专题强化训练一 基本不等式各种技巧归纳-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、专题强化训练一：基本不等式各种技巧归纳【题型归纳】题型一：基本不等式求积的最大值1已知，则函数 的最大值是（）ABCD2设正实数满足，则的最大值为（）ABCD3数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式现有一个三角形的周长为12，则此三角形面积的最大值为（）A4BCD题型二：基本不等式求和的最小值4的最小值为（）A2B3C4D55已知，且，则的最小值是（）A11B9C8D66函数（）的最小值为（）ABCD题型三：二次的商式的最值7若，都是正数，且，则的最小值为（）A4B8CD8

2、设正实数，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）ABCD9设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （）ABCD题型四：基本不等式1的妙用10已知正实数满足，则的最小值为（）A6B8C10D1211已知正实数a、b满足，则的最小值为（）AB4CD12若实数，满足，以下选项中正确的有（）A的最小值为B的最小值为C的最小值为D的最小值为题型五：条件等式求最值13已知都是正实数，若，则 的最小值为（）A2B4C6D814已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（）ABCD15已知，则的最小值为（）ABCD题型六：基本不等式的恒成立问题16已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值不可能为（

3、）ABCD217对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD18已知实数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）ABCD题型七：对勾函数求最值19已知，函数的最大值是（）A1B2C3D420下列命题正确的是（）A函数的最小值是2B若，且，则C函数的最小值是2D函数的最小值是21下列不等式； ； ；其中恒成立的不等式的个数是（）ABCD题型八：基本不等式的综合22（1）求函数的最小值. （2）已知，且，求的最小值.23已知，且(1)求的最小值；(2)是否存在，使得的值为？并说明理由24已知a，b，c均为正实数.(1)求证：.(2)若，求证：.【专题突破】一、单选题25若正

4、数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是ABC5D626已知为正实数且，则的最小值为（）ABCD327若正数满足，当取得最小值时，的值为AB2CD528已知 ，且，则的最小值为ABCD29若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD30若正实数满足，则A有最大值4B有最小值C有最大值D有最小值31是不同时为0的实数，则的最大值为（）ABCD32若正数满足，则的最小值为A3B4C5D633已知两个正实数，满足，则的最小值是（）ABC8D334设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是ABCD35已知，若，则的最小值是ABCD二、多选题36下列说法正确的有（）A若，则的最大值是 -

5、1B若，都是正数，且，则的最小值是3C若，则的最小值是2D若实数，满足，则的最大值是37已知，则的值可能是ABCD38（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（）ABCD39下列说法正确的是（）A的最小值是B的最小值是C的最小值是D的最小值是40设正实数满足，则下列说法正确的是A的最小值为B的最大值为C的最小值为2D的最小值为241下列说法正确的有（）A的最小值为2B任意的正数， 且，都有C若正数、满足，则的最小值为3D设、为实数，若，则的最大值为三、填空题42 设，则的最小值为_.43已知，且，则的最小值为_44已知，且，则最小值为_45已知为正实数，则的最小值为_46已知为正实

6、数，则的最小值为_.47已知，若不等式恒成立，则的最大值为_四、解答题48已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；已知，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值49（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值50已知为正数,且,证明:(1)；(2).51解答下列各题.（1）设，求.（2）设且恒成立，求实数的取值范围.参考答案：1C【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】， ,，当且仅当 时，即时等号成立，因此，函数,的最大值为,故选：C2C【分析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得，即，解得，当且仅当，即，时，取等号，故选：C.3C【分析】由题意得，代入化简后

7、利用基本不等式可求得答案【详解】由题意得，则，当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为故选：C4C【分析】利用均值不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.所以当时，函数有最小值4.故选：C.5A【分析】根据基本不等式即可由积为定值求和的最小值.【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立.故选：A6B【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数（）的最小值为，故选：B7A【分析】将代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论【详解】若，都是正数，且，当且仅当时等号成立，故选：A.8D【分析】利

8、用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数，满足，当且仅当时取等号，此时，当且仅当时取等号，即的最大值是1故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.9A【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.【详解】设，则 所以 当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.10B【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为，且为正实数所以，当且仅当即时等号成立.所以.

9、故选：B.11B【分析】由题可知，再利用基本不等式即得.【详解】正实数a、b满足，当且仅当，即时，取等号，故选：B.12D【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.【详解】实数，整理得，当且仅当时取，故选项A错误；(，当且仅当时取，故选项B错误；， ，当且仅当时取，但已知,故不等式中的等号取不到，故选项C错误；，当且仅当时取，故选项D正确，故选：D13D【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.【详解】由可知（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）以上三个不等式两

10、边同时相乘，可得（当且仅当时等号成立）故选：D14B【分析】由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围【详解】解：，当且仅当时“”成立，又不等式恒成立，的取值范围是故选：B15D【分析】利用 ，然后利用，将化为，再利用基本不等式求出其最小值，从而得到，再化为积为定值的形式后根据基本不等式可求出结果.【详解】因为，且，则 ，由，可得，当且仅当时，取得等号，则，当且仅当时，取得等号，则所求的最小值为故选：D16B【分析】由对任意的恒成立，得，再根据结合基本不等式求得即可得出答案.【详解】解：由对任意的恒成立，得即，当且仅当，即时，等号成立，即， ，解得：或.故选：B.1

11、7D【分析】先分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，令，利用不等式的性质求出的范围，再利用基本不等式求得最值，进而求出的范围.【详解】依题意，对任意及，不等式恒成立等价于对任意及，恒成立.设，则.因为，所以，则，即，则，当且仅当，即时取等号，.故选：D.18C【分析】由恒成立可知，利用基本不等式求最值即可.【详解】不等式恒成立，又，当且仅当即时取等号，令，则，当且仅当即时取等号，当且仅当时取等号，.故选：C.19B【分析】先换元，再运用基本不等式求解.【详解】令，则，所以，当且仅当等号成立.故选：B.20B【解析】A. 取特殊值判断；B. 根据，利用基本不等式判断；C.令，由对勾

12、函数的性质判断；D. 由，利用基本不等式判断.【详解】A. 当时， ，所以的最小值不是2，故错误；B. 因为，所以，当且仅当，即 取等号，故正确；C.令，由对勾函数的性质得： 在 上递增，所以的最小值是，故错误；D. ，当且仅当，即时取等号，所以最大值是，故错误；故选：B21B【解析】本题主要考查基本不等式，可根据基本不等式的三个使用条件“一正二定三相等”判断.【详解】因为，所以，故不恒成立：因为，当时等号成立，所以正确；若，故不恒成立；令，故原不等式恒成立；所以恒成立的有2个，故选：B.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为

13、正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22（1）；（2）【分析】（1）利用配凑法再分离常数得到，利用基本不等式即可；（2）对条件变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.【详解】（1）解： ，当且仅当时，即时，函数有最小值；（2）由题意，又，当且仅当，即是等号成立，结合，知时，有最小值为.23(1)；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）首先利用基本不等式得到，从而得到，再

14、根据求解即可；（2）首先根据基本不等式得到，即可判断不存在实数，使得的值为（1），且，又（当且仅当即时取等号），所以，当且仅当时取等号，的最小值为；（2），当且仅当时等号成立，不存在，使得的值为24(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由利用基本不等式求最值即可.（1）因为a，b，c都是正数，所以，当且仅当时，等号成立，所以；（2），当且仅当时等号成立.25C【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C26D【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D27

15、B【分析】将方程变形 代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=3，然后利用基本不等式即可求解【详解】x+3y=5xy，x0，y03x+4y=（3x+4y）（）=3 当且仅当即x=2y=1时取等号,的值为2.故答案为B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.28C【分析】运用乘1法，可得由x+y（x+1）+y1（x+1）+y（）1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值【详解】由x+y（x+1）+y1（x+1）+y11（x+1）+y2（）12（213+47当且

16、仅当x，y4取得最小值7故选C【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题29A【分析】利用基本不等式求得的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对任意，则有，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，又由对任意时，恒成立，所以，即的取值范围为.故选：A.30C【详解】试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确考点：基本不等式31A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】若要使最大，则

17、均为正数，即符号相同，不妨设均为正实数，则，当且仅当，且取等，即取等号，即则的最大值为，故选：A【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.32B【分析】先根据已知得出的符号及的值，再根据基本不等式求解.【详解】 ； 当且仅当

18、，即时，等号成立.故选B.【点睛】本题考查基本不等式，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.33A【分析】根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.【详解】因为正实数满足，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地

19、方.34D【分析】由题意可得恒成立，讨论，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围【详解】恒成立，即为恒成立，当时，可得的最小值，由，当且仅当取得最小值8，即有，则；当时，可得的最大值，由，当且仅当取得最大值，即有，则，综上可得故选【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力35C【详解】分析：通过变形，利用基本不等式的性质，即可得出答案.详解：设，则， ，即整理得：当且仅当当且仅当时取.解得或（舍去）即当时，取得最小值8.故选C.点睛：本题考查基本不等式，灵活变形和熟练掌握基本不等式的性质，

20、正确把握“一正，二定，三相等”是解题关键.36ABD【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；对于B，因为，都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，所以，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为

21、4，故C错误；对于D，令，则，因为，所以，同号，则，同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故D正确，故选：ABD37CD【分析】,有则且,分和打开 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.【详解】由，得，则且.当时, =.当且仅当即 时取等号.当时, =.当且仅当即 时取等号.综上，.故选：C D.38AD【分析】A选项，利用基本不等式和可得出该不等式的正误；B选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C选项，利用基本不等式以及可验证该选项中的不等式是否成立；D选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.【详解】对于A，当且仅当时等号同时成立；对

22、于B，当且仅当时取等号；对于C，当且仅当时取等号；对于D，当，时，所以.故选AD.【点睛】本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题.39AB【分析】利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D【详解】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；，因为，所以，B正确；，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；当时，D错误.故选:AB.40ABD【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.【详解】选项，正实数满足，当且仅当时，等号成立，故正确；选项，由且

23、得，当且仅当时，等号成立，则，故正确；选项，由且得，则，故错误；选项，故正确.故选：.【点睛】本题注意考查基本不等式的性质、“乘1法”.41BCD【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算 ，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.【详解】选项A： ，当 时， ，当且仅当时有最小值.故A不正确.选项B： 对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，当且仅当 时取得最大值.所以 ，当且仅当时取得最大值.故B正确.选项C：对于正数， ,所以所以 当且仅当 ，即时取得最小值.故C正确.选项D：因 所以 ，即 所以 ，当且仅当 时等号成立.故D正确.故选：BC

24、D.42.【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值【详解】由，得，得，等号当且仅当，即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立434【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.44【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】，结合可知原式，且，当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一

25、正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误456【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.【详解】由题得，设，则.当且仅当时取等.所以的最小值为6.故答案为：646【分析】化简题目所求表达式，然后利用基本不的等式求得最小值.【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.479.【分析】将题目所给不等式分离常数，利用基本不等式求得的最大值.【详解】由得恒成立，而，故，所以的最大值为.【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不

26、等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.48当时，y的最小值为7 ，时，xy的最大值为6【分析】直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果【详解】已知，则：，故：，当且仅当：，解得：，即：当时，y的最小值为7已知，则：，解得：，即：，解得：，时，xy的最大值为6【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.49（1）9；（2）【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，（

27、2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为50（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将a+b+c2平方，然后将基本不等式三式相加，进行证明；（2）由，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a+b+c2平方得:，由基本不等式知:，三式相加得:，则所以，当且仅当abc时等号成立(2)由，同理则，即当且仅当时等号成立【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.51（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）结合基本不等式证得不等式成立.（2）首先分离常数，然后结合基本不等式求得的取值范围.【详解】（1），当且仅当时取等号.（2），由恒成立，得，又，则.当且仅当，即时上式等号成立.的取值范围是：.