专题9.2 椭圆方程与性质(解析版).docx

1、9.2 椭圆方程与性质思维导图知识点总结内容提要1.椭圆定义：设F1，F2是平面上的两个定点，若平面内的点P满足PF1+PF2=2a(2aF1F2，则点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.2.椭圆的简单几何性质：标准方程x2a2+y2b2=1ab0y2a2+x2b2=1ab0焦点坐标F1-c，0，F2c，0F10，c，F20，-c焦距F1F2=2c，且c2=a2-b2图形范围-axa，-byb-bxb，-aya对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点坐标左、右顶点：A1-a，0，A2a，0上、下顶点：B10，b，B20，-b左、右顶点：B1-b，0，B2b，0上、下顶点：A10，a，A20，-a长轴

2、长A1A2=2a，其中a叫做长半轴长短轴长B1B2=2b，其中b叫做短半轴长离心率e=ca0ePF2，则PF1PF2的值为_答案：2或72解析：焦点三角形问题优先考虑结合椭圆的定义求解，先给出椭圆的a、b、c，由题意，a=3，b=2，c=a2-b2=5，设PF1=m，PF2=n，mn，则m+n=2a=6(1)，PF1F2是直角三角形，可用勾股定理稆译，但需讨论谁是直角顶点，有图1和图2两种情况，若为图1，则m2+n2=F1F22=4c2=20(2)，联立(1)(2)结合mn可解得：m=4，n=2，所以PF1PF2=mn=2；若为图2，则n2+F1F22=m2，即n2+20=m2(3)，联立(1

3、)(3)解得：m=143，n=43，故PF1=mPF2=72.反思解析几何小题中对直角的常见翻译方法有：(1)勾股定理；(2)斜率之积为-1；(3)向量数量积等于0；(4)斜边上的中线等于斜边的一半等.选择合适的方法前应先预判计算量.【变式】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一点，O为原点，若OF1-OPOF1+OP=0，且PF1=2PF2，则椭圆C的离心率为_答案：53解析：椭圆C的离心率e=ca=2c2a=F1F2PF1+PF2，故只需分析PF1F2的三边比值，就可求得离心率，题干的向量关系式可化简，先化简，OF1-OPOF1+OP=0OF1

4、2-OP2=0OF1=OP，所以OP=12F1F2，故PF1PF2，接下来只需结合PF1=2PF2即可分析PF1F2的三边比值，不妨设PF2=m，则PF1=2m，F1F2=PF12+PF22=5m，所以e=F1F2PF1+PF2=5mm+2m=53.反思椭圆焦点三角形已知(或可求得)三边比值求离心率，用公式e=F1F2PF1+PF2来算.考向五 椭圆有关的最值与范围问题【例5】已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为 【答案】【分析】根据的面积和离心率得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案【

5、详解】的面积为，由已知得，即，所以，所以，又，所以，由，解得，进而，又，.即的取值范围为.故答案为：【变式1】已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点为.【分析】（1）由题意得，再根据椭圆上的一点即可求标准方程；（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，利用韦达定理求出与的斜率，并结合，列方程可得参数之间的关系，进而可求定点.【详解】（1）因为椭圆：的长轴为双曲线的实轴，所以，所以椭圆：，又因为椭圆过点，所以，解得，所

6、以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率存在时，设其方程为由得所以，所以，因为，所以，所以即，化简得所以即所以，或，当时，直线的方程为，直线恒过定点，不满足题意；当时，直线的方程为直线恒过定点，满足题意；所以直线恒过定点.当直线的斜率不存在时，设其方程为，由得，所以，所以，解得（舍去）或，所以直线也过定点.综上，直线恒过定点.【变式2】如图，点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知求得的坐标，得到直线方程，求出，的坐标，得到的坐标，由，求得，得到的坐标，把的坐标代入椭圆方程求得，则椭圆方程可求；（2）由椭圆方程得，设，则，按坐标运算得可转换为关于的二次函数，由，即可得的取值范围.【详解】（1）解：由题意得，的方程为，由，则，由，即，即，又在椭圆上，得，解得，所求椭圆方程；（2）解：由椭圆方程得，则，设，则所以，且，则由于，所以，即的取值范围为.基础题型训练提升题型训练