专题44 特殊的四边形-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题44 特殊的四边形一、三角形的中位线【典例】如图在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BDCE，M、N分别是BE、CD的中点过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】解：APAQ理由如下：如图，取BC的中点H，连接MH，NHM，H为BE，BC的中点，MHEC，且MH=12ECN，H为CD，BC的中点，NHBD，且NH=12BDBDCE，MHNHHMNHNM；MHEC，HMNPQA，同理HNMQPAAPQ为等腰三角形，APAQ【巩固】如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ABOB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EMBC于点M，EM交

2、BD于点N，若CEF45，FN5，求线段BC的长【解答】解：设EFx，点E、点F分别是OA、OD的中点，EF是OAD的中位线，AD2x，ADEF，CADCEF45，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC2x，ACBCAD45，EMBC，EMC90，EMC是等腰直角三角形，CEM45，连接BE，ABOB，AEOEBEAOBEM45，BMEMMCx，BMFE，易得ENFMNB，ENMN=12x，BNFN5，RtBNM中，由勾股定理得：BN2BM2+MN2，即52x2+（12x）2，解得，x25，BC2x45答：线段BC的长为45二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对

3、应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB6，BC10当折痕GH最长时，线段BH的长为 【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BHx，则CH10x，HEBHx，由勾股定理得，HC2+CE2HE2，即（10x）2+62x2，解得x6.8，故答案为：6.8【巩固】如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，（1）如图1，将ADE沿AE翻折，使点D的对应点M恰好在BC边的中点，求ADAB的值；（2）如图2，若点E为CD的中点，过点A作AFBE于F，连接DF，求证DFBC【解答】（1）解：如图1，四边形ABCD是矩形，ADBC，由折叠可得ADAM，BCAM，又M是BC的中点，BM=12BC=12

4、AM，又B90，RtABM中BAM30，BM=12AM，AB=3BM，AMAB=2BM3BM=233，即ADAB=233；（2）证明：如图2所示，延长BE，AD，交于点G，则BECGED，AGBC，GCBE，E是CD的中点，DECE，在BCE和GDE中，BEC=GEDCBE=GCE=DE，BCEGDE（AAS），DGBCAD，即D是AG的中点，又AFBG，RtAFG中，DF=12AGAD，又矩形ABCD中，ADBC，DFBC三、直角三角形斜边上的中线【典例】如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A1B1.3C

5、1.2D1.5【解答】解：AB3，AC4，BC5，EAF90，PEAB于E，PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EF，AP互相平分且EFAP，EF，AP的交点就是M点当AP的值最小时，AM的值就最小，当APBC时，AP的值最小，即AM的值最小12APBC=12ABAC，APBCABACAB3，AC4，BC5，5AP34，AP2.4，AM1.2；故选：C【巩固】如图，BACBDC90，四边形ABDE为平行四边形，若AD6，BC8，则CE的长为 【解答】解：如图，过点B作BFCD，且BFCD，连接DF，CF，AF，BFCD，DCBF，四边形BDCF是平行四边形，且BDC90，四边形BDCF是矩形，

6、BCDF8，CFBD，CFBD，四边形ABDE是平行四边形，BDAE，BDAE，AECF，AECF，四边形AECF是平行四边形，AFCE，BACBDC90，点A，点B，点C，点D四点共圆，CADCBD，四边形BDCF是矩形，DBCDFC，FCD90，DFCDAC，点A，点F，点C，点D四点共圆，FAD+FCD180，FAD90，AF=DF2-AD2=82-62=27，EC27，故答案为：27四、菱形中最值问题【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，ABC30，P为BC上方一点，且SPBC=14S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为 【解答】解：过A作AEBC于E，ABC30，AB4，AE=12

7、AB2，SPBC=14S菱形ABCD=14422，设点P到BC的距离为h，h1，即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，则此时，PB+PC的值最小，PB+PC的最小值CG，BGl，BGBC，CBG90，BG2h2，CG=22+42=25，【巩固】如图，菱形ABCD中，AB2，A120，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+PB2的值最小时，线段PD长是 【解答】解：如图，过P作PEBC于E，连接AP，由菱形ABCD，可得ABCB，ABPCBPADP30，ABPCBP，BP2PE，APCP，PC+PB2=AP+PE，当点A，P，E在同

8、一直线上时，AP+PE最短，此时，PC+PB2的值最小，APAD，RtABE中，AB2，BE1，AE=3，RtBEP中，PE=133，AP=233，ADP30，RtADP中，PD2AP=433，故答案为：433巩固练习1如图，在矩形ABCD中，AB4，AD5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EFAB，G是五边形AEFCD内满足GEGF且EGF90的点现给出以下结论其中错误的是（）AGEB与GFB一定互补B点G到边AB，BC的距离一定相等C点G到边AD，DC的距离可能相等D点G到边AB的距离的最大值为22【解答】解：A、四边形ABCD是矩形，B90，又EGF90，四边形

9、内角和是360，GEB+GFB180，故A正确；B、过G作GMAB，GNBC，分别交AB于M，交BC于N，GEGF且EGF90，GEFGFE45，又B90，BEF+EFB90，即BEF90EFB，GEM180BEFGEF18045（90EFB）45+EFB，GFNEFB+GFEEFB+45，GEMGFN，在GEM和GFN中，GME=GNFGEM=GFNGE=GF，GEMGFN（AAS），GMGN，故B正确；C、AB4，AD5，并由B知，点G到边AD，DC的距离不相等，故C错误：D、在直角三角形EMG中，MGEG，当点E、M重合时EG最大，EFAB4，GEEBBFFG422=2 2，故D正确故选

10、：C2如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边ACD、等边ABE，EFAB，垂足为F，连接DF，当ACAB= 时，四边形ADFE是平行四边形【解答】解：当ACAB=32时，四边形ADFE是平行四边形理由：ACAB=32，CAB30，ABE为等边三角形，EFAB，EF为BEA的平分线，AEB60，AEAB，FEA30，又BAC30，FEABAC，在ABC和EAF中，ACB=EFABAC=AEFAB=AE，ABCEAF（AAS）；BAC30，DAC60，DAB90，即DAAB，EFAB，ADEF，ABCEAF，EFACAD，四边形ADFE是平行四边形故答案为：323如图，矩形AB

11、CD，AB1，BC2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 【解答】解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，矩形ABCD，AB1，BC2，CDAB1，ADBC2，点H是AD的中点，AHDH1，CH=DH2+CD2=1+1=2，AOD90，点H是AD的中点，OH=12AD1，在OCH中，COOH+CH，当点H在OC上时，COOH+CH，CO的最大值为OH+CH=2+1，故答案为：2+14如图，菱形ABCD的边长为4，BAD120，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是 【解答】解：

12、连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DHBA于H，四边形ABCD是菱形，AC，BD互相垂直平分，点B关于AC的对称点为D，FDFB，FE+FBFE+FDDE只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），ABD中，ADAB，DAB120，HAD60，DHAB，AH=12AD，DH=32AD，菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，AE2，AH2，EH4，DH23，在RtEHD中，DE=EH2+DH2=42+(23)2=27，EF+BF的最小值为27故答案为：275如图，在矩形ABCD中，AD=3AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是A

13、D上一动点，且满足MON90，连结MN在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）点M、N的运动速度不相等；存在某一时刻使SAMNSMON；SAMN逐渐减小；MN2BM2+DN2【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时NOBD，在矩形ABCD中，AD=3AB，ADBDAC30，AOD1803030120，NAOAODNOD1209030，DAONOA30，ANONDNsin30=12DN，AN+DNAD，AN=13AD，当M点运动到M位置时，此时OMAB，N点运动到了N，AC和BD是矩形ABCD的对角线，M点运动的距离是MM=12AB，N点运动的距离是NN=12AD-A

14、N=12AD-13AD=16AD，又AD=3AB，NN=163AB=36AB=33MM，N点的运动速度是M点的33，故正确，当M在M位置时，OMA90，NAB90，MON90，四边形AMON是矩形，此时SAMNSMON，故正确，令AB1，则AD=3，设BMx，则N点运动的距离为33x，AN=13AD+33x=33+33x，SAMN=12AMAN=12（ABBM）AN=12（1x）（33+33x）=36-36x2，0x1，在x的取值范围内函数36-36x2的图象随x增加而减小，SAMN逐渐减小，故正确，MN2（ABBM）2+（ADDN）2AB22ABBM+BM2+AD22ADDN+DN2（AB2

15、2ABBM+3AB223ABDN）+BM2+DN2（4AB22ABBM23ABDN）+BM2+DN2，AN=13AD+33BM=33AB+33BM，DNADAN=3AB（33AB+33BM）=233AB-33BM，23ABDN23AB（233AB-33BM）4AB22ABBM，MN2（4AB22ABBM23ABDN）+BM2+DN2BM2+DN2，故正确，方法二判定：如图2，延长MO交CD于M，MOBMOD，OBOD，DBABDC，OMBOMD（ASA），BMDM，OMOM，连接NM，NOMM，则MNNM，NM2DN2+DM2，MN2BM2+DN2，故正确，故答案为：6如图，菱形ABCD，AB

16、5，E在BC上，BE4，过点E作EGAD于G，交BD于F，连接DE，若A4DEG，则EF的长为 【解答】解：如图，过点D作DMBD，交BC的延长线于点M，设DEG，则A4，四边形ABCD是菱形，ABC180A1804，ABDCBDBDC，ABDCBDBDC902，M90CBD90（902）2，CDM90BDC90（902）2，MCDM，CDCM5，EGAD，BEG90，DEM180BEGDEG1809090，EDM180DEMM180（90）290，DEMEDM，DMEMEC+CM1+56，BMBC+CM5+510，BD=BM2-DM2=102-62=8，BEFBDM90，FBEMBD，FBE

17、MBD，EFDM=BEBD，即EF6=48，EF3故答案为：37如图，在矩形ABCD中，AB2，AD4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1BP1，当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2BP2，P1P2EC且P1P2=12CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BPFP，由中位线定理可知：P1PCF且P1P=12CF，点P的运动轨迹是线段P1P2，矩形ABCD中，AB2，AD4，E为AD的中点，ABE，BEC、DCP1为等腰直角三角形，ECB45，DP1C45，P1P2EC

18、，P2P1BECB45，P2P1D90，DP的长DP1最小，DP2最大，CDCP1DE2，DP122，CE22，P1P2=2，DP2=(22)2+(2)2=10，故答案为：22PD108如图，在ABC中，ABC90，BD为ABC的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FGBD，连接BG、DF（1）求证：四边形BDFG是菱形：（2）若BAC30，BC2，求四边形BDFG的面积【解答】（1）证明：ABC90，BD为AC的中线，BD=12AC，AGBD，BDFG，四边形BDFG是平行四边形，CFBD，CFAG，又点D是AC中点，DF=12AC，

19、BDDF；平行四边形BDFG是菱形；（2）解：作DHAG于H，如图所示：四边形BDFG是菱形，GFBD，ABC90，BAC30，BC2，AC2BC4，点D是AC中点，GFBD=12ACAD2，DBABAC30，又AGBD，BAFDBA30，DAF60，DHAG，ADH30，AH=12AD1，DH=3AH=3，S菱形BDFGGFDH23=239已知四边形ABCD是矩形（1）如图1，E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG求证：DGCG；若BC2AB，求DGC的大小；（2）如图2，ABBC6，M、N、P分别是AB、CD、AD上的点，MN垂直平分BP，点Q是CD的中点，连接

20、MP，PQ，若PQMP，直接写出CN的长【解答】解：（1）如图1，过G作MNCD于N，与AB交于点M，则MNAD，CE垂直平分BF，GBGF，AMBM，四边形ABCD是矩形，AADNMND90，四边形ADNM是矩形，DNAM=12AB=12CD，MN垂直平分CD，DGCG；连接CF，如图1，CE垂直平分BF，CFCBBCGFCG=12BCF，四边形ABCD是矩形，ABCD，CDFBCD90，ADBC，BC2AB，CF2CG，延长CD至H，使得DHCD，连接FH，则CFCH，AD垂直平分CH，FHFCCH，FCD60，BCF90FCD30，BCGFCG15，GDCGCDBCDBCG75，CGD1

21、8075230；（3）MN垂直平分BP，MBMP，MBPMPB，MPPQ，MPQA90，ABP+APBBPM+BPQ90，BPABPQ，作BSPQ于S，连接BQ，如图2，BABS，BPBP，RtPBARtPBS（HL），APPS，ABBC，BSBC，BQBQ，RtQBSRtQBC（HL），QSQC3，PQAP+CQ，设APx，PD6x，PQ3+x，在RtPQD中，DQ3，由勾股定理得，（3+x）2（6x）232，解得，x2，AP2，设BMMPy，AM6y，在RtAMP中由勾股定理得，y2（6y）222，解得，y=103，BM=103，作NKAB于K，如图2，得四边形AKND是矩形，ABADKN

22、，AMKN90，MNBP，ABP+KMNKMN+KNM90，ABPKNM，ABPKNM（ASA），APKM2，CNBKBMMK=103-2=43；另一解法：过N点作NKAB于点K，得四边形AKND是矩形，ABADMN，AMKN90，MNBP，ABP+KMNKMN+KNM90，ABPKNM，ABPKNM（ASA），APKM，MN垂直平分BP，MBMP，不妨设BMMPx，则AM6x，AP=x2-(6-x)2=12x-36，DP6-12x-36，Q是CD的中点，DQ3，PQMP，AD90，APM+AMPAPM+DPQ90，AMPDPQ，APMDQP，APDQ=AMDP，即12x-363=6-x6-1

23、2x-36，解得，x6或103，CNBKABAMMK6（6x）-12x-36=x-12x-36=0或43舍去CN0，CN=4310已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E如果CE5，OC、OE的长是关于x的方程x2+（m1）x+120的两个根，并且OCOE（1）求点D的坐标；（2）如果点F是AC的中点，判断点（8，20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由【解答】解：（1）OC、OE的长是关于x的方程x2+（m1）x+120的两个根，设OCx1，OEx2

24、，x1x2x1+x2（m1）x1x212在RtCOE中，OC2+OE2CE2，CE5x12+x2252，即（x1+x2）22x1x225（m1）221225，解这个方程，得m16，m28OC+OEx1+x2（m1）0，m8不符合题意，舍去m6解方程x27x+120，得x14，x23OC4，OE3ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D过D点作DGx轴于GDHy轴于HBCAACD矩形OABC中，CBOABCACAECAEACDECEA在RtCOE与RtADE中，OC=ADEC=EARtCOERtADEED3，AD4，EA5在RtADE中，DGAEEDAD，DG=EDADAE=125，在CHD中，OE

25、HD，CECD=CEHD，55+3=3HD，HD=245，由已知条件可知D是第四象限的点，点D的坐标是（245，-125）；（2）F是AC的中点，点F的坐标是（4，2），设过D、F两点的直线的解析式为ykx+b4k+b=2245k+b=-125，解得k=-112b=24，过点D、F两点的直线的解析式为y=-112x+24，x8，y20满足上述解析式，点（8，20）在过D、F两点的直线上11如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB13，BD24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60得到线

26、段AM，连接FM（1）线段AO的长为 ；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM=33AC；（3）连接EM若AFM的周长为329，请直接写出AEM的面积【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，ACBD，OB=12BD12，在RtAOB中，AB13，根据勾股定理得，AO=AB2-OB2=132-122=5，故答案为5；（2）由旋转知，AMAF，MAF60，AMF是等边三角形，AFM60，点M，F，C三点在同一条直线上，AFC180AFM120，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，OAOC=12AC，在AOF和COF中，OA=OCAOF=COF=90OF

27、=OF，AOFCOF（SAS），AFO=12AFC60，在RtAOF中，sinAFO=OAAF，AF=OAsinAFO=OAsin60=233OA=33AC，AM=33AC；（3）当点F在线段OB上时，如图，由（2）知，AMF是等边三角形，AFM的周长为329，AF=29，在RtAOF中，根据勾股定理得，OF=AF2-AO2=2，BFOBOF12210，连接EM，ABE是等边三角形，AEAB13，BAE60，由（1）知，AMAF，FAM60，BAEEAM，EAMBAF，AEMABF（SAS），EMBF10，AEMABF，过点M作MNAE于N，MNEAOB90，MNEAOB，MNAO=EMAB，

28、MN5=1013，MN=5013，SAEM=12AEMN=12135013=25，当点F在OD上时，同的方法得，MN=7013，SAEM=12AEMN=12137013=35，即：AEM的面积为25或3512在菱形ABCD中，BAD60（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AC=3，请你直接写出DM+CN的最小值【解答】解：（

29、1）如图1，连接BD，则BD平分ABC，四边形ABCD是菱形，ADBC，A+ABC180，A60，ABC120，ABD=12ABC60，ABD是等边三角形，BDAD4，E是AB的中点，DEAB，由勾股定理得：DE=42-22=23，DCAB，EDCDEA90，在RtDEC中，DC4，EC=DC2+DE2=42+(23)2=27；（2）如图2，延长CD至H，使DHCD，连接NH、AH，ADCD，ADDH，CDAB，HDABAD60，ADH是等边三角形，AHAD，HAD60，AMN是等边三角形，AMAN，NAM60，HAN+NAGNAG+DAM，HANDAM，在ANH和AMD中，AH=ADHAN=DAMAN=AM，ANHAMD（SAS），HNDM，D是CH的中点，Q是NC的中点，DQ是CHN的中位线，HN2DQ，DM2DQ（3）如图2，由（2）知，HNDM，要CN+DM最小，便是CN+HN最小，即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，此时，点D和点Q重合，即：CN+DM的最小值为CH，如图3，由（2）知，ADH是等边三角形，H60AC是菱形ABCD的对角线，ACD=12BCD=12BAD30，CAH180306090，在RtACH中，CH=ACcos30=2，DM+CN的最小值为2