是

12、解题的关键举一反三【变式1】感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，由，可得 ；又因为，可得，进而得到_我们把这个模型称为“一线三等角”模型应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且求证：；当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长【答案】感知：（1）；应用：（2）见分析；3.6；拓展：（3）2或【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）根据等腰三角形的性质得到B=C，根据三角形的外角性质得到BAP=CPD，即可求证

13、；根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解解：感知：（1）ABCDAE，故答案为：；应用：（2）APC=B+BAP，APC=APD+CPD，APD=B，BAP=CPD，AB=AC，B=C，ABPPCD；BC=12，点P为BC中点，BP=PC=6，ABPPCD，即，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，ABPPCD，PC=AB=10，BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，ADP=APD，APD=B=C，ADP=C，不合题意，APAD；当DA=DP时，DAP=APD=B，C=C，B

14、CAACP，即，解得：，综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键【变式2】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：如图1，是等腰直角三角形，AE=BD，则_；如图2，为正三角形，则_；如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F若，则的长为_【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为_【模型变式】（3）如图5所示，

15、在中，于E，ADCE于D，求的长【答案】BDF；CFD；3；（2）（3）2cm【分析】根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得AEDBDF；根据等边三角形的性质及和角关系，可得BDECFD；根据正方形的性质及和角关系，可得ABEBCF，由全等三角形的性质即可求得EF的长；（2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，根据正方形的性质及和角关系，可得COEOAD，从而可求得OE、CE的长，进而得到点C的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明BCECAD，由全等三角形的性质即可求得BE的长解：ABC是等腰直角三角形，C=90A=B=45BDF+BFD=180B=135EDF=45ADE

16、+BDF=180EDF=135ADE=BFD在AED和BDF中AEDBDF(AAS)故答案为：BDF；ABC是等边三角形B=C=60BDE+BED=180B=120EDF=60BDE+CDF=180EDF=120BED=CDF在BDE和CFD中BDECFD(AAS)故答案为：CFD；四边形ABCD是正方形ABC=90，AB=BCABE+CBF=180ABC=90AEl，CFlAEB=CFB =90ABE+EAB=90EAB=CBF在ABE和BCF中ABEBCF(AAS)AE=BF=1，BE=CF=2EF=BE+BF=2+1=3故答案为：3；（2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示四边形OABC是正方形AOC=90，AO=OCCOE+AOD=180ACO=90ADx轴，CEx轴CEO=ADO =90ECO+COE=90ECO=AOD在COE和OAD中COEOAD(AAS)CE=OD，OE=ADOD=1，CE=1，点C在第二象限点C的坐标为故答案为：；（3）ACB=90BCE+ACD =90BECE，ADCECEB=ADC=90BCE+CBE=90CBE=ACD在BCE和CAD中BCECAD(AAS)BE=CD，CE=AD=6cmBE=CD=CEDE=64=2(cm)【点拨】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键