专题5.2 平面向量的基本定理及坐标运算（原卷版）.docx

1、 5.2 平面向量的基本定理及坐标运算思维导图知识点总结1.平面向量的基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a 基底两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，称为向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，ab ，a ，|a| .(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，| 设a(x1，y1)，b(x2，y2)(a0

2、)，则ab 常用结论1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，ab0，则0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.典型例题分析考向一 平面向量基本定理的应用例1 (1)(2022新高考卷)在ABC中，点D在边AB上，BD2DA.记m，n，则()A.3m2n B.2m3nC.3m2n D.2m3n(2)在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则t的值为_.感悟提升1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数

3、乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.考向二 平面向量的坐标运算例2 (1)在平行四边形ABCD中，(3，7)，(2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A. B.C. D.(2)(2023北京人大附中统练)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底a，b表示c，则()A.c2a3b B.c2a3bC.c3a2b D.c3a2b感悟提升平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运

4、算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.考向三 平面向量平行的坐标表示角度1利用向量平行求参数例3 (1)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(m，1)，若c(2ab)，则m等于()A.2 B.1 C. D.(2)已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k_.角度2利用向量平行求向量或点的坐标例4 在ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，AD与BC交于点M，则点M的坐标为_.感悟提升1.两平面向量平行的充要条件有两种形式：(1)若a

5、(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(b0)，则ab.2.向量平行的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.基础题型训练一、单选题1若则等于（）ABC D2若向量，则（）ABCD3已知向量，若，则（）ABCD54已知向量，则是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知向，若与垂直，则实数的值为（）A-1B0C1D26已知点不共线，为实数，则“”是“点在内（不含边界）”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、多选题7

6、已知向量，则下列结论正确的是（）AB C与反向D可作一组基底8已知向量，设，的夹角为，则（）ABC在上的投影向量为D三、填空题9设向量，若，则_10假设，若，则_.11中，若，则_12已知点，向量，则_四、解答题13在平面直角坐标系xOy中已知四边形ABCD是平行四边形，.(1)则等于多少？(2)求的模？14已知三个顶点的坐标分别为.(1)若是边上的高,求向量的坐标;(2)若点E在x轴上,使为钝角三角形,且为钝角,求点E的横坐标的取值范围.15如图，在平面直角坐标系中，.（1）求点，点的坐标；（2）求四边形的面积.16已知向量.(1)若，求m，n的值：(2)若向量满足，求的坐标.提升题型训练一

7、、单选题1已知=(4，5)，=(3，4)，则4的坐标是（）A(16，11)B(16，11)C(16，11)D(16，11)2已知，为平面向量，且，则，夹角的余弦值等于（）ABCD3正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（）ABCD4在平面四边形中，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围为（）ABCD5把点按向量平移到点，则函数的图像按向量平移后的图象的函数表达式为（）ABCD6在中，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（）A1BCD2二、多选题7设、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中向量由向量以点为旋转中心顺时针旋转得到（若为零向量，规定

8、也是零向量）.对平面向量、，下列说法正确的是（）AB对任意，C若、为不共线向量，满足，则，D8已知的重心为，点是边上的动点，则下列说法正确的是（）AB若，则的面积是面积的C若，则D若，则当取得最小值时，三、填空题9已知向量，则 _ 10向量，且，则_.11已知平面向量，其中是是单位向量且夹角为，向量满足，则的最大值与最小值之差为_.12已知，则的范围是_.四、解答题13在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：（1），；（2），；（3），；（4），14已知点、及，为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？15已知，是同一平面内的三个向量，其中(1)若，且，求的坐标；(2)若，且与的夹角为，求的值16已知向量，设函数，(1)求函数的解析式及其单调增区间；(2)设，若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围，并求的值.(3)若将的图像上的所有点向左平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设，求函数的解析式.