专题8长方体和正方体（图形与几何）-2023-2024学年六年级上册数学寒假专项提升（苏教版）.docx

1、专题8 长方体和正方体（图形与几何）1、认识长方体的面、棱、顶点。（1）从不同的角度观察同一个长方体。把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。（2）长方体的棱和顶点。长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。2、长方体和正方体的特征。（1）长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。（2）正方体由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱

2、的长度都相等，有8个顶点。正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。3、长方体的长、宽、高不是固定不变的，它与长方体的摆放方式有关。正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。长方体相交于同一顶点的三条棱中，通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽，把竖直方向的一条棱叫作它的高。4、正方体、长方体的展开图（1）正方体的展开图。（2）长方体的展开图。5、表面积的含义。物体的表面积：围成物体表面的图形的总面积。长方体（正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。6、长方体表面积的计算方法。长方体的表面积=长*宽*2+长*高*2+宽*高*2=（长*宽+长*高+宽*高）*2。如果用S表示长方体的表面积，a表

3、示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积的计算公式可以用字母表示为s=2ab+2ah+2bh或s=2（ab+ah+bh）。有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a、a、h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。7、正方体表面积的计算方法。正方体的表面积=棱长*棱长*6，如果用s表示正方体的表面积，用a表示正方体的棱长，那么正方体表面积的计算公式用字母表示为s=6a2。8、体积的意义。物体所占空间的大小叫作物体的体积。不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。9、容积的意义。能盛装其他的物体的物体都

4、可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。10、体积单位。计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。11、容积单位。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。12、长方体体积计算公式。长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。13、正方体的体积公式。正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=

5、sh（s表示底面积，h表示高）。长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。14、相邻体积单位间的进率。每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。15、高级体积单位和低级体积单位之间的换算。单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。1

6、6、体积单位换算的简便方法。相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。一、选择题1（2022上江苏徐州六年级统考期中）将一个棱长为a厘米的正方体的高减去2厘米，这个正方体的体积减小（）立方米。A2B2aC2a2D82（2022上河南平顶山六年级统考期中）一个长方体的底面是周长为40厘米的正方形，它的侧面展开图也正好是一个正方形，这个长方体的体积是（）立方厘米。A3200B1600C1000D40003（2023上江苏宿迁六年级期中）把1个棱长2厘米的正方体切成

7、两个完全一样的长方体，这两个长方体表面积的和比原来正方体的表面积增加了多少平方厘米？（）A2平方厘米B4平方厘米C8平方厘米D6平方厘米4（2023上江苏南通六年级期中）两个棱长都是5分米的正方体，一个是木块另一个是铁块，它们体积相比（）大。A铁块B木块C同样D无法比较5（2023上山西太原六年级统考期中）小亮在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体（如图）。这个玻璃容器的容积是（）立方厘米。A72B84C90D1086（2023上江苏淮安六年级校考期中）在图中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是（）。ABCD二、填空题7如图是由棱长1厘米的小正

8、方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。8（2023上江苏南通六年级统考期末）亮亮用一些6厘米长的小棒和橡皮泥团制作了一个正方体框架，他至少需要( )团橡皮泥和( )根小棒，这个正方体的棱长总和是( )厘米。9（2023上江苏六年级期中）把两个长6cm、宽5cm、高4cm的小长方体合成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )cm2。10（2023上河南平顶山六年级统考期末）如图：在无盖的长方体玻璃容器中，摆棱长1分米的小正方体。做这个玻璃容器至少要用玻璃( )平方分米，它的容积是( )升。11如图，由两个长方体组合而成的密封，容器内部是联通的。其中A部分的容积是36升，

9、B部分的容积是96升。在容器里面装了一些水，再倒置放平。根据图中数据，可以算出水的体积是( )立方分米。12（2023上江苏南京六年级统考期末）一种家用电器的外包装是一个长方体纸箱，如图是这个长方体纸箱的一组棱长。做这个长方体纸箱需要( )平方厘米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱的空间是( )立方厘米。三、计算题13（2022上江苏泰州六年级校考期末）计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。14（2022上广西防城港六年级统考期末）计算长方体和正方体的表面积。四、作图题15（2022上江苏常州六年级统考期末）下图是一个正方体纸盒表面展开图的三个面，请在图中画出正方体表面展开图的其余几个面。五

10、、解答题16（2023上江苏常州六年级统考期中）李阿姨用一根彩带为顾客捆扎一个食品盒，这个食品盒的长、宽、高分别为 20厘米、10厘米、5厘米，如图那样捆扎并留下20厘米长作为手提环。这样一共需要多少分米长的彩带？17（2023下安徽蚌埠六年级校考期中）有4个直径是25厘米的篮球，把它们放在一个有盖的盒子里，请你先猜一猜，这是一个什么样的盒子？做这样的一个盒子，需要用多少平方厘米的纸板（纸板厚度忽略不计）要求：先画出草图，再解决问题。18（2022上江苏泰州六年级统考期中）一个长40厘米，宽25厘米，高30厘米长方体水槽，里面装了一半的水。（1）求出这个水槽的容积；（2）这时水跟水槽接触部分的

11、面积是多少平方厘米？（3）如果将一个棱长6厘米的正方体铁块放进去，水面会上升多少厘米？19郑老师要焊接一个长方体框架模型，可供使用的铁条材料如下表。为了方便，不改变铁条的长度，郑老师选择了其中的12根作为长方体框架的棱。铁条长度25厘米20厘米15厘米8厘米铁条根数5根7根3根4根（1）郑老师做的这个长方体框架模型的棱长和是（）厘米。（2）要给这个长方体框架模型糊上一层塑料纸，至少需要塑料纸多少平方厘米？20（2023上江苏淮安六年级校考期中）一个养鱼池长60米，宽30米，深2米，现改建成游泳池。（1）在四壁和底面涂上一层水泥，涂水泥的面积是多少平方米？（2）如果每立方米水重1吨，这个养鱼池最

12、多可以装水多少吨？参考答案1C【分析】根据正方体体积公式：体积棱长棱长棱长，和长方体体积公式：体积底面积高，分别求出正方体体积和长方体体积，再用正方体体积减去长方体体积，就是这个正方体的体积减少的体积。【详解】长方体的高为（a2）厘米。aaaaa（a2）a2aa2（a2）a3a32a22a2（立方厘米）将一个棱长为a厘米的正方体的高减去2厘米，这个正方体的体积减小2a2立方厘米。故答案为：C【点睛】熟练掌握正方体体积公式和长方体体积公式是解答本题的关键。2D【分析】已知这个长方体底面是一个正方形，因为正方形4条边都相等，就说明长方体的长和宽相等，都等于正方形的边长；正方形周长为40厘米，可先求

13、出其边长，即长方体长和宽的长度；又因为这个长方体侧面展开图也是一个正方形，展开后，正方形竖直的一条边相当于长方体的高，水平的一条边相当于长方体的底面周长，就说明长方体的高与其底面周长相等，即40厘米；长方体的长、宽、高均已知了，利用长方体体积长宽高，可求得长方体的体积。【详解】40410（厘米）1010404000（立方厘米）一个长方体的底面是周长为40厘米的正方形，它的侧面展开图也正好是一个正方形，这个长方体的体积是（4000）立方厘米。故答案为：D【点睛】解题时，可以通过画图辅助联想，主要是明确：如果一个长方体的侧面展开图是一个正方形，则其高与底面周长是相等的。3C【分析】根据题意，把一个

14、正方体切成两个完全一样的长方体，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，每个截面是边长为2厘米的正方形，根据正方形的面积边长边长，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积。【详解】2228（平方厘米）这两个长方体表面积的和比原来正方体的表面积增加了8平方厘米。故答案为：C【点睛】掌握正方体切割的特点，明确正方体切割成两个长方体，表面积会增加正方体两个面的面积。4C【分析】正方体的体积棱长棱长棱长，据此求出木块和铁块的体积，再进行比较即可。【详解】木块和铁块的体积都为：555255125（立方分米）所以它们的体积相等。故答案为：C【点睛】熟练掌握正方体的体积的计算公式是解答本题的关键。

15、5C【分析】依据小正方体的摆放可知，这个长方体容器的长是6厘米，宽是5厘米，高是3厘米，长方体的容积长宽高，代入数据计算即可。【详解】65330390（立方厘米）这个玻璃容器的容积是90立方厘米。故答案为：C【点睛】此题主要考查长方体的容积公式，明确长方体容器的长宽高是解题的关键。6C【分析】根据正方体11种展开图，是正方体11种展开图里的情况即可。【详解】A不是正方体展开图；B不是正方体展开图；C141型正方体展开图；D不是正方体展开图。是一个正方体表面展开图的是。故答案为：C732 11【分析】根据题意可知，这个立体图形相当于长3厘米，宽2厘米，高2厘米的长方体拿掉角上一个棱长为1厘米的正

16、方体，表面积不变，用长方体的表面积公式即可求出剩下图形的表面积，再根据长方体的体积公式和正方体的体积公式，用原来长方体的体积减去小正方体的体积即可求出剩下图形的体积。【详解】现在表面积：（323222）2（664）216232（平方厘米）现在体积：32211112111（立方厘米）表面积是32平方厘米，体积是11立方厘米。【点睛】本题考查了立体图形的切割、长方体的表面积和体积公式的灵活应用。88 12 72【分析】用小棒和橡皮泥制作一个正方体框架，因为在制作过程中，需要把小棒连接起来，也就是正方体框架的顶点处需要用到橡皮泥，正方体有8个顶点，所以需要8团橡皮泥；正方体有12条棱，所以需要12根

17、小棒；再根据正方体的棱长总和棱长12，据此进行计算即可。【详解】61272（厘米）则亮亮用一些6厘米长的小棒和橡皮泥团制作了一个正方体框架，他至少需要8团橡皮泥和12根小棒，这个正方体的棱长总和是72厘米。【点睛】本题考查正方体的特征和棱长总和，明确正方体的特征和熟记正方体的棱长总和的公式是解题的关键。9256【分析】要想长方体的表面积最大，就把最小的两个面拼在一起，拼成后的长方体的长是6212cm，宽和高不变，根据长方体的表面积公式：表面积（长宽长高宽高）2，代入数据，即可解答。【详解】长方体的长：6212（cm），宽是5cm，高是4cm。（12512454）2（604820）2（10820

18、）21282256（cm2）把两个长6cm、宽5cm、高4cm的小长方体合成一个大长方体，大长方体的表面积最大是256cm2。【点睛】明确将两个最小面拼合在一起，得到的新长方体的表面积最大是解决本题的关键。1082 60【分析】由题意得：根据无盖长方体中摆满的小正方体个数，长为4分米，宽为3分米，高为5分米，无盖长方体表面积（长高宽高）2长宽，计算得出玻璃的面积；根据长方体体积长宽高，计算得出体积。【详解】由题意得：根据无盖长方体中摆满的小正方体个数，长为4分米，宽为3分米，高为5分米。则需要玻璃：（平方分米）它的容积是：（立方分米）60升【点睛】本题主要考查的是长方体的表面积、体积，解题的关

19、键是熟练掌握长方体表面积、体积公式，进而计算得出答案。1160【分析】由题可知，正放时水的体积B部分的容积B部分空白的容积A部分的容积，倒放时水的体积B部分高为1.25分米时的体积。根据正放、倒放时水的体积不变，设B部分的底面积为S平方分米，列方程解答求出B部分的底面积，进而根据VSh求出水的体积。【详解】解：设B部分的底面积是S平方分米。961.5S361.25S1321.5S1.25S1321.25S1.5S1322.75S2.75S132S1322.75S48481.2560（立方分米）水的体积是60立方分米。【点睛】本题考查体积公式的应用。关键是根据正放、倒放时水的体积不变列方程，熟练

20、掌握长方体或正方体的体积公式。1211050 77000【分析】根据长方体的表面积公式：S（abahbh）2，长方体的体积公式：Vabh，据此代入数值进行计算即可。【详解】（553555403540）2（192522001400）25525211050（平方厘米）55354019254077000（立方厘米）则做这个长方体纸箱需要11050平方厘米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱的空间是77000立方厘米。【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。13表面积：736平方厘米；体积：1176立方厘米【分析】组合体的表面积长是12，宽是10，高是8的长方体的表面积棱长是6厘米的正

21、方体的侧面积；根据长方体的表面积公式：表面积（长宽长高宽高）2，正方体侧面积公式：侧面积棱长棱长4，代入数据，求出组合体的表面积；组合体的体积长是12，宽是10，高是8的长方体的体积棱长是6厘米的正方体的体积，根据长方体体积公式：体积长宽高，正方体体积公式：体积棱长棱长棱长，代入数据，即可解答。【详解】（1210128108）2664（1209680）2364（21680）21442962144592144736（平方厘米）1210866612083669602161176（立方厘米）14448cm2；150cm2【分析】根据长方体表面积公式：表面积（长宽长高宽高），代入数据，求出长方体的表面

22、积；根据正方体的表面积公式：表面积棱长棱长6，代入数据，即可解答。【详解】（10810888）2（808064）2（16064）22242448（cm2）556256150（cm2）15见详解【分析】正方体已画出三个面，则符合正方体展开图的可能是“141”型，“231”型或“33”型；据此画图即可。【详解】画图如下：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查正方体展开图，牢记11种正方体展开图是解题的关键。1616分米【分析】由题意可知，彩带的长度相当于长方体的4个长的长度，4个宽的长度再加4个高的长度，把这些长度相加之后再加上留下来的20厘米即可求解。【详解】20410454208040202016

23、0（厘米）160厘米16分米答：一共需要16分米长的彩带。【点睛】此题主要考查长方体的特征，搞清彩带是如何捆绑的，再根据棱长和的计算方法解决问题。注意单位名数的换算。17这是一个长方体盒子，需要用10000平方厘米纸板【分析】如图，可以做一个长方体盒子，长方体表面积（长宽宽高长高） 2，长为两个篮球直径和25250厘米，高为篮球直径25厘米；把数据代入公式即可求出需要纸板的面积。【详解】（505050255025） 2（250012501250）2（37501250）25000210000（平方厘米）答：可能是长方体盒子，做这样一个盒子需要10000平方厘米的纸板。（答案不唯一）【点睛】此题主

24、要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。18（1）30升（2）2950平方厘米（3）0.216厘米【分析】（1）根据长方体的容积公式：Vabh，把数据代入公式解答。（2）根据无盖长方体的表面积公式：Sab2sh2bh，把数据代入公式解答。（3）根据正方体的体积公式：Va3，求出铁块的体积，然后用铁块的容积除以水槽的底面积即可。【详解】（1）40253010003030000（立方厘米）30000立方厘米30升答：这个水槽的容积是30升。（2）30215（厘米）40254015225152100012007502950（平方厘米）答：这时水跟水槽接触部分的面积是2950平方厘米。（3）

25、666（4025）366（4025）21610000.216（厘米）答：水面会上升0.216厘米。【点睛】此题主要考查长方体的体积公式、长方体的表面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。19（1）212；（2）1720平方厘米【分析】（1）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等。由此可以选择25厘米的4根，20厘米的4根，8厘米的4根，焊接一个长方体框架模型。根据长方体的棱长总和（长宽高）4，把数据代入公式解答。（2）根据长方体的表面积公式：S（abahbh）2，把数据代入公

26、式解答。【详解】选择25厘米的4根，20厘米的4根，8厘米的4根，焊接一个长方体框架模型。（1）（25208）4534212（厘米）答：这个长方体框架模型的棱长的和212厘米。（2）（2520258208）2（500200160）286021720（平方厘米）答：至少需要1720平方厘米的纸。【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，要熟练掌握相关公式。20（1）2160平方米（2）3600吨【分析】（1）求涂水泥的面积就是求长方体养鱼池的底面和四个侧面的面积和；（2）这个养鱼池最多可以装水多少吨，先计算养鱼池的容积，根据长乘宽乘高计算即可，最后再用容积乘每立方米水重解答。【详解】（1）（平方米）答：涂水泥的面积是2160平方米。（2）（立方米）（吨）答：养鱼池最多可以装水3600吨。