专题7弦图与垂直模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题7弦图与垂直模型 解题策略模型1：垂直模型如图：DBCAE90，BCAC.，结论：RtBCDRtCAE. 模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图和图就是我们经常会见到的两种弦图. 三垂直图形变形如图、图，这也是由弦图演变而来的.模型2：弦图模型经典例题【例1】（2021全国八年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作P

2、EPB且PE交边CD于点E（1）求证：PEPB；（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EFAC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系【答案】（1）见解析；（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化PF的长为定值2；（3）PC=PA+2EC理由见解析【分析】（1）做辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明BMPPNE即可求解（2）如图，连接OB，通过证明OBPFPE，得到PF=OB，则PF为定值是2（3）根据AMP和PCN是等腰直角三角形，得PA=2PM，PC=2NC，整

3、理可得结论【详解】（1）证明：如图，过点P作MNAD，交AB于点M，交CD于点NPBPE，BPE90，MPB+EPN90四边形ABCD是正方形，BADD90ADMN，BMPBADPNED90，MPB+MBP90，EPNMBP在RtPNC中，PCN45，PNC是等腰直角三角形，PNCN，BMCNPN，BMPPNE（ASA），PBPE（2）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化理由：如图2，连接OB点O是正方形ABCD对角线AC的中点，OBAC，AOB90，AOBEFP90，OBP+BPO90BPE90，BPO+OPE90，OBPOPE由（1）得PBPE，OBPFPE（AAS），PFOBAB

4、2，ABO是等腰直角三角形，OB=22=2PF的长为定值2（3）解：PC=PA+2EC理由：如图1，BAC45，AMP是等腰直角三角形，PA=2PM由（1）知PMNE，PA=2NEPCN是等腰直角三角形，PC=2NC=2(NE+EC)=2NE+2EC=PA+2EC【点睛】本题主要考查了四边形综合应用，通过对三角形全等的证明找出边之间的关系，准确分析代换求解是解题的关键【例2】（2021黑龙江哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BECF，AE与BF交于点G（1）如图1，求证AEBF；（2）如图2，在GF上截取GMGB，MAD的平分线交CD于点H，交B

5、F于点N，连接CN，求证：AN+CN2BN；【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）根据正方形的性质得AB=BC，ABC=BCD=90，用SAS证明ABEBCF，得BAE=CBF，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；（2）过点B作BHBN，交AN于点H，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS证明AGBAGM，得BAG=MAG，根据角平分线性质得BHA=GAN=45，则HBN是等腰直角三角形，用SAS证明ABHCBN，得AH=CN，在RtHBN中，根据勾股定理即可得；【详解】解：（1）四边形ABCD 是正方形，AB=BC，ABC=BCD=90，在ABE和BCF中，AB=BCABE=

6、BCFBE=CFABEBCF（SAS），BAE=CBF，AEB+BAE=180ABC=18090=90，AEB+CBF=90，EGB=180(AEB+CBF)=18090=90，AEBF；（2）如图所示，过点B作BHBN，交AN于点H，四边形ABCD是正方形，AB=AC，ABC=HBN=90，HBN=HBA+ABN=90，ABC=CBN+ABN=90，HBA=CBN，由（1）得，AEBF，AGB=AGM=90，HBG=AGM=90,HB/AE，BHA=EAN，在AGB和AGM中，AG=AGAGB=AGMGB=GMAGBAGM（SAS），BAG=MAG，AN平分DAM，DAN=MAN，BAG+M

7、AG+MAN+DAN=90，2MAG+2MAN=90，MAG+MAN=45，GAN=45，BHA=GAN=45，BNH=180HBNBHA=1809045=45，HBN是等腰直角三角形，BH=BN，在ABH和CBN中，BH=BNHBA=CBNAB=CBABHCBN（SAS），AH=CN，在RtHBN中，根据勾股定理HN=BH2+BN2=2BN，AN+CN=AN+AH=HN=2BN；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点【例3】（2021云南曲靖八年级期末）如图1

8、，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BGAE于点H，交CD于点G（1）求证：AE=BG；（2）如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，过点A作AOFR于点O，若AB=1，正方形的边长为3，求线段OF的长【答案】（1）见解析；（2）四边形MNPQ为正方形，理由见解析；（3）106【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，可得ABC=BCD=90，推得ABG+CBG=90，由BGAE，可得

9、BAE+ABG=90，可证ABEBCGASA即可；（2）M、N为AB、AG中点，可得MN为ABG的中位线，可证MN/BG，MN=12BG，由点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，可得PQ是BEG的中位线，MQ为ABE的中位线，NP为AEG的中位线，可证PQ/BG，PQ=12BG，MQ/AE，MQ=12AE，NP/AE，NP=12AE，可证四边形MNPQ为平行四边形再证四边形MNPQ为菱形，最后证MNMQ即可；（3）延长AO交BC于点S，由对称性可得BF=BF，AB=BS=1，AO=SO，由勾股定理可求AS=10，可得AO=12AS=102，设AF=x，在RtABF中，12+(3x

10、)2=x2，解得x=53，在RtAOF中，可求OF=106【详解】（1）证明：四边形ABCD为正方形，ABC=BCD=90，ABG+CBG=90，BGAE，AHB=90，BAE+ABG=90，BAE=CBG，在ABE与BCG中，BAE=CBGAB=BCABC=BCD，ABEBCGASA，AE=BG（2）解：四边形MNPQ为正方形，理由如下：M、N为AB、AG中点，MN为ABG的中位线，MN/BG，MN=12BG，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，PQ是BEG的中位线，MQ为ABE的中位线，NP为AEG的中位线，PQ/BG，PQ=12BG，MQ/AE，MQ=12AE，NP/AE

11、，NP=12AE，MN=PQ，MQ=NP，四边形MNPQ为平行四边形AE=BG，MN=MQ，四边形MNPQ为菱形，BGAE，MQ/AE，MQBG，MN/BG，MNMQ，四边形MNPQ为正方形（3）解：延长AO交BC于点S，由对称性可知BF=BF，AB=BS=1，AO=SO，在RtABS中，AS=AB2+BS2=10，AO=12AS=102，设AF=x，则BF=BF=3x，在RtABF中，12+(3x)2=x2，x=53，AF=53，在RtAOF中，OF=AF2AO2=5321022=106【点睛】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根

12、据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键【例4】（2021河南商丘八年级期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为4,0，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰RtABC(1)如图1，若OB=3，则点C的坐标为_；(2)如图2，若OB=4，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰RtBDE，连接AE，求证：AEAB；(3)如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰RtOBF连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长度【答案】(1)点C（3，7）；(2)证明见详解过程；(3)2【分析】（1）如图1，过点

13、C作CHy轴，由“AAS”可证ABOBCH，可得CH=OB=3，BH=AO=4，可求解；（2）过点E作EFx轴于F，由“AAS”可证ABOBCH，可得BO=DF=4，OD=EF，由等腰直角三角形的性质可得BAO=45，EAF=AEF=45，可得结论；（3）由（1）可知ABOBCG，可得BO=GC，AO=BG=4，再由“AAS”可证CPGFPB，可得PB=PG=2(1)如图1，过点C作CHy轴于H，CHB=ABC=AOB=90，BCH+HBC=90=HBC+ABO，ABO=BCH，在ABO和BCH中，CHB=AOBBCH=ABOBC=AB，ABOBCH（AAS），CH=OB=3，BH=AO=4，

14、OH=7，点C（3，7），故答案为：（3，7）；(2)过点E作EFx轴于F，EFD=BDE=BOD=90，BDO+EDF=90=BDO+DBO，DBO=EDF，在BOD和DFE中，BOD=EFDDBO=EDFBD=ED，BODDFE（AAS），BO=DF=4，OD=EF，点A的坐标为（4，0），OA=OB=4，BAO=45，OA=DF=4，OD=AF=EF，EAF=AEF=45，BAE=90，BAAE；(3)过点C作CGy轴G，由（1）可知：ABOBCG，BO=GC，AO=BG=4，BF=BO，OBF=90，BF=GC，CGP=FBP=90，又CPG=FPB，CPGFPB（AAS），BP=GP

15、，BP=12BG=2【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键【例5】（2021黑龙江哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BFDE，垂足为点F，BF与CD相交于点G（1）求证：BCGDCE；（2）如图2，连接BD，若BE42，DG22，求tanDBG的值【答案】（1）见解析；（2）12【分析】（1）由正方形的性质结合已知条件，利用ASA判定三角形全等即可；（2）过点G作GHBD垂足为H，由全等求得CGCE，进一步结合图形求得BC和CG的长，然后

16、在RTBDC中求得GH和BH的长，最后在RTBHG中，利用tanDBGHGBH，即可求得答案【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BCGDCE90，BCCD，BFDE，DFGBCG90，BGCDGF，CBGCDE在BCG和DCE中，CBG=CDEBC=CDBCG=DCE ，BCGDCE，（2）解：过点G作GHBD垂足为H，BCGDCE，CGCE，BEBC+CE42，DGCDCG22，BCCD32，CGCE2，在RTBDC中，BCD90，BDCD2+BC2322+322=6，DHG45，DHG90，DG22，DHDG=sin4522，DH2，GHDH2，BHBDDH，BH624，在RTBH

17、G中，BHG90，tanDBGHGBH，tanDBG12【点睛】本题考查三角形全等的证明，直角三角形中锐角三角函数的定义等相关知识点，熟练掌握数形结合思想解题是重点培优训练一、解答题1（2022江苏八年级课时练习）如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E(1)由图1，证明：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）【答案】(1)证明见解析；(2)DE=ADBE

18、，证明过程见解析；(3)DE=BEAD，证明过程见解析【分析】(1)先证明ADCCEB，得到AD=CE，DC=BE，进而得到DE=CE+DC=AD+BE即可；(2)同(1)中思路，证明ADCCEB，进而得到DE=CE-DC=AD-BE即可；(3)同(1)中思路，证明ADCCEB，进而得到DE=DC-CE=BE-AD即可【详解】解：(1)证明：在ABC中，ACB=90，ACD+BCE=90，ADMN，ACD+CAD=90，BCE=CAD，又AC=BC，ADC=CEB=90，ADCCEB(AAS)，AD=CE，DC=BE，直线MN经过点C，DE=CE+DC=AD+BE；(2)DE，AD，BE的等量

19、关系为：DE=ADBE，理由如下：ADMN于D，BEMN于EADC=BEC=ACB=90，CAD+ACD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE，在ADC和CEB中CAD=BCEADC=BEC=90AC=CB，ADCCEBAASCE=AD，CD=BE，DE=CECD=ADBE；(3)当MN旋转到图3的位置时，DE、AD、BE所满足的等量关系是DE=BEAD，理由如下：ADMN于D，BEMN于EADC=BEC=ACB=90，CAD+ACD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE，在ADC和CEB中CAD=BCEADC=BEC=90AC=CB，ADCCEBAASCE=AD，CD=BE，DE

20、=CDCE=BEAD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键2（2022全国八年级专题练习）如图所示，ABC中，AB=AC，BAC=90，点D为AB上一点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，连接AE，过点A作AE的垂线交CE于点F（1）如图1，求AEC的度数；（2）如图2，连接BF，且ABFEAB=15，求证：BF=2CF；（3）如图3，在（2）的条件下，G为DF上一点，连接AG，若AGD=EBF，AG=2，求CF的长【答案】（1）45；（2）见解析；（3）2【分析】（1）先证明EAB=FAC, AEB=A

21、FC,再证明ABEACF,再利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质可得答案；（2）利用全等三角形的性质先求解EBF=60，证明BE=CF, 再求解EFB=30，从而可得结论；（3）如图，过A作AMEF于M, 交BF于N, 连接EN, 证明BEN为等边三角形，再证明AGMENM，再利用全等三角形的性质可得答案.【详解】解：（1） BAC=90，AEAF, EAB+DAF=DAF+FAC=90,EAF=90, EAB=FAC, BECE, BED=90, AEB=BED+AEF=90+AEF=AFC, 即AEB=AFC, ABEACF， AE=AF，AEC=45（2） ABEACF，ABE=

22、ACF,BE=CF, AEB=AFC=90+45=135, EBA+EAB=45, ABFEAB=15,ABF=15+EAB, EBF=EBA+ABF=EBA+EAB+15=60, BFE=9060=30, BF=2BE，BE=CF，BF=2CF（3）如图，过A作AMEF于M, 交BF于N, 连接EN, AE=AF,AMEF,AEAF, EM=MF=AM,NE=NF, NEF=NFE=30, ENB=NEF+NFE=60, EBN=ENB=60, BEN为等边三角形，ENF=120, BE=BN=12BF=FN=EN， AGD=EBF=60, AMEF, ENM=12ENF=60, AM=EM

23、,AMG=EMN=90,AGM=ENM=60, AGMENM，AG=EN=2，CF=BE=2【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半，等边三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，熟练的应用以上知识解题的关键.3（2020北京市第十三中学九年级期中）已知：RtABC中，ACB90，ACBC（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，连接CE若BAD，求DBE的大小（用含的式子表示）；用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时

24、，连接AD，过点B作BEAD，垂足E在线段AD上，连接CE依题意补全图2；直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系【答案】（1）DBE45；AEBE=2EC，证明见解析；（2）补全图形见解析；EBEA=2EC【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CAB=45，即可求出CAD=45根据三角形的内角和即可求出DBE=CAD=45；过点C作CRCE交AE于R，然后证明ACRBCE，得到ARBE，CRCE，即可得到CER是等腰直角三角形，ER=2CE，由此即可求解；（2）根据题目要求作图即可；过点C作CFCE，交AD的延长线于点F.根据三角形的内角和定理得到CAF=CBE，证明ACFBCE.根据

25、全等三角形的性质有AF=BE，CF=CE根据等腰直角三角形的性质有EF=2EC则有 AF -EA =2EC，即可求出线段EA，EB和EC之间的数量关系【详解】解：（1）如图1中，ACB90，ACBC，CAB45，BAD，CAD45ACB90，BEAD，ADCBDE，DBECAD45；结论：AEBE=2EC理由：如图，过点C作CRCE交AE于RACBRCE90，ACRBCE，CAR+ADC90，CBE+BDE90，ADCBDE，CARCBE，在ACR和BCE中，ACR=BCECA=CBCAR=CBE，ACRBCE（ASA），ARBE，CRCE，CER是等腰直角三角形，ER=2CE，AEBEAEA

26、RER =2EC（2）补全图形，如图2所示：猜想：当D在BC边的延长线上时，EBEA=2EC；理由如下：过点C作CFCE，交AD的延长线于点F，如图3所示：则ECF90，ACB90，ACD90，ECF+ACEACB+ACE，即ACFBCE，CAF+ADB90，CBE+ADB90，CAFCBE，在ACF和BCE中，ACF=BCEAC=BCCAF=CBE，ACFBCE（ASA），AFBE，CFCEECF90，CEF是等腰直角三角形，EF=2EC，即AFEA=2ECEBEA=2EC【点睛】考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等，难度一般，掌握全等三角形的判定定理是解题

27、的关键4（2021四川省成都市七中育才学校七年级期中）已知：ABC中，ACB=90，AC=CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AEAD，且AE=AD（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EHAC于H，连接DE求证：EH=AC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M求证：BM=EM；（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC=5CM，请求出SADBSAEM的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）43或47【分析】（1）由“AAS”可证AHEDCA，可得EH=AC，即可求证；（2）过点E作ENAC，交CA延长线于N，

28、由“AAS”可证ANEDCA，可得AC=EN=BC，由“AAS”可证ENMBCM，可得BM=EM；（3）AC=5a，CM=2a，分三种情况：当点D在线段BC上，点D在线段BC的延长线上，点D在线段CB的延长线上，由全等三角形的性质可求得相应线段的长，再由三角形的面积公式可求解【详解】证明（1）AEAD，ACB=90，EAH=90CAD，ADC=90CAD，EAH=ADC，在AHE与DCA中AHE=ACB=90EAH=ADCAE=AD，AHEDCA(AAS)，EH=AC；（2）如图2，过点E作ENAC，交CA延长线于N，AEAD，ACB=90，EAN=90CAD，ADC=90CAD，EAN=AD

29、C，在ANE与DCA中，ANE=DCA=90ENA=ACDAN=ADANEDCA(AAS)，EN=AC，又AC=BC，EN=BC，又在ENM与BCM中，EMN=BMCN=BCA=90EN=BCENMBCM(AAS)，则BM=EM；（3）如图，当点D在线段BC上时，2AC=5CM，可设AC=5a，CM=2a，由（1）得：AHEDCA，则AH=CD，EH=AC=BC=5a，由EHM=BCM=90 ，BMC=EMH ，MHEMCB（AAS），CM=HM，即HM=CM=2a，AH=ACCMHM=5a2a2a=a ，AM=AH+HM=3a，CD=AH=a ，EH=AC=5a， BD=BCCD=4a，SA

30、DBSAEM=12BDAC12AMEH=124a5a123a5a=43；如图，点D在CB延长线上时，过点E作ENAC，交AC延长线于N，2AC=5CM，可设AC=5a，CM=2a，ENAC，AEAD，ANE=EAD=ACB=90 ，EAN=90CAD，ADC=90CAD，EAN=ADC，在ANE与DCA中，ANE=DCA=90ENA=ACDAN=ADANEDCA(AAS)，EN=AC，AN=CD ，又AC=BC，EN=BC，又在ENM与BCM中，EMN=BMCN=BCA=90EN=BCENMBCM(AAS)，CM=NM=2a，NE=BC=AC=5a ，AN=AC+CM+MN=9a ，AM=AC

31、+CM=7a ，AN=CD=9a ，BD=4a，SADBSAEM=12BDAC12AMEN=124a5a127a5a=47，点D在BC延长线上由图2得：ACCM ，2AC=5CM不可能，故舍去综上：SADBSAEM的值为43 或47【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键5（2022江苏八年级课时练习）在ABC中，AB=BC，B=90，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90，使点A旋转到点E，连结EC（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：BAD=EDC（

32、2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EFBC交直线BC于F，如图2所示，通过证明DEFABD，可推证CEF等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析；（3）成立，证明见解析【分析】（1）根据直角三角形的性质证明即可；（2）过点E作EFBC交直线BC于F，如图2所示，通过证明DEFABD，可推证CEF等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系；（

33、3）如图3所示，过点E作EFDC于F，证明ABDDFE，进一步可证明ACEC【详解】解：（1）证明：B=90BDA+BAD=90ADE=90BDA+EDC=90BAD=EDC（2）垂直EFBCEFD=90B=90EFD=B在ABD和DFE中BAD=FDEB=DFEAD=DEABDDFEAASAB=DF，BD=EFAB=BCBC=DF，BCDC=DFDC即BD=CFEF=CF又EFC=90ECF=45，且ACB=45ACE=18090=90即ACCE（3）（2）中的结论仍然成立如图3所示，过点E作EFDC于FABD=90EDF=DAB=90ADB在ABD和DFE中DAB=EDFABD=DFEAD

34、=DEABDDFEAASDB=EF，AB=DF=BCBCBF=DFBF即FC=DBFC=EFDCE=45ACE=DCE+ACB=90ACEC【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明ABDDFE是解本题的关键6（2021黑龙江哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试）如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、 F（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是_；（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图

35、3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接BF、FG、HG，若AHB=GHC，EF=CF=6，EH=2FH，四边形ABFG的面积是90，求GHC的面积【答案】（1）数量关系为：EF=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CF证明见详解；（3）SGHC=15【分析】（1）数量关系为：EF=BE+CF利用一线三直角得到BEA=AFC=90，EBA=FAC，再证EBAFEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；（2）数量关系为：EF=BE-CF先证BEA=AFC=90，EBA+EAB=90，EAB+FAC= =90，可得EBA=FAC，再证EBAFEC（AAS），可得BE=AF，A

36、E=CF即可；（3）先由（2）结论EF=BE-CF；EF=CF=6，求出BE=AF=12，由EH=2FH，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=290AF=18012=15，再求EG=3，AH= 10，分别求出SACF=12 AFFC=36，SHCF=12HFFC=6，SAGH=12AHEG=15，利用面积差即可求出【详解】解：（1）数量关系为：EF=BE+CFBEEF，CFEF，BAC=90，BEA=AFC=90，EBA+EAB=90，EAB+FAC=180-BAC=90，EBA=FAC，在EBA和FEC中，AEB=CFAEBA=FACAB=CA，EBAFAC（AAS）

37、，BE=AF，AE=CF，EF=AF+AE=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CFBEAF，CFAF，BAC=90，BEA=AFC=90，EBA+EAB=90，EAB+FAC= =90，EBA=FAC，在EBA和FEC中，AEB=CFAEBA=FACAB=CA，EBAFAC（AAS），BE=AF，AE=CF，EF=AF-AE=BE-CF；（3）EF=BE-CF；EF=CF=6，BE=AF=EF+CF=6+6=12，EH=2FH，EH+FH=EF=6，2FH+FH= 6，解得FH=2，EH=2FH=4，S四边形ABFG=12 AFBG=90，BG=290AF=18012=15，EG=BG

38、-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，SACF=12 AFFC=12126=36，SHCF=12HFFC=1226=6，SAGH=12AHEG=12103=15，SGHC=SACF-SHCF-SAGH=36-6-15=15【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键7（2021江苏泰州八年级期末）如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的

39、垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG（1）当AG=1时，求EG的长；（2）当AG的值等于 时，BE=82DF；（3）过G点作GMEG交CD于M求证：GB平分AGM；设AG=x，CM=y，试说明16xy4x4y1的值为定值【答案】（1）178；（2）843（3）见解析；16xy4x4y1=0，理由见解析【分析】（1）根据EF是线段BG的垂直平分线，BE=EG，设EG=EB=x，则AE=AB-BE=4-x，再由勾股定理求解即可；（2）过点F作FHAB于H，连接FB，FG，由BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，得到BE=2CF，先证明四边形BCFH是矩形，得到CF=HB，则BH

40、=EH=FC，设AG=x，BE=y，则AE=4-y，GD=4-x，CF=12y，DF=412y由AE2+AG2=EG2，GD2+DF2=GF2，BC2+FC2=BF2，可以得到4y2+x2=y2，4x2+412y2=42+12y2，联立求解即可得到答案；（3）先证明EBG=EGB，然后根据ABG+AGB=90，EGB+BGM=90，即可得到AGB=BGM；连接BM，过点B作BHGM，由角平分线的性质得到BH=AB=4，由S正方形ABCD=SABG+SMBG+SBCM+SCDM=44=16，可以得到2x+2GM+2y+124x4y=16，由勾股定理可以得到DM2+GD2=GM2即4x2+4y2=

41、4xy42，最后解方程即可得到答案【详解】解：（1）EF是线段BG的垂直平分线，BE=EG，四边形ABCD是正方形，且边长为4，AB=4，A=90，设EG=EB=x，则AE=AB-BE=4-x，AE2+AG2=EG2，4x2+12=x2，解得x=178，EG=178；（2）如图所示，过点F作FHAB于H，连接FB，FGEF是线段BG的垂直平分线，BF=FG，BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，BE=2CF，四边形ABCD是正方形，FHAB，HBC=C=BHF=90，四边形BCFH是矩形，CF=HB，BH=EH=FC，设AG=x，BE=y，则AE=4-y，GD=4-x，CF=12y，D

42、F=412yAE2+AG2=EG2，GD2+DF2=GF2，BC2+FC2=BF2，4y2+x2=y2，4x2+412y2=42+12y2，联立解得x=843或x=8+43（舍去），当AG=843时，BE=8-2DF，故答案为：843；（3）EF是线段BG的垂直平分线，EG=BE，EBG=EGB，四边形ABCD是正方形，EGGM，A=EGM=90，ABG+AGB=90，EGB+BGM=90，AGB=BGM，BG平分AGM；如图，连接BM，过点B作BHGM，由（3）得BG平分AGM，BH=AB=4，AG=x，CM=y，DG=4-x，DM=4-y，S正方形ABCD=SABG+SMBG+SBCM+S

43、CDM=44=16，12AGAB+12GMBH+12CMBC+12DMGD=16，2x+2GM+2y+124x4y=16，GM=4xy4，DM2+GD2=GM2，4x2+4y2=4xy42168x+x2+168y+y2=162xy+x2y216x+y28x+y+16=x2y216，x+y42=x2y216，x+y4=xy4，当x+y4=xy4时，则4x+4y16=xy，y=164x4x=4（不符合题意），4x+4y16=xy16xy4x4y1=0【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌

44、握相关知识进行求解8（2021全国八年级专题练习）已知，如图，在RtABC中，BAC90，ABC45，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时(1)求证：ABDACF；(2)若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度【答案】(1)证明见解析； (2)OC=2【分析】（1）由题意易得ADAF，DAF90，则有DABFAC，进而可证ABAC，然后问题可证；（2）由（1）可得ABDACF，则有ABDACF，进而可得ACF135，然后根据正方形的性质可求解【

45、详解】(1)证明：四边形ADEF为正方形，ADAF，DAF90，又BAC90，DABFAC，ABC45，BAC90，ACB45，ABCACB，ABAC，ABDACF(SAS)；(2)解：由(1)知ABDACF，ABDACF，ABC45，ABD135，ACF135，由(1)知ACB45，DCF90，正方形ADEF边长为22，DF4，OC12DF1242【点睛】本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键9（2021安徽安庆八年级期末）如图1，点E为正方形ABCD内一点，AEB90，将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90（即EBE90），得

46、到CBE（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE（1）试判断四边形BEFE的形状，并说明理由（2）如图2，若DADE，请猜想线段CF于FE的数量关系并加以证明（3）如图1，若AB17，CF3，请直接写出DE的长【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）CFFE，证明见解析；（3）5【分析】（1）由旋转的特征可得到EAEB90、EBE90、BEBE，再由BEF180AEB90，可判定四边形BEFE是正方形；（2）过点D作DGAE于点G，由DADE得AG12AE，再证明ADGBAE，且由四边形BEFE是正方形，得到FEAG12CE，可证得结论；（3）过点D作DGAE于点G，由旋转及四边形

47、BEFE是正方形可得如下关系：AECEFE+CFFE+3BE+3，在RtBAE中根据勾股定理求出BE、AE的长，由（1）可知，ADGBAE，得到DGBE，AGBE，再由勾股定理求出DE的长【详解】解：（1）四边形BEFE是正方形理由如下：由旋转得，EAEB90，EBE90，BEF180AEB90，四边形BEFE是矩形，由旋转得，BEBE，四边形BEFE是正方形（2）CFFE，证明：如图2，过点D作DGAE于点G，则DGAAEB90，DADE，AG12AE，四边形ABCD是正方形，DAAB，DAB90，BAE+DAG90，ADG+DAG90，ADGBAE，在ADG和BAE中ADG=BAEAGD=

48、AEBAD=AB，ADGBAE（AAS），AGBE；四边形BEFE是正方形，BEFE，AGFE，由旋转得，AECE，12AE12CE，FE12AE12CE，CFFE（3）如图3，过点D作DGAE于点G，BEFE，CF3，AECEFE+CFFE+3BE+3，AE2+BE2AB2，且AB17，(BE+3)2+BE2(17)2，解得，BE1或BE4（不符合题意，舍去），AE1+34，由（2）得，ADGBAE，DGAE4，AGBE1，GEAEAG413，DGE90，DEDG2+GE242+325【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点

49、，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形10（2021湖北鄂州八年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MNDM交CBP的角平分线于N，过点C作CE/MN交AD于E，连接EM，CN，DN（1）求证：DM=MN（2）求证：EM/CN（3）若AE=1，BN=32，求DN的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）52【分析】（1）在边DA上截取线段DF，使DF=MB连MF，证明MDFNMB即可求解；（2）由（1）MDFNMB，证明四边形EMNC为平行四边形即可求解；（3）过N作NQAP垂足为Q，由（

50、2）知，EDCMAD；得到ADDE=ABAM，AE=MB，BN平分CBP所以NBQ=45，可知三角形NBQ是等腰直角三角形，再用勾股定理即可求出和MN和DN【详解】（1）证明：在边DA上截取线段DF，使DF=MB连MF四边形ABCD是正方形AB=BC=CD=AD;DAB=ABC=BCD=CDA=90CBP=180ABC=90BN平分CBPCBP=45NBM=ABC+CBN=90+45=135DF=MB,AD=ABADDF=ABMBAF=AM在RtFAM中,AF=AM,AFM=AMF=45MFD=180AFM=135 MFD=NBMDMN=90NMB+DMA=18090=90DMA+MDF=90

51、NMB=MDF在MDF和NMB中MFD=NBADF=MBMDF=NMBMDFNMB(ASA)DM=MN（2）如图，设DM与CE的交点为H，四边形ABCD是正方形AD=DC,DAM=CDE=90DMN=90,CE/MNDHC=90, HDC+DCH=90 HDC+ADM=90DCE=ADM, 在EDC和MAD中，CDE=DAMAD=DCDCE=ADMEDCMAD(ASA)EC=DM又DM=MN，EC=MN又EC/MN四边形EMNC为平行四边形EM/CN（3）解：如图所示，过N作NQAP垂足为Q由（2）知，EDCMADDE=MA，又AD=ABADDE=ABAM即AE=MB=1BN平分CBP所以NB

52、Q=45，三角形NBQ是等腰直角三角形，在RtNBQ中，设BQ=x，则NQ=BQ=x，即x2+x2=(32)2，x=3NQ=3，MQ=1+3=4，在RtMQN中，MN=32+42=5，又在RtDMN中，MN=5，DM=5，DN=52+52=52【点睛】此题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定和判定以及勾股定理的应用，掌握它们的性质和判定是解题的关键11（2022广东塘厦初中八年级期中）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB4，CE22，

53、求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40时，直接写出EFC的度数【答案】（1）见解析；（2）22；（3）EFC130或40【分析】（1）作EPCD于P，EQBC于Q，证明RtEQFRtEPD，得到EFED，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题；（3）分两种情形：如图3，当DE与AD的夹角为40时，求得DEC454085，得到CEF5，根据角的和差得到EFC130，如图4，当DE与DC的夹角为40时，根据三角形的内角和定理即可得到结论【详解】（1）证明：如图1，作EPCD于P，EQBC于Q，

54、DCABCA，EQEP，QEFFEC45，PEDFEC45，QEFPED，在EQF和EPD中，QEF=PEDEQ=EPEOF=EPD，EQFEPD（ASA），EFED，矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在RtABC中，AC2AB42，CE22，AECE，点F与C重合，此时DCG是等腰直角三角形，四边形DECG是正方形，CGCE22；（3）如图3，当DE与AD的夹角为40时，DEC454085，DEF90，CEF5，ECF45，EFC130，如图4，当DE与DC的夹角为40时，DEFDCF90，EFCEDC40，综上所述，EFC130或40【点睛】此题考查了正方形的判定以及性质，涉及了全等三

55、角形的证明、等腰直角三角形等性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键12（2021山西八年级期末）综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE过点E作EFDE交直线BC于点F（1）试猜想线段DE与EF的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段CE,CD,CF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段CO上时（不与点C，O重合），EF交BC延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段CE,CD,CF之间的数量关系【答案】（1）DE=EF，理由见解析；（2）2CE=CD+CF，理由见解析；（3）2CE=

56、CDCF，理由见解析【分析】（1）先根据正方形的性质可证得BCEDCE，由此可得CBE=CDE，BE=DE，再根据同角的补角相等证得CDE=EFB，等量代换可得CBE=EFB，由此可得BE=EF，再等量代换即可得证；（2）过点E作EGEC交CB的延长线于点G，先证明EG=EC，利用勾股定理可得CG=2CE，再证明EGFECB，由此可得GF=CB=CD，最后再等量代换即可得证；（3）仿照（1）和（2）的证明即可证得2CE=CDCF【详解】解：（1）DE=EF，理由如下：四边形ABCD是正方形，BC=CD=AD，BCD=ADC=90，DAC=DCA=180ADC2=45，BCE=BCDDCA=45

57、，BCE=DCE，在BCE与DCE中，BC=DCBCE=DCECE=CEBCEDCE(SAS)，CBE=CDE，BE=DE，EFDE，FED=90，EFC+BCD+CDE+FED=360，CDE+EFC=180，EFC+EFB=180，CDE=EFB，CBE=EFB，BE=EF，DE=EF；（2）2CE=CD+CF，理由如下：如图，过点E作EGEC交CB的延长线于点G，CEG=90，由（1）知：BCE=45，EGC=BCE=45，EG=EC，在RtGEC中，CG=CE2+EG2=2CE，在EGF与ECB中，EGF=ECBEFG=EBCEF=EBEGFECB(AAS)，GF=CB=CD，又CG=

58、GF+CF=CD+CF，2CE=CD+CF；（3）2CE=CDCF，理由如下：如图，过点E作EGEC交BC于点G，设CD与EF的交点为点P，CEG=90，由（1）可知：BCE=45，EGC=BCE=45，EG=EC，在RtGEC中，CG=CE2+EG2=2CE，EFDE，FED=90，CDE+EPD=90，DCF=180BCD=90，CFE+CPF=90，又EPD=CPF，CDE=CFE，由（1）可知：CBE=CDE，CBE=CFE，在EGF与ECB中，EGF=ECBEFG=EBCEG=ECEGFECB(AAS)，GF=CB=CD，又CG=GFCF=CDCF，2CE=CDCF【点睛】本题考查了

59、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键13（2021全国八年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD和正方形CEGF，点F,C,B在同一直线上，连接BE，DF，DF与EG相交于点M（1）求证：BE=FD（2）如图2，N是BC边上的一点，连接AN交BE于点H，且BNBC=GMGE求证：BN=EC；若CE=2DE，直接写出BNAB的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；BNAB=23【分析】（1）由正方形的性质得出BC=CD，CE=CF，BCE=DCF=90，由SAS证明BCEDCF，得出对应边相等B

60、E=FD；（2）由正方形的性质得出CD/GE，得出DEMFGM，从而得到GMEM=GFDE=ECDE，再结合已知条件利用比例的性质即可得证由CE=2DE得出CE=23DC，结合可得BN=23DC，从而即可得出BNAB的值【详解】解：（1）四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，BC=CD=AB，CE=CF，BCE=DCF=90BCEDCF（SAS），BE=FD；（2）四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，CD/GE，GF=ECDEMFGM，GMEM=GFDE=ECDEGMEG=ECDCBNBC=GMGEBNBC=ECDCBC=CDBN=ECCE=2DECE=23DCBN=ECBNDC=23A

61、B=CDBNAB=23【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定、相全等三角形的性质和判定，得出DEMFGM是解题的关键14（2021全国八年级专题练习）探究证明：（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AMBN求证：BN=AM；（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EFAM，EF分别交AB、CD于点E、F求证：EFAM=BCAB；（3）如图3，四边形ABCD中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN，点M、N分别在边BC、AB上，求DNAM的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45【分析】（1）由矩形的性质结合等角的余

62、角相等，可证明NBC=MAB，进而证明BCNABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；（2）过点B作BGEF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明GBCMAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到R=S=90，RS=AB=10，AR=BS，结合（2）中结论可证明ACDACB，由全等三角形对应角相等得到ADC=ABC，再由等角的余角相等，证明

63、RADSDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可【详解】（1）证明四边形ABCD是矩形，ABC=C=90NBA+NBC=90AMBN，MAB+NBA=90，NBC=MAB，BCNABM，BNAM=BCAB（2）结论：EFAM=BCAB理由：如图2中，过点B作BG/EF交CD于G，四边形ABCD是矩形，ABCD，四边形BEFG是平行四边形，BG=EFEFAM，BGAM，GBA+MAB=90ABC=C=90，GBC+GBA=90，MAB=GBC，GBCMAB，BGAM=BCAB，EFAM=BCAB（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线

64、于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形ABC=90，四边形ABSR是矩形，R=S=90，RS=AB=10，AR=BSAMDN，由（2）中结论可得：DNAM=BSABAB=AD，CB=CD，AC=AC，ACDACB，ADC=ABC=90，SDC+RDA=90RAD+RDA=90，RAD=SDC，RADSDC，CDAD=SCRD，设SC=x，510=xRDRD=2x，DS=10-2x，在RtCSD中，CD2=DS2+SC2，52=（10-2x）2+x2，x=3或5（舍弃），BS=5+x=8，DNAM=BSAB=810=45【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形

65、的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键15（2021全国八年级专题练习）如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG（1）试猜想线段BG和AE的关系（直接写出答案，不用证明）；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转 （060），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论；（3）若BCDE4，当等于多少度时，AE最大？并求出此时AF的值【答案】（1）BGAE，BGAE，见解析；（2）结论成立，BGAE，BGAE

66、，见解析；（3）当为270时，AE最大，AF213【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出ADEBDG就可以得出结论（2）如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出ADEBDG就可以得出结论（3）由（2）可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论【详解】解：（1）结论：BGAE，BGAE理由：如图1，延长EA交BG于KABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点，ADBC，BDCD，ADBADC90四边形DEFG是正方形，DEDG在BDG和ADE中，BD=ADBDG=ADEGD=ED，BDGADE（SAS），B

67、GAE，BGDAED，GAKDAE，AKGADE90，EABG（2）结论成立，BGAE，BGAE理由：如图2，连接AD，延长EA交BG于K，交DG于O在RtBAC中，D为斜边BC中点，ADBD，ADBC，ADG+GDB90四边形EFGD为正方形，DEDG，且GDE90，ADG+ADE90，BDGADE在BDG和ADE中，BD=ADBDG=ADEGD=ED，BDGADE（SAS），BGAE，BGDAED，GOKDOE，OKGODE90，EABG（3）BGAE，当BG取得最大值时，AE取得最大值如图3，当旋转角为270时，BGAEBCDE4，BG2+46AE6在RtAEF中，由勾股定理，得AFAE

68、2+EF262+42=213，AF213【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键16（2021全国八年级专题练习）四边形ABCD是边长为2的正方形，点M在边AD所在的直线上，连接CM，以M为直角顶点在CM右侧作等腰RtCMN，连接BN.（1）如图1，当点M在点A左侧，且A、B、N三点共线时，BN=_；（2）如图2，当点M在点A右侧，且AM=52时，求BN的长：（3）若点M在边AD所在直线上，且BN=26，求AM的长【答案】（1）6；（2）3102；（3）1或3【分

69、析】（1）易证得四边形CDMF和四边形ANEM都是矩形，证得RtEMNRtFCM，得到MF= NE=BF=2，EM=FC=4，即可求得BN的长；（2）易证得四边形CDGH和四边形ANHG都是矩形，证得RtCDMRtMGN，求得NH=32，BH=AG=AM+MG=92，利用勾股定理即可求得BN的长；（3）分点M在点A左侧、点M在点D右侧、点M在线段AD上三种情况讨论，分别利用勾股定理构造方程即可求解【详解】（1）过M作EFAB，过N 作NEEF于E，延长CB交EF于F，如图所示：又四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形CDMF和四边形ANEM都是矩形，MF=CD=2，NE=BF，BN=EF，N

70、MC=90，MN=MC，NMC=NEM=MFC=90，EMN+CMF=90，FCM +CMF=90，EMN=FCM，RtEMNRtFCM，MF= NE=2，则NE=BF=2，EM=FC=BF+BC=2+2=4，BN=EF=EM+MF=4+2=6；（2）过N作GHAB，延长AD、BC交GH于G、H，如图所示：又四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形CDGH和四边形ABHG都是矩形，GH=CD=2，AG=BH，DG=CH，AM=52，DM=522=12，同理可证得RtCDMRtMGN，GN=DM=12，MG=CD=2，NH= GH-GN=2-12=32，BH=AG=AM+MG=52+2=92，B

71、N=NH2+BH2=(32)2+(92)2=3102；（3）点M在点A左侧，过M作EFAB，过N 作NEEF于E，延长CB交EF于F，延长BA交NE于G，如图所示：又四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形CDMF、四边形BFEG和四边形AMEG都是矩形，MF=CD=2，AG=ME，EG=FB=AM，同理可证得RtNEMRtMFC，MF= EN=2，EM=FC，设AM=x，则BF=EG=x，FC=EM=2+x，GN=ENEG=2x，BG=EF=EM+FM=4+x，在RtNGB中，2x2+4+x2=26，整理得：x+3x1=0，x1=1，x2=3(舍去)，AM=1；点M在点D右侧，过N作EFAB

72、，延长AD、BC交EF于F、E，如图所示：同理可得：EF=CD=2，BE=AF，同理可证得RtCDMRtMFN，FN=DM，MF=CD=2，设AM=x，则FN=DM=x2，NE=EFFN=4x，BE=AF=AM+MF=x+2，在RtBEN中，x+22+4x2=26整理得：x22x3=0解得：x1=3，x2=1(舍去)，AM=3；点M在线段AD上，过M作EFAB，过N 作NEEF于E，延长BA交NE延长线于H，如图所示：同理可得：MF=CD=2，HE=AM=BF，BH=EF，同理可证得RtEMNRtFCM，EN=MF=2，FM=FC，设AM=x，则HE=BF=x，FC=BC-BF=2x,NH=E

73、N+EH=x+2，BH=EF=EM+MF=4x，在RtBHN中，x+22+4x2=26，解得：x1=3(舍去)，x2=1(舍去)，综上所述AM的值为1或3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键17（2021安徽黄山八年级期中）在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FEAG于H，交直线AD于点E（1）当点F运动到与点B重合时(如图1)，线段EF与AG的数量关系是_（2）若点F运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不

74、成立，请说明理由（3）如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，请直接写出折痕PQ的长【答案】（1）EF=AG；（2）成立，理由见解析；（3）35【分析】（1）利用ASA证明ABEDAG全等即可得到结论；（2）过点F作FMAE，垂足为M，利用ASA证明ADGFME，即可得到结论；（3）过点Q作QHAD于H，根据翻折变换的性质可得PQAM，然后求出APQ=AMD，再利用“角角边”证明ADMQHP，根据全等三角形对应边相等可得QP=AM，再利用勾股定理列式求出AM，从而得解【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，BAE=ADG

75、=90，AB=AD，ABE+AEB=90，EFAG，AEB+DAG=90，ABE=DAG，ABEDAG（ASA），EF=BE=AG；（2）成立，理由是：过点F作FMAE，垂足为M，四边形ABCD是正方形，BAE=ADG=90，AD=CD，MF=CD=AD，EMF=90，E+EFM=90，EFAH，HAE+E=90，HAE=EFM，ADGFME（ASA），EF=AG；（3）如图，过点Q作QHAD于H，则四边形ABQH中，HQ=AB，由翻折变换的性质得PQAM，APQ+DAM=90，AMD+DAM=90，APQ=AMD，四边形ABCD是正方形，AD=AB，HQ=AD，在ADM和QHP中，QHP=D

76、APQ=AMDQH=AD，ADMQHP（AAS），QP=AM，点M是CD的中点，DM=12CD=3，在RtADM中，由勾股定理得，AM=AD2+DE2=35，PQ的长为35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键18（2021全国八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且BAFADE（1）如图1，求证：AFDE；（2）如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系

77、，并说明理由；（3）在（1）（2）的基础上，若AF平分BAC，且BDE的面积为4+22，求正方形ABCD的面积【答案】（1）见解析；（2）GH/AB，见解析；（3）12+82【分析】（1）根据正方形的性质证明BAF+AED90即可解决问题（2）证明ADFBAF（ASA），推出AEBF，由AE/CD，推出AECDEGDG，由BF/AD，推出BFADBHDH，由AEBF，CDAD，推出EGGDBHHD可得结论（3）如图21中，在AD上取一点J，使得AJAE，连接EJ设AEAJa利用三角形的面积公式构建方程求出a即可解决问题【详解】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是正方形，DAEABF90，AD

78、EBAF，ADE+AEDBAF+AED90，AME90，AFDE（2）解：如图2中结论：GH/AB理由：连接GHADAB，DAEABF90，ADEBAF，ADEBAF（ASA），AEBF，AE/CD，AECDEGDG，BF/AD，BFADBHDH，AEBF，CDAD，EGGDBHHD，GH/AB（3）解：如图21中，在AD上取一点J，使得AJAE，连接EJ设AEAJaAF平分BAC，BAC45，BAFADE22.5，AEAJa，EAJ90，AJE45，AJEJED+JDE，JEDJDE22.5，EJDJ2a，ABADa+2a，AEAJ，BEDJ2a，SBDE4+22，122a（a+2a）4+2

79、2，解得a24，a2或2（舍弃），AD2+22，正方形ABCD的面积12+82【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质和平行线分线段成比例是解题的关键19（2021全国八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接AE、DF，AE的延长线交DF于点M（1）求证：AE=DF；（2）求证：AMDF【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用正方形的性质及SAS定理证AOEDOF，得出AE=DF即可；（2）由AOEDOF得出OEA=OFD，证出OA

80、E+OFD=90，得出AMF=90，即可得出结论【详解】（1）四边形ABCD是正方形，OA=CO=OD，ACBD，AOE=DOF=90，又DE=CF，ODDE=OCCF，即OE=OF， 在AOE和DOF中，OA=ODAOE=DOFOE=OF，AOEDOF(SAS)， AE=DF；（2）由（1）得：AOEDOF，OEA=OFD， OAE+AEO=90，OAE+OFD=90， AMF=90，AMDF【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；解答本题的关键是通过全等的证明和利用等角代换解题，属于中考常考题型20（2021黑龙江哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直

81、线y=kx+k与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为y=1kx+k，与x轴交于B（1）如图1，求点A的横坐标；（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若CD=CA，设ACE的面积为S，求S与k的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将CDF沿CF翻折得到FCG，直线FG交CE于点K，若3ACECDO=45，求点K的坐标【答案】（1）1；（2）S=12k212k(k0)；（3）(4517,917)【分析】（1）令y=0，求x；（2）过点D作y轴的垂线，先证明ACB=90，再由K型全等，得E点坐标，即可求出S与k的函数关系式；（3）

82、由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系，得出DOE=2ADE，再利用垂直平分线性质构造2ADE=AME，通过解直角三角形求出求出k的值，再求点K的坐标【详解】解：（1）直线y=kx+k与x轴交于A，与y轴交于C点，当x=0时，y=k；当y=0时，kx+k=0，得：x=1，C(0,k)，A(1,0)，点A的横坐标为1（2）过点D作DHy轴于点H，DHOH，COAO，DHC=COA，HDC+DCH=90，对直线BC：当x=0时，y=k，当y=0时，x=k2，Bk2,0，OB=k2，OAOC=1k，OCOB=kk2=1k，又AOC=COB=90，AOCCOB，OAC=OCB，OAC

83、+OCA=90，OCB+OCA=90，即：ACB=90，ACBD，DCA=90，DCH+ACO=90，HDC=OCA，又DC=CA，DHCCOA(AAS)，DH=OC，CH=AO，A(1,0)，C(0,k)，CH=OA=1，DH=CO=k，E(k,0)，D(k,1+k)，AE=1(k)=1+k，S=12EACO=12(k1)k=12k212k(k0)，（3）连接AD，过AD的中点N作NMAD交DE于点M，连接AM，（3）连接AD，过AD的中点N作NMAD交DE于点M，连接AM，DCAC，DEOA，DEA=DCA=90，在四边形AEDC中，DEA+DCA=180，EAC+EDC=180，点A、D

84、、E、C四点共圆，AD为圆的直径，点N为圆心，ACE=ADE，MN是AD的中垂线，DM=AM，ADE=DAM，AME=2ADE，DC=AC，ADC=45，CDO=45ADO，又3ACECDO=45，3ADE(45ADO)=45，即：3ADE+ADO=90，在EDO中，ADE+ADO+DOE=90，DOE=2ADE=AME，设AM=DM=x，则：ME=DEDM=1+kx，AE2+ME2=AM2，(1+k)2+(1+kx)2=x2，解得：x=1+k21+k，ME=1+k1+k21+k=2k1+k，DOE=AME，tanDOE=tanAME， DEOE=AEME，即：1+kk=1+k2k1+k，解得

85、：k=3，C(0,3)，D(3,4)，E(3,0)，直线OD的解析式为：y=43x，直线AC的解析式为：y=3x+3，直线EC的解析式为：y=x+3，由y=43xy=3x+3，解得：x=913y=1213，点F(913，1213)，点D和点G关于点C对称，G(3,2)，直线GF的解析式为：y=724x+98，由y=x+3y=724x+98，解得：x=4517y=917，点K的坐标为(4517,917)【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的求法、K型全等的应用和四点共圆的判定、以及利用圆周角定理进行角的转化等知识，是一个代数几何综合题对于比较复杂的条件，需要学生学会将复杂的条件转化为简单直接的条件，可以从等量关系，倍数关系入手