专题4.9 正比例函数的图象和性质（分层练习）（提升练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题4.9 正比例函数的图象和性质（分层练习）（提升练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1若函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值是（）A B2 C D32正比例函数的图象经过点，则它一定经过（）A B C D3是点关于x轴的对称点若一个正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为（）A B C D4若某正比例函数过，则关于此函数的叙述不正确的是（）A函数值随自变量的增大而增大 B函数值随自变量的增大而减小C函数图象关于原点对称 D函数图象过二、四象限5在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（）A B C D26如图，点

2、B、C分别在直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为（）A B1 C D不能确定7如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（）A BC或 D或8如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是A2 B3 C4 D59如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右依次记为A1、A2、A3、An，已知第1个正方形

3、中的一个顶点A1的坐标为（1，1），则点A2019的纵坐标为（）A2019 B2018 C22018 D2201910如图，点坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为（）A B C D二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11若函数是关于x的正比例函数，则该函数的图像经过第 象限12已知正比例函数的图像过点、，若，则 13如图，P是直线yx上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），则PAB的面积为 14如图， 在平面直角坐标系中， 正方形的边长为， 轴， 点的坐标为，若直线与正方形有两个公共点， 的取值范围是 .15已知、是正比例函数图象上的三个点，当时，t

4、的取值范围是 16在平面直角坐标中，点、，直线与线段AB有交点，则k的取值范围为 17已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的减小而减小，则k的值为 18放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28kg，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考你. 图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了 kg.”三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）已知正比例函数图象经过（2，4）（1）如果点（a，1）和（1，b）在函数图象上，求a，b的

5、值；（2）过图象上一点P作y轴的垂线，垂足为Q，SOPQ，求Q的坐标20（8分）已知函数y（k为常数）（1）k为何值时，该函数是正比例函数；（2）k为何值时，正比例函数过第一、三象限，写出正比例函数解析式；（3）k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小，写出正比例函数的解析式21（10分）如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上（1）求m，n的值；（2）在x轴找一点P，使得PAPB的值最小，请求出PAPB的最小值22（10分）如图，正比例函数y=kx的图像经过点A，点A在第四象限过点A做AHx轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且AOH的面积为4.5（1）求该

6、正比例函数的解析式；（2）在x轴上是否存在一点P，使AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由23（10分）已知函数，ykx（k为常数且k0）；（1）当x1，y2时，则函数解析式为；（2）当函数图象过第一、三象限时，k；（3）k，y随x的增大而减小；（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求OAB的面积24（12分）如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线和上，点A，D是x轴上两点.（1）若此正方形边长为2，k=_.（2）若此正方形边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，求出a的值.参考答案1

7、A【分析】根据题意，m+10，验证判断即可解：函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，m+10，m=2或m=-2，且m-1，m=2不符合题意，舍去，m=-2，故选A【点拨】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的图像分布，熟记定义，掌握图像分布与比例系数的关系是解题的关键2D【分析】先将（-2，1）代入正比例函数解析式中，解出k的值，得到正比例函数的解析式，再进行判断即可；解： 经过（-2，1）， 将（-2，1）代入中，得： ， ， 函数解析式为： 点（2，-1）在函数的图象上，故选：D【点拨】本题考查了正比例函数的性质以及求解析式，正确掌握知识点是解题的关键；3D【分析】先求得的坐标，然后

8、设该正比例函数的解析式为，再把点的坐标代入求出k的值即可解：是点关于x轴的对称点，设该正比例函数的解析式为，正比例函数的图象经过点，解得，这个正比例函数的表达式是故选：D【点拨】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键4A解：设正比例函数解析式，正比例函数过，正比例函数解析式为，图象过二、四象限，函数值随自变量增大而减小，图象关于原点对称，四个选项中，只有A选项中的不正确，其余三个选项中的结论都是正确的.故选5C【分析】过点B作于点C，首先根据点A的坐标可求得，再根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的

9、坐标代入解析式，即可求解解：如图：过点B作于点C，是等边三角形，点B的坐标为，把点B的坐标代入解析式，得，故选：C【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三角形的性质求解是解决本题的关键6A【分析】设，根据一次函数解析式用a表示B、C两点，再表示出AB、BC的长，用列式求出k的值解：设，则B点横坐标也是a，B点在直线上，B点纵坐标和C点相同，且C点在直线上，令，解得，则，根据A、B、C坐标得，四边形ABCD是正方形，即，解得故选：A【点拨】本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是利用数形结合的思想，先设点坐标，然后根据几何的性质列式求解7C【

10、分析】分类讨论：当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式解：直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分，两部分的面积分别为3和6，当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，解得，设直线的解析式为，把代入得，解得，此时直线的解析式为；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，解得，设直线的解析式为，把，代入得，解得，此时直线的解析式为，综上所述，直线的解析式为或故选：【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一

11、次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式也考查了正方形的性质8B解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，A（0，2），B（0，6），AB=6-2=4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，OB=6，点B到直线y=x的距离为6，3，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，AB的垂直平分线与直线的交点有一个所以，点C的个数是1+2=3故选B9C【分析】根据直线解析式可知直线与x轴的夹角为45，从而得到直线、正方形的边与x

12、轴围成的三角形是等腰直角三角形，根据点A1的坐标为（1，1），可依次求出正方形的边长，并得到点坐标的变化规律.解：由函数y=x的图象的性质可得直线与x轴的夹角为45，直线、正方形的边与x轴围成的三角形是等腰直角三角形，点A1的坐标为（1，1），第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为1+1=2，点A2的坐标为（2，2），第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为2+2=22，点A3的坐标为（22，22），同理可求：点A4的坐标为（23，23），点An的坐标为（2n-1，2n-1），A2019的坐标为（22018，22018 ）,A2019的纵坐标为22018.故选C.【点拨】本题考查了一

13、次函数的图像与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定及点坐标规律的探索. 解题的关键是首先探索出个别点的坐标的变化规律，然后从特殊到一般去发现一般规律，进而利用规律去解决问题10A【分析】当AB与直线y=-x垂直时，AB最短，则OAB是等腰直角三角形，作B如图，点坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为BCx轴即可求得OD，BD的长，从而求得B的坐标解：解析：过点作垂直于直线的垂线，点在直线上运动，为等腰直角三角形，过作垂直轴垂足为，则点为的中点，则，作图可知在轴下方，轴的右方横坐标为正，纵坐标为负所以当线段最短时，点的坐标为故选A【点拨】本题考查了正比例函数的性质，等腰三角形的性质

14、的综合应用，正确根据垂线段最短确定：当AB与直线y=-x垂直时，AB最短是关键11二、四【分析】根据正比例函数定义可得：m21且m10，计算出m的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案解：由题意得：m21且m10，解得：m1，函数解析式为y2x，k20，该正比例函数的图像经过第二、四象限，故答案为：二、四【点拨】此题主要考查了正比例函数定义和性质，掌握正比例函数是一次函数，自变量的指数为1是解决问题的关键1210【分析】把点的坐标代入函数解析式，再变形即可得到答案解：正比例函数的图像过点、，故答案为：10【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，利用整体代入思想解题是关键13【

15、分析】设点P（x, ），过P作PDx轴于D，过B作BCx轴于C，利用割补法求三角形面积=OPD面积+梯形PDCB面积-PAO面积-ABC面积计算即可解：设点P（x, ），过P作PDx轴于D，过B作BCx轴于C，SPAB=SOPD+S四边形PDCB-SOPA-SABC，=，=，=，=，故答案为：【点拨】本题考查图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法，掌握图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法是解题关键14【分析】根据，正比例函数必定经过原点，利用数形结合代入D，B的坐标求出值即可求解解：因为ABCD为正方形，AB，D若直线经过D时，解得：若直线经过B时，解得：

16、若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围为故答案为：【点拨】本题主要考查了正比例函数的图形性质，正方形的性质，利用待定系数法和数形结合求出的取值是解题的关键15【分析】根据 两点在 上求出k得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可解：将点 与点 代入 ，得： ，两式相减，得： ， y随x的增大而减小，当 时， 当m3时，t-，故答案为：t-.【点拨】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题16/【分析】因为直线ykx（k0）与线段AB有交点，所以当直线ykx（k0）过时，k值最大；当直线ykx（k0）过A（3，2）时，k值最小，然后把B点和A点坐标

17、代入ykx（k0）可计算出对应的k的值，从而得到k的取值范围解：直线ykx（k0）与线段AB有交点，当直线ykx（k0）过B（1，2）时，k值最大，则有k2，解得k2；当直线ykx（k0）过A（3，2）时，k值最小，则3k2，解得k，k的取值范围为故答案为：【点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质17【分析】先根据题意判断直线经过点（-3，-1）、（1，），再用待定系数法求出解析式即可解：因为y随x的减小而减小，所以当时，；当时，把代入，得，解得【点拨】此题考查正比例函数的性质，根据y随x的减小而减小判断直线经过点（-3，-1）

18、、（1，）是解答此题的关键1820【分析】依题意，因为两个图都是正比例函数，可设图1，图2的解析式，把已知坐标代入求解解：两个图都是正比例函数，可设图1的解析式为：y=k1t，把（1，8）代入得k1=8，y=8t此时小明加工了28千克，t=3.5同理设图2的解析式为：y=k2t，把（7，40），代入得7k2=40，解得：k2=，y=t因为他们用的时间是相等的，当t=3.5时，y=20故答案为20【点拨】考核知识点：实际问题与正比例函数.从函数图象获取信息是关键.19（1），（2）（0，）或（0，）【分析】（1）设正比比例函数的解析式为ykx（k0），再把（2，4）代入求出k的值，进而得出其解析

19、式，把点（a，1）和（1，b）代入求出a、b的值即可；（2）设P（x，2x），则Q（0，2x），根据三角形面积公式即可得出P点坐标，进而求得Q的坐标.解：（1）设正比比例函数的解析式为ykx（k0），正比例函数图象经过（2，4），42k，解得k2，正比例函数的解析式为y2x点（a，1）和（1，b）在函数图象上，12a，b1（2），解得，b2；（2）设P（x，2x），则Q（0，2x），SOPQ， x（2x），解得x，Q（0，）或（0，-）.【点拨】此题考查正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的应用，运算能力，正比例函数与几何图形面积问题.20（1）当k2时，这个函数是正比例函数；（2）当k2

20、时，正比例函数过第一、三象限，解析式为yx.；（3）当k2时，正比例函数y随x的增大而减小，解析式为yx.【分析】（1）根据正比例函数的定义进行解答；（2）利用正比例函数的性质即可得出答案；（3）利用正比例函数的性质即可得出答案.解：（1）由题意得：k0，k231.解得k2.当k2时，这个函数是正比例函数（2）当k2时，正比例函数过第一、三象限，解析式为yx.（3）当k2时，正比例函数y随x的增大而减小，解析式为yx.点睛：本题主要考查正比例函数的定义和性质.牢记正比例函数的定义和性质是解题的关键.21（1）；（2）【分析】（1）利用待定系数法求解m、n值即可；（2）作点A关于x轴对称的点，连

21、接，交x轴于点P，此时PAPB的值最小， 最小值为PAPB过点作x轴，过点B作y轴，和相交于点H，求出的长即可（1）解：点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上（2）解：作点A（1，4）关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PAPB的值最小， PAPB过点作x轴，过点B作y轴，和相交于点H，在Rt中，H90，则，PAPB的最小值为 【点拨】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键22（1）y=-x；（2）存在， 点P的坐标为（4，0）或（-4，0）【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，

22、然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式求得OP=4，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标解：解（1）点A的横坐标为3，且AOH的面积为4.5，OHAH2=4.5，3AH2=4.5，AH=3，点A的纵坐标为-3，点A的坐标为（3，-3）正比例函数y=kx经过点A，3k=-3，解得：k=-1，正比例函数的解析式是y=-x；（2）设OP=xAOP的面积为6，点A的坐标为（3，-3），OP=4，点P的坐标为（4，0）或（-4，0）【点拨】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式注意点P的坐标有两个23（1）y2x；（2）0；（3）0；（4）2【分析

23、】（1）将，代入即可求的值，进而确定函数解析式；（2）根据正比例函数的图象特点与的关系，可得；（3）根据正比例函数的图象特点可确定，随的增大而减小时；（4）求出，则的面积解：（1）当，时，故答案为；（2）函数图象过第一、三象限，故答案为；（3）随的增大而减小，函数图象经过第二、四象限，故答案为；（4），点的横坐标为1，的面积【点拨】本题考查正比例函数的图象及性质，熟练掌握的取值与函数图象的关系是解题的关键24（1）；（2）k的值不会发生变化，理由见分析【分析】（1）由边长可得AB，进而根据y=2x求出OA，得到OD，再根据边长为2得到CD，代入y=kx中即可；（2）根据正方形的边长a，运用正方形的性质表示出C点的坐标，再将C的坐标代入函数中，从而可求得k的值解：（1）正方形边长为2，.在直线中，当时，将代入中，得，解得.（2）k的值不会发生变化理由：正方形边长为a，在直线中，当时，.将代入中，得,解得，k值不会发生变化.【点拨】本题主要考查正方形的性质与正比例函数的综合运用，是一道比较好的题目，难度适中灵活运用正方形的性质是解题的关键