初中数学几何模型之半角模型.docx

1、数学模型-半角模型几何是初中数学中非常重要的内容，在数学的学习过程中，若能抓住基本图形，举一反三，定能引领学生领略到“一图一世界”的风采下面先给大家介绍一种常见的数学模型-半角模型，通过对模型的理解和掌握，把模型的结论融会贯通，理解透彻，有助于理清思路、节省大量时间，遇到这一类题型，都是可以迎刃而解的一、模型类别二、相关结论的运用（一）等边三角形中120含60半角模型 条件：ABC是等边三角形，CDB =120 ，EDF=60，BD=CD，旋转BDE至CDG结论1：FDEFDG结论2：EF=BE+CF结论3： DEB =DEF 典例精讲：已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，AB

2、C120，MBN60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F（1）当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：+（不需证明）（2）当MBN绕B点旋转到AECF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由（3）当MBN绕B点旋转到AECF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明【思路点拨】（1）证明ABECBF且BEF是等边三角形即可；（2）根据“半角”模型1，先证BAEBCG，再根据“半角”模型1中的结论2

3、得出GBFEBF，再根据“半角”模型1中的结论3即可；（3）根据“半角”模型1，先证BAHBCF，再根据“手拉手”模型1中的结论2得出EBFEBH即可【详解】解：（1）如图1，ABE和CBF中，ABECBF（SAS），CBFEBA，BEBF，ABC120，EBF60，BEF是等边三角形，CF，AE，EFBEBFAE+CF；（2）如图2，延长FC至G，使AECG，连接BG，在BAE和BCG中，BAEBCG（SAS），ABECBG，BEBG，ABC120，EBF60，ABE+CBF60，CBG+CBF60，GBFEBF，在GBF和EBF中，GBFEBF（SAS），EFGFCF+CGCF+AE；（3

4、）不成立，但满足新的数量关系如图3，在AE上截取AHCF，连接BH，在BAH和BCF中，BAHBCF（SAS），BHBF，ABHCBF，EBF60FBC+CBEABH+CBE60，ABC120，HBE60EBF，在EBF和HBE中，EBFEBH（SAS），EFEH，AEEH+AEEF+CF【解题技法】本题典型的利用“半角”模型1，其基本思路是“旋转补短”，从而构造全等三角形实战演练：1. 如图1，在菱形ABCD中，AC2，BD2，AC，BD相交于点O(1)求边AB的长；(2)求BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板

5、60角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由【答案】（1）2；（2） ；（3）见详解【解析】【分析】（1）由菱形的性质得出OA=1，OB=，根据勾股定理可得出答案；（2）得出ABC是等边三角形即可；（3）由ABC和ACD是等边三角形，利用ASA可证得ABEACF；可得AE=AF，根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形推出即可【详解】解：（1）四边形ABCD是菱形，ACBD，AOB为直角三角形，且；（2）四边形ABCD是菱形，AB=BC，由（1）得：AB=AC=BC=2，ABC为等边三角形，BAC=60；（3）AEF是等边三角形，由（1）知，

6、菱形ABCD的边长是2，AC=2，ABC和ACD是等边三角形，BAC=BAE+CAE=60，EAF=CAF+CAE=60，BAE=CAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），AE=AF，EAF=60，AEF是等边三角形【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图形的旋转解题的关键是熟练掌握菱形的性质2. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上（均不与顶点重合），且BCD120，ECF60（1）如图1，若ABAD，求证：；（2）如图2，若AB2AD，过点C作CMAB于点M，求证：ACBC；AE2FM；（3）如图3，若AB3AD，试探究线段CE

7、与线段CF的数量关系【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；证明见解析；（3），证明见解析【解析】【分析】（1）先根据菱形的判定与性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据角的和差可得，最后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的性质即可得证；先根据平行线的性质、直角三角形的性质可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得证；（3）如图（见解析），先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据角的和差可得，最后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出

8、答案【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，是等边三角形，又，即，在和中，；（2）四边形ABCD是平行四边形，即，在中，是直角三角形，且，即；，在中，即，在和中，即；（3），证明如下：如图，在AB上取一点G，使得，连接CG，四边形ABCD是平行四边形，是等边三角形，即，即，点G一定在点F的左侧，在和中，即【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键（二）等腰直角三角形中90含45半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，CAB =90 ，AB=AC

9、，DAE=45，旋转BDE至CDG(BDE沿AD翻折到ADF)结论1：ADEAFE(ACEAFE)结论2： DE2BD2+EC2结论3：CCEF=BC(CDEF=BC)典例精讲：已知RtABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（1）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，求证：MN2AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，只需证DNBN，MDN90就可以了请你完成证明过程：（2）当扇形CEF绕点C

10、旋转至图的位置时，关系式MN2AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【思路点拨】（1）将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，根据“半角”模型2，证明出CDNCBN，再根据“半角”模型2的结论2即可；（2）将ACM沿直线CE对折，得GCM，连GN，根据“半角”模型2，证明CGNCBN，再根据“半角”模型2的结论2即可；【详解】（1）证明：将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，则DCMACM有CDCA，DMAM，DCMACM，CDMA又由CACB，得 CDCB 由DCNECFDCM45DCM，BCNACBECFACM9045ACM，得DCNBCN 又CNCN，CD

11、NCBN DNBN，CDNBMDNCDM+CDNA+B90在RtMDN中，由勾股定理，得MN2DM2+DN2即MN2AM2+BN2 （2）关系式MN2AM2+BN2仍然成立 证明：将ACM沿直线CE对折，得GCM，连GN，则GCMACM 有CGCA，GMAM，GCMACM，CGMCAM又由CACB，得 CGCB由GCNGCM+ECFGCM+45，BCNACBACN90（ECFACM）45+ACM得GCNBCN 又CNCN，CGNCBN有GNBN，CGNB45，CGMCAM180CAB135，MGNCGMCGN1354590在RtMGN中，由勾股定理，得MN2GM2+GN2即MN2AM2+BN2

12、【解题技法】利用“半角”模型2，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键实战演练：3. 在等腰中，CACB，点D，E在射线AB上，不与A，B重合（D在E的左边），且DCEACB（1）如图1，若ACB90，将沿CD翻折，点A与M重合，求证：；（2）如图2，若ACB120，且以AD、DE、EB为边的三角形是直角三角形，求的值；（3）ACB120，点D在射线AB上运动，AC3，则AD的取值范围为 【答案】（1）证明见解析；（2）或2；（3）【解析】【分析】（1）先根据翻折的性质可得，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得

13、，再根据翻折的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据直角三角形的定义分和两种情况，分别利用余弦三角函数即可得；（3）先判断出AD取得最大值时点D的位置，再利用余弦三角函数求解即可得【详解】（1）由翻折的性质得：，在和中，；（2）如图，将沿CD翻折，点A与F重合，连接EF，由翻折的性质得：，同（1）的方法可证：，以AD、DE、EB为边的三角形是直角三角形，以DF、DE、EF为边的三角形是直角三角形，即是直角三角形，因此分以下两种情况：当时，在中，则，当时，在中，则，即，综上，的值为或2；（3），如图，当点D在射线AB上运动至的位置时，在中，即，解得，要使点E在射线A

14、B上，且点D在E的左边，则，即AD的取值范围为，故答案为：【点睛】本题考查了翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、余弦三角函数等知识点，较难的是题（3），正确判断出AD取得最大值时点D的位置是解题关键（三）正方形中90含45半角模型条件：正方形ABCD中，MAN =45 ，旋转ABF至AND；结论1：AFMAMN结论2： MN=BM+DN(MN=DN-BM)结论3：CMCN=2AB；结论4： ()典例精讲：（1）（发现证明）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且EAF45，求证：EFDF+BE小明发现，当把ABE绕点A顺时针旋转90至ADG，使A

15、B与AD重合时能够证明，请你给出证明过程（2）（类比引申）如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且EAF45，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且EAF45，则EF，BE，DF之间的数量关系是 （不要求证明）（3）（联想拓展）如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE3，求AF的长【思路点拨】（1）（发现证明）根据“半角”模型3，证明出EAFGAF，再根据“半角”模型3的结论2即可得证；（2）（类比引申）根据“半角”模型3，证明出EAFGAF，再根据“半角”模型3的结论2即可得证；根据“半角”模型3，证明

16、AFEANE，再根据“半角”模型3的结论2即可得证；（3）（联想拓展）求出DG2，设DFx，则根据“半角”模型3的结论2得出EFDGx+3，CF6x，在RtEFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解【详解】（1）（发现证明）证明：把ABE绕点A顺时针旋转90至ADG，如图1，BAEDAG，AEAG，EAF45，BAE+FAD45，DAG+FAD45，EAFFAG，AFAF，EAFGAF（SAS），EFFGDF+DG，EFDF+BE；（2）（类比引申）不成立，结论：EFDFBE；证明：如图2，将ABE绕点A顺时针旋转90至ADM，EABMAD，AEAM，EAM90，BEDM，FAM45EAF，A

17、FAF，EAFMAF（SAS），EFFMDFDMDFBE；如图3，将ADF绕点A逆时针旋转90至ABN，ANAF，NAF90，EAF45，NAE45，NAEFAE，AEAE，AFEANE（SAS），EFEN，BEBN+NEDF+EF即BEEF+DF故答案为：BEEF+DF（3）（联想拓展）解：由（1）可知AEAG3，正方形ABCD的边长为6，DCBCAD6，BEDG3，CEBCBE633，设DFx，则EFDGx+3，CF6x，在RtEFC中，CF2+CE2EF2，（6x）2+32（x+3）2，解得：x2DF2，AF【解题技法】“半角”模型3，常与旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的

18、综合应用，将分散的条件集中起来，将隐秘的关系显现出来实战演练：4. 思维探索：在正方形ABCD中，AB4，EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，EAF45（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，CEF的周长是 ；（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF2时，求CEF的周长；拓展提升：如图3，在RtABC中，ACB90，CACB，过点B作BDBC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使EDA30，连接AE，当BD2，EAD45时，请直接写出线段CE的长度【答案】思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE1【解析】【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明AG

19、EAFE即可；（2）把ABE绕点A逆时针旋转90到AD，交CD于点G，证明AEFAGF即可求得EFDFBE；拓展提升：如图3，过A作AGBD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到ACAG，CAG90，在BG上截取GFCE，根据全等三角形的性质得到AEAF，EACFAG，ADFADE30，解直角三角形得到DEDF4，BE2，设CEx，则GFCEx，BCBG2x，根据线段的和差即可得到结论【详解】思维探索：（1）如图1，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG，GBDF，AFAG，BAGDAF，四边形ABCD为正方形，BAD90，EAF45，BA

20、E+DAF45，BAG+BAE45EAF，在AGE和AFE中AGEAFE（SAS），GEEF，GEGB+BEBE+DF，EFBE+DF，CEF的周长CE+CF+EFCE+BE+DF+CFBC+CD8，故答案为：8；（2）如，2，把ABE绕点A逆时针旋转90到AD，交CD于点G，同（1）可证得AEFAGF，EFGF，且DGBE，EFDFDGDFBE，CEF的周长CE+CF+EFCE+CF+DFBEBC+DF+CF4+4+2+212；拓展提升：如图3，过A作AGBD交BD的延长线于G，BDBC，ACB90，ACBCBGG90，四边形ACBG是矩形，ACBC，矩形ACBG是正方形，ACAG，CAG9

21、0，在BG上截取GFCE，AECAGF（SAS），AEAF，EACFAG，EADBACGAB45，DAFDAE45，ADAD，ADEADF（SAS），ADFADE30，BDE60，DBE90，BD2，DEDF4，BE2，设CEx，则GFCEx，BCBG2x，DG2+2x，DGFGDF，即2+2xx4，x1，CE1【点睛】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键5. （1）如图，在正方形 ABCD 中，FAG=45，请直接写出 DG，BF 与FG 的数量关系，不需要证明（2）如图，在 R

22、tABC 中，BAC=90，AB=AC，E，F 分别是 BC 上两点，EAF=45，写出 BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明若将（2）中的AEF 绕点 A 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？ 若不成立，直接写出新的结论 ，无需证明（3）如图，AEF 中EAF=45，AGEF 于 G，且GF=2，GE=3，则 = 【答案】（1）FG=BF+DG；（2）EF2=BE2+FC2，理由见解析；仍然成立；（3）15【解析】【分析】（1）把AGD绕点A逆时针旋转90至ABP，可使AD与AB重合，再证明AFGAFP进而得到PF=FG，即可得FG=BF+DG；（2）根据AFC绕点A顺时针旋转9

23、0得到AGB，根据旋转的性质，可知ACFABG得到BG=FC，AG=AF，C=ABG，FAC=GAB，根据RtABC中的AB=AC得到GBE=90，所以GB2+BE2=GE2，证AGEAFE，利用EF=EG得到EF2=BE2+FC2；将ABE绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合，点E的对应点是G，同上的方法证得GC2+CF2=FG2，再设法利用SAS证得AFGAFE即可求解；（3）将AEG沿AE对折成AEB，将AFG沿AF对折成AFD，延长BE、DF相交于C，构成正方形ABCD，在RtEFC中，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得AG的长，从而求得答案【详解】（1）四边形ABCD为正方形，AB

24、=AD，ADC=ABC=90，把AGD绕点A逆时针旋转90至ABP，使AD与AB重合，BAP=DAG，AP= AG，BAD=90，FAG=45，BAF+DAG=45，PAF=FAG=45，ADC=ABC=90，FBP=180，点F、B、P共线，在AFG和AFP中，AFGAFP（SAS），PF=FG，即：FG=BF+DG；（2）FC2+BE2=EF2，证明如下：AB=AC，BAC=90，C=ABC=45，将AFC绕点A顺时针旋转90得到AGB，ACFABG，BG=FC，AG=AF，C=ABG=45，FAC=GAB，GBE=ABG +ABC =90，GB2+BE2=GE2，又EAF=45，BAE+

25、FAC=45，GAB+BAE=45，即GAE=45，在AGE和AFE中，AGEAFE（SAS），GE=EF，FC2+BE2=EF2；仍然成立，理由如下：如图，将ABE绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合，点E的对应点为点G，ACGABE，CG=BE，AG=AE，ACG=ABE=45，BAE=CAG，GCB=ACB +ACG =90，即GCF=90，GC2+CF2=FG2，BAE+EAC=BAC=90，CAG+EAC=90，又EAF=45，GAF=90-EAF=45，GAF=EAF=45，在AFG和AFE中，AFGAFE（SAS），GF=EF，FC2+BE2=EF2；（3）将AEG沿AE对折成AE

26、B，将AFG沿AF对折成AFD，延长BE、DF相交于C，AEGAEB，AFGAFD，AB=AG=AD，BE=EG=3，DF=FG=2，EAG=EAB，FAG=FAD，B=D=90，EAF=45，EAB+FAD=EAG+FAG=EAF=45，BAD=90，四边形ABCD为正方形，设AG =，则AB=BC=CD=，在RtEFC中，EF=3+2=5，EC=BC-BE=，FC=CD-DF=，故，解得：（舍去），AG=6，故答案为：15【点睛】本题主要考查了旋转的性质，折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，同时考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，综合性较强

27、，难度适中（四）等边三角形中60含30半角模型条件：ABC是等边三角形，DAE =30 ，旋转ABD至ACF；结论1：ADEAFE结论2：ECF =120结论3：CECF=AB；典例精讲：转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究（一）尝试探究如图1所示，在四边形ABCD中，ABAD，BAD60，ABCADC90，点E、F分别在线段BC、CD上，EAF30，连接EF（1）如图2所示，将ABE绕点A逆时针旋转60后得到ABE（AB与AD重合），请直接写出EAF度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之

28、间的数量关系，并说明理由（二）拓展延伸如图4，在等边ABC中，E、F是边BC上的两点，EAF30，BE1，将ABE绕点A逆时针旋转60得到ABE（AB与AC重合），连接EE，AF与EE交于点N，过点A作AMBC于点M，连接MN，求线段MN的长度【思路点拨】（一）（1）（发现证明）根据“半角”模型4，证明出AEFAEF，进而根据线段的和差关系得出结论；（2）先在BE上截取BGDF，连接AG，根据“半角”模型4，判定GAEFAE，根据线段的和差关系得出结论；（二）先根据“半角”模型4，判定AEE是等边三角形，进而得到和BAEMAN，最后判定BAEMAN，并根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求得

29、MN的长解：（一）（1）将ABE绕点A逆时针旋转60后得到ABE，则BAEDAE，BEDE，AEAE，BAD60，EAF30，BAE+DAF30，DAE+DAF30，即FAE30EAFFAE，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EFEF，即EFDF+DE，EFDF+BE，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DFEF，故答案为：30，BE+DFEF；（2）如图3，BE上截取BGDF，连接AG，在ABG和ADF中，ABGADF（SAS），BAGDAF，且AGAF，DAF+DAE30，BAG+DAE30，BAD60，GAE603030，GAEFAE，在GAE和FAE中，GAEFAE（

30、SAS），GEFE，又BEBGGE，BGDF，BEDFEF，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BEDFEF；（二）如图4，将ABE绕点A逆时针旋转60得到ABE，则AEAE，EAE60，AEE是等边三角形，又EAF30，AN平分EAE，ANEE，RtANE中，在等边ABC中，AMBC，BAM30，且BAE+EAM30，又MAN+EAM30，BAEMAN，BAEMAN，即，MN【解题技法】根据“半角”模型，对图形进行分解、组合，抓住图形旋转前后的对应边相等，一般解题方法为作辅助线构造全等三角形或相似三角形实战演练：6. （1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BA

31、DC90，E、F分别是BC，CD上的点且EAF60，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DGBE连结AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180E，F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论 仍然成立（填“是”或“否”）；（3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以60海

32、里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离（4）能力提高：如图4，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，点M，N在边BC上，且MAN45若BM1，CN3，则MN的长为 【答案】（1）；（2）是；（3）210海里；（4）【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差

33、、等量代换即可得；（3）先根据方位角的定义、角的和差分别求出，从而可得，再根据航行速度与时间分别求出海里，海里，然后利用题（2）的结论即可得；（4）过点C作CEBC,垂足为点C，截取CE,使CE=BM.连接AE、EN,根据（2）中的结论计算即可.【详解】（1）在和中，即在和中，故答案为：；（2）是，证明如下：如图，延长CD至点M，使得，在和中，即在和中，故答案为：是；（3）如图，延长AE、BF，相交于点C，连接EF，过点B作轴于点N由题意得：，舰艇甲从A处向正东方向以45海里/小时的速度航行2小时至E处轴，（海里）舰艇乙从B处沿北偏东的方向以60海里/小时的速度航行2小时至F处，（海里）则由（2）的结论可得：（海里）故此时两舰艇之间的距离为210海里；（4）过点C作CEBC,垂足为点C,截取CE，使CE=BM.连接AE、EN,由（2）可知，CE=BM=1, NE=MN,NE= . ,故答案为: 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用