专题6二次函数与平行四边形存在性问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题6 二次函数与平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解. 解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1. 平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是.2. 平行四边形ABCD的顶

2、点坐标分别为、，则，.3. 已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2022娄底）如图，抛物线yx22x6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0m6）在抛物线上，当m取何值时，PBC的面积最大？并求出PBC面积的最大值（3）点F是抛物线上的动点，作FEAC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将x0及y0代入抛物线yx22x6的解析式，进

3、而求得结果；（2）连接OP，设点P（m，2m6），分别表示出SPOC，SBOP，计算出SBOC，根据SPBCS四边形PBOCSBOC，从而得出PBC的函数关系式，进一步求得结果；（3）可分为ACFE和ACEF的情形当ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果【解析】（1）当x0时，y6，C（0，6），当y0时，x22x60，x16，x22，A（2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，2m6），SPOCxP3m，SBOP|yP|+2m+6），SBOC18，SPBCS四边形PBOCSBOC（SPOC

4、+SPOB）SBOC3m+3（+2m+6）18（m3）2+，当m3时，SPBC最大；方法二：如图2，作PQAB于Q，交BC于点D，B（6，0），C（0，6），直线BC的解析式为：yx6，D（m，m6），PD（m6）（2m6）+3m，SPBC（m3）2+，当m3时，SPBC最大；（3）如图3，当ACFE时，AECF，抛物线对称轴为直线：x2，F1点的坐标：（4，6），如图4，当ACEF时，作FGAE于G，FGOC6，当y6时，x22x66，x12+2，x222，F2（2+2，6），F3（22，6），综上所述：F（4，6）或（2+2，6）或（22，6）【例2】（2022毕节市）如图，在平面直角坐标

5、系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式；（2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线

6、BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论；（3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可【解析】（1）抛物线yx2+bx+c的顶点为D（2，1），抛物线的表达式为：y（x2）2+1x2+4x3（2）由（1）知，抛物线的表达式为：yx2+4x3，令x0，则y3，C（0，3）；令y0，则x1或x3，A（1，0），B（3，0）直线BC的解析式为：yx3设平移后的抛物线的解析式为：y（x2）2+1h，令（x2）2+1hx3，整理得x23x+h0，该抛物线与直线BC始终有交点，94h0，hh的最大值为（3）存在，理由如下：由题意可知，抛物线

7、的对称轴为：直线x2，E（2，1），DE2，设点M（m，m2+4m3），若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：当DE为边时，DEMN，则N（m，m3），MN|m2+4m3（m3）|m2+3m|，|m2+3m|2，解得m1或m2（舍）或m或mN（1，2）或（，）或（，）当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t3），解得m或（舍），N（3，0）综上，点N的坐标为N（1，2）或（，）或（，）或（3，0）【例3】（2022聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x1，顶点为点D（1）求二次

8、函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图所示，求证：DACBCO；（3）如图，延长DC交x轴于点M，平移二次函数yx2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD12CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出DAC和BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛

9、物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是MNQP和MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果【解答】（1）解：由题意得，二次函数的表达式为：yx22x+3；（2）证明：当x1时，y12（1）+34，D（1，4），由x22x+30得，x13，x21，A（3，0），B（1，0），AD220，C（0，3），CD22，AC218，AC2+CD2AD2，ACD90，tanDAC，BOC90，tanBCO，DACBCO；（3）解：如图，作DEy轴于E，作D1Fy轴于F，DEFD1，DECD1FC，FD12DE2，C

10、F2CE2，D1（2，1），y1的关系式为：y（x2）2+1，当x0时，y3，N（0，3），同理可得：，OM3，M（3，0），设P（2，m），当MNQP时，MNPQ，PQMN，Q点的横坐标为1，当x1时，y（12）2+18，Q（1，8），当MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x5时，y（52）2+18，Q（5，8），综上所述：点Q（1，8）或（5，8）【例4】（2022郴州）已知抛物线yx2+bx+c与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN点D是直线MN上任意一点当点D在抛物线的对称轴l上时

11、，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）方法一：求出直线CD的解析式为y4x3，当y0时，求出x的值，则可得出答案；方法二：求出OD3，证明DEOCEB，由相似三角形的性质得出，设OEx，则BE3x，列出方程求出x的值，则可得出答案；分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可【解析】（1）将A（1，0）、

12、B（3，0）代入yx2+bx+c得，解得，抛物线的解析式为yx22x3；（2）由（1）可知，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+m，将C（0，3），B（3，0）代入得，直线BC的解析式为yx3，直线MN的解析式为yx，抛物线的对称轴为x1，把x1代入yx，得y1，D（1，1），方法一：设直线CD的解析式为yk1x+b1，将C（0，3），D（1，1）代 入得，解得，直线CD的解析式为y4x3，当y0时，4x30，x，E（，0），OE方法二：由勾股定理得OD，BC3，BCMN，DEOCEB，设OEx，则BE3x，解得x，OE存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形理由如下：（

13、）若平行四边形以BC为边时，由BCFD可知，FD在直线MN上，点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），由点D在直线MN上，设D（t，t），如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DFBC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），BCMN，OBCDOB，GDx轴，GDFDOB，OBCGDF，又BOCDGF90，DGFBOC（AAS），GDOB，GFOC，GDt1，OB3，t13，t4，D（4，4），如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DFCB，同理可证DKFCOB（AAS），KDOC，KD1t，OC3，1t3，t2，D（2，2）；（）若平行四边形以BC为对角线时，由于D在BC

14、的上方，则点F一定在BC的下方，如图，四边形BFCD为平行四边形，设D（t，t），F（1，n），同理可证DHCBPF（AAS），DHBP，HCPF，DHt，BP312，HCt（3）t+3，PF0nn，D（2，2），F（1，5），综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（2，2）；当点F的坐标为（1，5）时，点D的坐标为（2，2）声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/5 16:33:11；用户：账号1；邮箱：yzsysx1；学号：256700251（2021滨城区一模）如图，抛物线y

15、ax2+bx5（a0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为ykx+b（k0）（1）求抛物线的解析式（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大并求出最大值（3）过点A作AMBC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入yax2+bx5计算出a，b

16、的值即可；（2）作EDx轴于D，表示出ED，从而表示出SBEP，利用二次函数求最值；（3）过A作AEy轴交直线BC于E点，过N作NFy轴交直线BC于点F，则NFAE4，设N（m，m2+6m5），则F（m，m5），从而有NF|m2+5m|4，解方程即可求出N的横坐标【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入yax2+bx5得：，解得，抛物线yx2+6x5，（2）作EDx轴于D，由题意知：BP4t，BE2t，B（5，0），C（0，5），OBOC5，OBC45，EDsin452t，SBEP，当t 时，SBEP最大为2当t2时，SBEP最大为2（3）过A作AEy轴交直线BC于E点，过N作NFy轴

17、交直线BC于点F，则NFAE4，设N（m，m2+6m5），则F（m，m5），NF|m2+5m|4，m25m+40或m25m40，m11（舍），m24，或m3，m4，点N的横坐标为：4或或2（2021九龙坡区模拟）如图1，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PNBC，交BC于点N（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线yax2+bx+4沿着射线CB的方

18、向平移，使得新抛物线y过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程【分析】（1）将点A（3，0），B（4，0）代入yax2+bx+4，即可求函数解析式；（2）先求出BC的解析式为yx+4，设P（m，m2+m+4），Q（m，m+4），由面积SBCPBCPNPQOB，可得PN（m2）2+，所以当m2时，PN有最大值，P（2，）；（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平

19、移后的函数解析式为y+t，再由新抛物线y过原点，可求t2，则可求新的抛物线解析式为yx2+x，联立x2+xx2+x+4，求出D（3，2），由点E在y上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：当AE与DF为平行四边形的对角线时，3+n+3，得F（，）；当AF与ED为平行四边形对角线时，3+n3+，得F（，）；当AD与EF为平行四边形对角线时，3+3n+，得F（，）【解析】（1）将点A（3，0），B（4，0）代入yax2+bx+4，得：，解得：，yx2+x+4；（2）抛物线与y轴交于点C，C（0，4），设直线BC的解析

20、式为ykx+d，将点B与点C代入可得，解得，yx+4，点P的横坐标为m，PMx轴，P（m，m2+m+4），Q（m，m+4），SBCPBCPNPQOB，B（4，0），C（0，4），BC8，8PN（m2+m+4+m4）4，PN（m2）2+，当m2时，PN有最大值，P（2，）；（3）yx2+x+4+，抛物线沿着射线CB的方向平移，设抛物线沿x轴正方向平移t（t0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，平移后的函数解析式为y+t，新抛物线y过原点，0+t，解得t2或t6（舍），y+x2+x，点D为原抛物线y与新抛物线y的交点，联立x2+xx2+x+4，x3，D（3，2），yx2+x+4的对称轴为直线x，

21、E点的横坐标为，点F为新抛物线y上一动点，设F点横坐标为n，当AE与DF为平行四边形的对角线时，3+n+3，n，F（，）；当AF与ED为平行四边形对角线时，3+n3+，n，F（，）；当AD与EF为平行四边形对角线时，3+3n+，n，F（，）；综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（，）或（，）或（，）3（2021碑林区校级模拟）如图，抛物线M：yax2+bx+ba经过点（1，3）和（4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y（xh）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使

22、得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；（2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值【解析】（1）将（1，3），（4，12）代入yax2+bx+ba，得，解得，抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为（2）存在，当x0时，y2，当y0时，解得x11，x24，C（0，2），B（4，0），设，当四边形BCFE是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，则得m+n2h1

23、，（+）2得，（）2得，将，代入得h，当四边形BCEF是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，则得m+n2h1，（+）2得，（）2得，将，代入得h或，当h时，mh+8，nh4，E（4，0），F（8，2），此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；综上，h的值为或4（2021本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E（1）填空：ABC的形状是 直角三角形（2）求抛物线的解析式；（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当PCD的面积最大时，

24、求P点坐标；（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标【分析】（1）由tanACO，故ACO30，同理可得，BCO60，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）当PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；（4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；当ED为对角线时，由中点坐标公式得：m+n且4+2n2+n+3+3，即可求解【解析】（1）由抛物线的表达式知，c3，OC3，则tanACO，故ACO30，同理可得，BCO60，故AB

25、C为直角三角形，故答案为：直角三角形；（2）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为yx2+x+3；（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为yx+3，则设直线lBC，则设直线l的表达式为：yx+c，当PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，联立并整理得：x2+x+3c0，则（）24（）（3c）0，解得：c，将c的值代入式并解得x，故点P的坐标为（，）；（4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4），直线BC的表达式为yx+3，故点D（，2），设点M的坐标为（m，m+3），点N的坐标为（n，n2+n+3），当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上

26、平移2个单位得到点N（M），则mn且m+32n2+n+3，解得：m（舍去）或2或；当ED为对角线时，由中点坐标公式得：m+n且4+2n2+n+3m+3，解得m（舍去）或0，综上，m0或2或或，故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）5（2021深圳模拟）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，3a），对称轴是直线x1，顶点是M（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线yx+

27、3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF的形状，并说明理由【分析】（1）因为抛物线经过点（2，3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CPAN

28、，使CPAN，由于AN2，所以可以得到P（2，3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；（3）利用yx+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得DOB是等腰直角三角形，同理可以证得BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得AEFAFE45，所以AEF是等腰直角三角形【解析】（1）抛物线经过点（2，3a），4a+2b33a，又因为抛物线对称为x1，联立，解得，抛物线对应的函数表达式为yx22x3；（2）如图1，y（x1）24，M（1，4），令x0，则yx22x33，C（0，3），设直线MC为ykx3，代入点M得k1，直线MC为yx3，令y0，

29、则x3，N（3，0），令y0，则x22x30，x1或3，A（1，0），B（3，0），过C作CPAN，使CPAN，则四边形ANCP为平行四边形，CPAN1（3）2，P（2，3），P的坐标满足抛物线解析式，P（2，3）在抛物线上，即P（2，3）；（3）如图2，令x0，则yx+33，D（0，3），OBOD3，又DOB90，DBO45，同理，ABC45，同弧所对的圆周角相等，AEFABC45，AFEDBO45，AEFAFE45，AEF为等腰直角三角形6（2021铜梁区校级一模）已知抛物线yax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C其中OCOB，tanCAO3（1）求抛物线的

30、解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线yM为新抛物线y的顶点D为新抛物线y上任意一点，N为x轴上一点当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标并选择一个你喜欢的N点写出求解过程【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点【解析】（1）抛物线解析式为yax2+bx+3，令x0得y

31、3，点C坐标为（0，3），OGOB3，B坐标为（3，0），tanCAO3，3，OA1，点A坐标为（1，0），设解析式为ya（x+1）（x3），代入（0，3）得a1，y（x+1）（x3），（x22x3）x2+2x+3（x1）2+4，抛物线解析式为：y（x1）2+4；（2）Q为线段PB中点，SCPQSCPB，当SCPB面积最大时，CPQ面积最大设P坐标（a，a2+2a+3），过点P作PHy轴交BC于点H，H坐标为（a，a+3），PH（a2+2a+3）（a+3）a2+2a+3+a3a2+3a，SCPBPH（xBxC）PH3PH（a2+3a）（a23a+）（a）2+，当a时，即P坐标为（，）时，最大S

32、CPQSCPB，P坐标为（，）；（3）沿CB方向平移2个单位，即向右2个单位，向下2个单位，新抛物线解析式为y（x3）2+2，M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），点N坐标设为（n，0），yD1，则1（x3）2+21（x3）2，（x3）21，x31，x4或2，xD4或xD2，xN7，或，xN5，N坐标为（7，0）或（5，0），或，得yD1，则1（x3）2+2，（x3）23，x+3，xD3或xD3+，即xN或，N坐标为（，0）或（，0）7（2021盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OAOB，直线AB与抛物线在第一象

33、限交于点C（2，6）（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sinABO的值；连接OC若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（4，0），C（2，6）代入yx2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；（2）由OAOB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为ykx+b，将A（4，0）、B（0，4）代入可求得AB为yx+4，RtAOB中，可得sinA

34、BO，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQx轴于Q，过C作CHx轴于H，分两种情况：当SAOP：SCOP1：2时，PQ：CH1：3，可求PQ2，从而求得P坐标，当SCOP：SAOP1：2时，SAOP：SAOC2：3，同理可求P坐标；（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可【解析】（1）将A（4，0），C（2，6）代入yx2+bx+c得：，解得，抛物线的解析式为yx2+2x，对称轴x2，当x2时，y4+2（2）2，顶点M的坐标为（2，2）；（2）A（4，0），OA4，OAOB，OB4，B（0

35、，4），设直线AB的函数解析式解析式为ykx+b，将A（4，0）、B（0，4）代入得：，解得，直线AB的函数解析式解析式为yx+4，RtAOB中，AB4，sinABO，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQx轴于Q，过C作CHx轴于H，分两种情况：当SAOP：SCOP1：2时，如图：SAOP：SCOP1：2，SAOP：SAOC1：3，PQ：CH1：3，而C（2，6），即CH6，PQ2，即yP2，在yx+4中，令y2得2x+4，x2，P（2，2）；当SCOP：SAOP1：2时，如图：SCOP：SAOP1：2，SAOP：SAOC2：3，PQ：CH2：3，C

36、H6，PQ4，即yP4，在yx+4中，令y4得4x+4，x0，P（0，4）；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（2，2）或（0，4）；（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，A（4，0）、O（0，0），C（2，6），AN的中点为（，），OC中点为（，），解得，N（6，6），以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：解得，N（2，6），以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，解得，N（6，6），综上所述，点A、O

37、、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（2，6）或（6，6）8（2021海州区一模）如图，抛物线yax2+bx3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MNAC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；

38、若不存在，请说明理由【分析】（1）将A，B坐标代入yax2+bx3中，利用待定系数法可求；（2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBFSCEF+SBEFEFOP+BPFEOB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，过M作MEy轴于E，过N作NFME于F，通过说明AOCMFN，得出NF3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GFNF3，

39、列出方程，解方程，点M坐标可求；利用中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标【解析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx3中得：解得：该抛物线的函数表达式为：yx22x3（2）设直线l的解析式为ykx+n，将B（3，0），D（0，3）代入上式得：解得：直线l的解析式为：yx+3点P（m，0），EFx轴，E点坐标为（m，m22m3），点F的坐标为（m，m+3）EFm+3m2+2m+3m2+m+6B（3，0），OB3S四边形CEBFSCEF+SBEFEFOP+BPEFFEOB，0，当m时，S四边形CEBF有最大值即：当m时，四边形CEBF面积的最大值为（3）存在当点M在直线

40、BD的下方时，如图，令x0，则y3C（0，3）OC3A（1，0），OA1过M作MEy轴于E，过N作NFME于F，交x轴于点G，四边形ACMN为平行四边形，ACMN，ACMNNFME，MEOE，NFOEACOMNF在AOC和MFN中，AOCMFN（AAS）NFOC3，MFOA1设M（h，h22h3），则MEh，GFOEh2+2h+3OGEFMEMFh1N（h1，h+4）NGh+4，NG+GFNF3，h+4h2+2h+33解得：h（负数不合题意，舍去）hM（）当点M在直线BD的上方时，如图，过N作NEy轴于E，过M作MFNE于F，交x轴于点G，由知：MNFCAO（AAS），可得NFOA1，MFOC

41、3设M（h，h22h3），则OGFEh，GMh22h3NEEF+NFh+1N（h+1，h+2）GFOEh2MG+GFMF3，h2+h22h33解得：h（负数不合题意，舍去）hM（）综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）9（2021南昌县一模）如图，已知二次函数L1：ymx2+2mx3m+1（m1）和二次函数L2：ym（x3）2+4m1（m1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）（1）函数ymx2+2mx3m+1（m1）的顶点坐标为 （1，4m+1）；当二次函数L1，L2的

42、y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是 1x3；（2）当ADMN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：求所有定点的坐标；若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形；（3）根据菱形的性质可得EH1EF4即可，设

43、平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解【解析】（1）x1，顶点坐标M为（1，4m+1），由图象得：当1x3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大故答案为：（1，4m+1）；1x3（2）结论：四边形AMDN是矩形由二次函数L1：ymx2+2mx3m+1（m1）和二次函数L2：ym（x3）2+4m1（m1）解析式可得：A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），顶点M坐标为（1，4m+1），顶点N坐标为（3，4m1），AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），AD与MN互相平分，四边形AMDN是平行四边形，又ADMN，AMDN是矩形（3）二次函数L1：ymx

44、2+2mx3m+1m（x+3）（x1）+1，故当x3或x1时y1，即二次函数L1：ymx2+2mx3m+1经过（3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：ym（x3）2+4m1m（x1）（x5）1，故当x1或x5时y1，即二次函数L2：ym（x3）2+4m1经过（1，1）、（5，1）两点，二次函数L1：ymx2+2mx3m+1经过（3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：ym（x3）2+4m1经过（1，1）、（5，1）两点，如图：四个定点分别为E（3，1）、F（1，1），H（1，1）、G（5，1），则组成四边形EFGH为平行四边形，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得：4222

45、+（4x）2解得：x，抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移或10（2022渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3（a0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（1，0），连接BC，OB2OC（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQy轴交BC于点Q，求PHQ周长的最大值及此时点P坐标；（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y；点D是新抛物线y上的点且横坐标为3，点M为新抛物线y上一点，点E、F为直线AC

46、上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来【分析】（1）求出B、C点坐标，将B、C点代入yax2+bx3，即可求解；（2）先求出BC的解析式，设P（t，t2t3），则Q（t，t3），PQt2+3t，由PQCO，可得HQPOCB，利用直角三角形三角函数求出HPPQ，HQPQ，则PHQ周长HP+PQ+HQ（1+）PQ（1+）（t3）2+，当t3时，PHQ周长有最大值+，此时P（3，6）；（3）求出平移后的函数解析式为yx2+x5，则D（3，5），设M（m，m2+m5），E（x1，3x13），F（x2，3x23），分

47、三种情况讨论：以EF为平行四边形的对角线时，M（，）或（，）；以EM为平行四边形的对角线时，M（6，4）；以ED为平行四边形的对角线时，求得M（6，4）【解析】（1）令x0，则y3，C（0，3），OC3，OB2OC，OB6，B（6，0），将B、C点代入yax2+bx3，解得，yx2x3；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，解得，yx3，设P（t，t2t3），则Q（t，t3），PQt2+3t，CO3，BO6，BC3，在RtABC中，sinBCO，cosBCO，PQCO，HQPOCB，sinHQP，cosHQP，HPPQ，HQPQ，PHQ周长HP+PQ+HQ（1+）PQ（1+）（t2+3t）（1

48、+）（t3）2+，点P是直线BC下方，0t6，当t3时，PHQ周长有最大值+，此时P（3，6）；（3）yx2x3（x）2，平移后的函数解析式为y（x+）2x2+x5，D（3，5），设M（m，m2+m5），设直线AC的解析式为ykx+b，解得，y3x3，设E（x1，3x13），F（x2，3x23），以EF为平行四边形的对角线时，解得m或m，M（，）或（，）；以EM为平行四边形的对角线时，解得m3（舍）或m6，M（6，4）；以ED为平行四边形的对角线时，解得m3（舍）或m6，M（6，4）；综上所述：M点坐标为（，）或（，）或（6，4）11（2022平桂区 二模）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴

49、交于A（1，0）、B（3，0）两点，与直线yx+3交于点B、C（0，n）（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求该抛物线的表达式；（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQBC，求点P的坐标【分析】（1）把C（0，n）代入yx+3得n3，即知C（0，3），根据抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，得抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1；（2）用待定系数法可得抛物线的表达式为yx2+2x+3；（3）由P（1，t），B（3，

50、0）可知C（0，3）的对应点C坐标为（2，3+t），设Q（m，m2+2m+3），分两种情况：当PQBC，BQCP时，BP的中点即为CQ的中点，可得，P（1，2）；当PQBC，BPCQ时，BQ中点即为CP中点，得P（1，8）【解析】（1）把C（0，n）代入yx+3得：n3，C（0，3），抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1，答：C（0，3），抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1；（2）把A（1，0）、B（3，0），C（0，3）代入yax2+bx+c得：，解得，抛物线的表达式为yx2+2x+3；（3）点P在抛物线的对称轴

51、上，纵坐标为t，P（1，t），平移BC使点B与P重合，B（3，0），C（0，3）的对应点C坐标为（2，3+t），设Q（m，m2+2m+3），当PQBC，BQCP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：，解得，P（1，2）；当PQBC，BPCQ时，BQ中点即为CP中点，如图：，解得，P（1，8），综上所述，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQBC，P的坐标为（1，2）或（1，8）12（2022龙岗区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数yx2+2mxm2+4（m是常数），当m1时，记二次函数的图象为C1；m1时，记二次函数的图象为C2如图1，图象C1与x轴交于A、B两点（点A

52、在点B的左侧），与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧）（1）请直接写出点A、B、C的坐标；（2）当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m0或6或6；（3）如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值【分析】（1）分别令x0，y0即可求解；（2）求出D、E的坐标，再分三种情况讨论：当O为中点时，m0；当D为中点时，m6；当E为中点时，m6；（3）求出P点的横坐标为，再分三种情况讨论：当AC为平行四边形的对角线时，1m2+，3，此时无解；当AD为平行四边形的对角线时，1+m2，03+，此时无解；当AP为平行四

53、边形的对角线时，1+m2，3，解得m3【解析】（1）当m1时，yx2+2x+3，令y0则x2+2x+30，解得x1或x3，A（1，0），B（3，0），令x0则y3，C（0，3）；（2）令x2+2mxm2+40，解得xm2或xm+2，D（m2，0），E（m+2，0），当O为中点时，m2+m+20，m0；当D为中点时，2（m2）m+2，解得m6；当E为中点时，2（m+2）m2，解得m6；综上所述：m的值为0或6或6，故答案为：0或6或6；（3）联立方程组，A（1，0），C（0，3）；D（m2，0），解得x，P点的横坐标为，P（，），当AC为平行四边形的对角线时，1m2+，3，此时m无解；当AD为平

54、行四边形的对角线时，1+m2，03+，此时无解；当AP为平行四边形的对角线时，1+m2，3，解得m3；综上所述：m的值为313（2022康巴什一模）如图，抛物线yx2+6x5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为yx5（1）写出相应点的坐标：A（1，0），B（5，0），C（0，5）；（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大，并求出最大值（3）过点A作AMBC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直

55、线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标【分析】（1）分别令y0和x0进行求解即可；（2）根据题意分别求出P点坐标为（1+t，0），E点坐标为（3t，t），则SPBE（4t）（t）（t2）2+2，可求当t2时，PBE的面积最大为2；（3）过点M作MEx轴交于点E，由OBC45，求出M（3，2），再由待定系数法求直线AM的解析式为yx+1，设N（m，m2+6m5），求出直线NQ的解析式为yxm2+7m5，联立方程组，可求Q（，5），分三种情况讨论：当AM为平行四边形的对角线时，1+3m+，此时不构成平行四边形；当AN为平行四边形的对角线时，1+m

56、3+，解得m；当AQ为平行四边形的对角线时，1+3+m，解得m1（舍）或m4【解析】（1）令x2+6x50，解得x1或x5，A（1，0），B（5，0），令x0，则y5，C（0，5），故答案为：（1，0），（5，0），（0，5）；（2）由题意可知0t4，P点以每秒1个单位的速度向B运动，P点坐标为（1+t，0），OBOC5，OBC45，E点以每秒2个单位的速度向C运动，E点坐标为（3t，t），SPBE（4t）（t）t2+2t（t2）2+2，当t2时，PBE的面积最大为2；（3）ABC45，AMBC，AB4，AM2，过点M作MEx轴交于点E，BAM45，M（3，2），设直线AM的解析式为ykx+b

57、，解得，yx+1，AMNQ，直线NQ的解析式为yx+b，设N（m，m2+6m5），bm2+7m5，yxm2+7m5，联立方程组，解得，Q（，5），当AM为平行四边形的对角线时，1+3m+，解得m1（舍）或m8，此时MA的中点为（2，1），NQ的中点为（2，8），此时不构成平行四边形；当AN为平行四边形的对角线时，1+m3+，解得m；当AQ为平行四边形的对角线时，1+3+m，解得m1（舍）或m4；综上所述：N点的横坐标为4或14（2022武城县模拟）如图，直线l：yx+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为A（1）求该抛物线的解析式；（2）若点

58、P在直线l下方的抛物线上，过点P作PDx轴交l于点D，PEy轴交l于点E，求PD+PE的最大值；（3）设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）先确定出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先设出点P的坐标，进而得出点D，E的坐标，即可得出PD+PE的函数关系式，即可得出结论；（3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论【解析】（1）直线yx+1与x轴、y轴分别交于点B、C，B（2，0）、C（0，1），B、C在抛物线解yx2+bx+c上，解得：，抛物

59、线的解析式为yx2x+1；（2）设P（m，m2m+1），PDx轴，PEy轴，点D，E都在直线yx+1上，E（m，m+1），D（2m2+5m，m2m+1），PD+PE2m2+5mm+（m+1）（m2m+1）3m2+6m3（m1）2+3，当m1时，PD+PE的最大值是3；（3）能，理由如下：由yx2x+1，令0x2x+1，解得：x2或x，A（，0），B（2，0），AB，若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，当以AB为边时，则ABPF1且ABPF1，设P（a，a2a+1），则F1（2a2+5a，a2a+1），|2a2+5aa|，解得：a或a（与A重合，舍去）或a（舍）或a（舍去），F1（

60、3，）；当以AB为对角线时，连接PF2交AB于点G，则AGBG，PGF2G，设G（m，0），A（，0），B（2，0），m2m，m，G（，0），作PMAB于点M，F2NAB于点N，则NGMG，PMFN，设P（b，b2b+1）（0b2），则F2（2b25b+4，b2+b1），b2b25b+4，解得：b或b（与A重合，舍去），F2（1，），综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形此时点F的坐标为F（3，）或F（1，）15（2022沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3与x轴交于点A（2，0）、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且过点（2，3）（1）求抛

61、物线的表达式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点P作PDy轴，交BC于D，过点P作PEx轴，交直线BC于E，求PE+DB的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y，点M为新抛物线y上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）先求得B（4，0），C（0，3），再运用待定系数法求得直线BC的解析式为yx+3，设P（m，m2+m+3）（0m4），延长PD交x轴于点F，则D（m，m+3）

62、，F（m，0），E（m2m，m2+m+3），进而可得：PEm（m2m）m2+2m，BF4m，再利用勾股定理和三角函数定义可得PE+DB（m）2+，根据二次函数的性质即可求得答案；（3）由平移得新抛物线yx2+，设M（t，t2+），N（1，n），分三种情况：以MN、AC为对角线时，以MA、NC为对角线时，以MC、NA为对角线时，分别运用平行四边形对角线互相平分的性质，建立方程求解即可得出答案【解析】（1）抛物线yax2+bx+3经过点A（2，0）和点（2，3），解得：，该抛物线的表达式为yx2+x+3；（2）yx2+x+3，令x0，得y3，C（0，3），令y0，得x2+x+30，解得：x12，x

63、24，B（4，0），设直线BC的解析式为ykx+d，则，解得：，直线BC的解析式为yx+3，设P（m，m2+m+3）（0m4），延长PD交x轴于点F，如图1，PDy轴，D（m，m+3），F（m，0），PEx轴，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，m2+m+3x+3，xm2m，E（m2m，m2+m+3），PEm（m2m）m2+2m，BF4m，在RtBOC中，BC5，cosCBO，cosCBO，DBBF（4m），PE+DBm2+2m+（4m）（m）2+，0，当m时，PE+DB的最大值为，此时P（，）；（3）yx2+x+3（x1）2+，抛物线yx2+x+3对称轴为直线x1，顶点为（1，），将抛物线yx2

64、+x+3沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线yx2+，设M（t，t2+），N（1，n），又A（2，0），C（0，3），以MN、AC为对角线时，则MN与AC的中点重合，如图2，解得：，N（1，3）；以MA、NC为对角线时，则MA与NC的中点重合，如图3，解得：，N（1，3）；以MC、NA为对角线时，则MC与NA的中点重合，如图4，解得：，N（1，6）；综上所述，点N的坐标为（1，3）或（1，3）或（1，6）16（2022开州区模拟）如图1，抛物线y与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点（1）求线段A

65、B的长（2）过点P作PFy轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PEAC于点E，求2PE+3PF的最大值及此时点P的坐标（3）如图2，将抛物线y向右平移3个单位得到新抛物线y，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程【分析】（1）令0，即可求解；（2）求出直线AC、BD的解析式，设点P（t，t2t+），则Q（t，t+），F（t，t），利用QPE30，将所求转化为2PE+3PF3PQ+3PF再求解即可；（3）求出平移后的抛物线解析式，设M（m，m2+m），N（1，n），分三种情况当

66、AB为平行四边形的对角线；当AM为平行四边形的对角线；当AN为平行四边形的对角线；利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求解即可【解析】（1）令0，解得x1或x3，A（3，0），B（1，0），AB4；（2）y，C（0，），设直线AC的解析式为ykx+b，解得，yx+，ACBD，直线BD的解析式为yx，设点P（t，t2t+），则Q（t，t+），F（t，t），点P为直线AC上方，PQt2t+tt2t，PFt2t+t+t2t+，OA3，OC，CAO30，PEAC，PFAO，QPE30，PEPQ，2PE+3PF3PQ+3PF3（t2tt2t+）3（t22t+）2t26t+42（t+）2+

67、，当t时，2PE+3PF有最大值，此时P（，）；（3）y（x+1）2+，抛物线的对称轴为直线x1，抛物线向右平移3个单位，平移后的抛物线解析式为y（x2）2+，设M（m，m2+m），N（1，n），当AB为平行四边形的对角线时，3+1m1，0nm2+m，m1，n，N（1，），M（1，）；当AM为平行四边形的对角线时，3+m11，m2+mn，m3，n，M（3，），N（1，）；当AN为平行四边形的对角线时，311+m，m2+mn，m5，n15，M（5，15），N（1，15）；综上所述：N点坐标为（1，）或（1，）或（1，15）17（2022凤翔县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过A（1

68、，0），C（0，2）两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B（1）求抛物线C1与C2的函数表达式；（2）若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A点、C点代入yx2+bx+c可求抛物线C1的函数表达式，再由平移的性质可求抛物线C2的函数表达式；（2）在中，令y4，可求M1（2，4）或M2（3，4），在中，令y4，可求N1（0，4）或N2（5，4）【解析】（1）yx2+bx+c的图象经过C

69、（0，2），c2，将A（1，0）代入yx2+bx2中，解得b1，抛物线C1的函数表达式为，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，抛物线C2的函数表达式为； （2）存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形，理由如下：点A（1，0）向右平移2个单位得到点B，B（1，0），AB2，由题意知，以AB为边的平行四边形的面积为8，则MNAB，MNAB，AB边上的高为4，抛物线的顶点为，而，在x轴下方不存在满足条件的点M、N；在中，令y4，即x2x24，解得x2或x3，M1（2，4）或M2（3，4），在中，令y4，即x25x+44，解得x0或x5，N1（

70、0，4）或N2（5，4）综上所述，点M、N的坐标分别为M（2，4），N（0，4）或M（3，4），N（5，4）18（2022碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：yx22x与x轴正半轴交于点A直线yx2与x轴交于点B，与y轴交于点C（1）求线段AB的长度；（2）将抛物线W平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，与直线BC的一个交点为P，若以A、B、D、P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求平移后的抛物线表达式【分析】（1）在yx22x中，可得A（2，0），在yx2中，得B（4，0），即得线段AB的长度是2；（2）设抛物线W：yx22x平移后表达式为yx2+bx+c，D（0，m），

71、P（n，n2），分两种情况：当AP、BD为平行四边形对角线时，AP、BD的中点重合，可得，即可解得D（0，1），P（2，1），用待定系数法即得此时平移后的抛物线表达式为yx22x1；当AD、BP为对角线时，AD、BP的中点重合，同理可得D（0，3），P（2，3），再用待定系数法得此时平移后的抛物线表达式为yx2+2x3【解析】（1）在yx22x中，令y0得x22x0，解得x0或x2，A（2，0），在yx2中，令y0得x20，解得x4，B（4，0），AB422；答：线段AB的长度是2；（2）设抛物线W：yx22x平移后表达式为yx2+bx+c，由题意知抛物线yx2+bx+c过D、P，设D（0，m

72、），P（n，n2），又A（2，0），B（4，0），当AP、BD为平行四边形对角线时，AP、BD的中点重合，如图：，解得，D（0，1），P（2，1），将D（0，1），P（2，1）代入yx2+bx+c得：，解得，此时平移后的抛物线表达式为yx22x1；当AD、BP为对角线时，AD、BP的中点重合，如图：，解得，D（0，3），P（2，3），将D（0，3），P（2，3）代入yx2+bx+c得：，解得，此时平移后的抛物线表达式为yx2+2x3；综上所述，平移后的抛物线表达式为yx22x1或yx2+2x319（2020秋文昌期末）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B两点，交直线l于点A、

73、C（2，3）（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点D，使SABDSABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PEy轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）利用同底等高三角形的面积相等解答；（3）设点P的坐标为（m，m1）（1m2），则点E的坐标为（m，m22m3），进而可得出PEm2+m+2（m）2

74、+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（4）存在如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，3），可知CKx轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可【解析】（1）把A（1，0）、C（2，3）分别代入yax2+bx3，得解得故该抛物线解析式是yx22x3；（2）存在，理由如下：SABDSABC，C（2，3），AB|yC|AB|yD|，即|yC|yD|，|yD|3，yD3或yD3D（0，3）或（0，3）；（3）由A（1，0）、C（2，3）得到直线AC解析式为yx1设点P的坐标为（m，m1）（1m2），则点E的坐标为（m，m22m3），PEm1（m22m3）m2+m+2

75、（m）2+，10，当m时，PE取最大值，最大值为；（4）存在理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，3），C（2，3），CKx轴，CK2，当AC是平行四边形ACF1G1的边时，可得G1（3，0）当AC是平行四边形AF1CG2的对角线时，AG2CK，可得G2（1，0），当点F在x轴的上方时，令y3，3x22x3，解得x1，F3（1，3），F4（1+，3），由平移的性质可知G3（4，0），G4（4+，0）综上所述，满足条件的点G的坐标为（3，0）或（1，0）或（4，0）或（4+，0）20（2022眉山）在平面直角坐标系中，抛物线yx24x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴

76、交于点C，且点A的坐标为（5，0）（1）求点C的坐标；（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A的坐标代入yx24x+c，求出c的值即可；（2）过P作PEAC于点E，过点P作PFx轴交AC于点H，证明PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为yx+5，设P（m，m24m+5），（5m0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函

77、数的性质求解即可；（3）分三种情况讨论：当AC为平行四边形的对角线时，当AM为平行四边形的对角线时，当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可【解析】（1）点A（5，0）在抛物线yx24x+c的图象上，05245+cc5，点C的坐标为（0，5）；（2）过P作PEAC于点E，过点P作PFx轴交AC于点H，如图1：A（5，0），C（0，5）OAOC，AOC是等腰直角三角形，CAO45，PFx轴，AHF45PHE，PHE是等腰直角三角形，当PH最大时，PE最大，设直线AC解析式为ykx+5，将A（5，0）代入得05k+5，k1，直线AC解析式为yx+5，设P（m，m24m+5），（5m0），则H（m，m+5），a10，当时，PH最大为，此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；（3）存在，理由如下：yx24x+5（x+2）2+9，抛物线的对称轴为直线x2，设点N的坐标为（2，m），点M的坐标为（x，x24x+5），分三种情况：当AC为平行四边形对角线时，解得，点M的坐标为（3，8）；当AM为平行四边形对角线时，解得，点M的坐标为（3，16）；当AN为平行四边形对角线时，解得，点M的坐标为（7，16）；综上，点M的坐标为：（3，8）或（3，16）或（7，16）