吉林省四平市普通高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学（Word版附解析）.docx

1、四平市普通高中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测高二数学B试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章第三章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

2、项是符合题目要求的.1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）A B. C. D. 2. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 135D. 1503. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 4. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知双曲线C：的左，右焦点分别为，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，且的面积为4，则实数（ ）A. B. 2C. D. 46. 已知圆C：上任意一点关于直线对称点也在圆上.则实数（ ）A. 4B.

3、6C. D. 7. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（ ）A B. C. D. 8. 如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（ ）A. B. C. D. 10. 已知双曲线，则下列说法正确的是

4、（ ）A. 双曲线的实轴长为B. 双曲线的焦距为C. 双曲线的离心率为D. 双曲线的渐近线方程为11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）A. 的周长为B. 的面积的最大值为2C. 若，则最小值为D. 的最小值为12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（ ）A. B. 当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_.14. 已知圆和圆，则圆与圆

5、的公共弦所在的直线方程为_.15. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为_.16. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点.（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程.18. 已知点、，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取

6、值范围.19. 已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为（1）求抛物线的方程；（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求20. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.21. 已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由22. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

7、 （1）求双曲线的标准方程；（2）设直线，斜率分别为，求的值；（3）证明：直线过定点.四平市普通高中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测高二数学B试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章第三章

8、.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程即得.【详解】因为圆的圆心为，则圆圆心坐标是.故选：C2. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 135D. 150【答案】C【解析】【分析】利用两点间的斜率公式可求出其斜率为，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果.【详解】易知两点间的斜率，设直线倾斜角为，由斜率与倾斜角之间的关系可得，故该直线的倾斜角为135.故选：C.3. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭

9、圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.【详解】令，可得；令，可得.则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.因为，所以椭圆的焦点在轴上.设椭圆的方程为，则，所以椭圆的方程为.故选：C.4. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】设，由抛物线定义，解出，代入抛物线方程，可求，再由两点间距离公式可求.【详解】由抛物线C：，得焦点，设，所以，由，解得，所以，所以.故选：D.5. 已知双曲线C：的左，

10、右焦点分别为，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，且的面积为4，则实数（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】C【解析】【分析】由，得为直角三角形，根据双曲线定义，再利用以及勾股定理建立等量关系即可求解.【详解】因为的面积为4，所以的面积为8.又，所以，所以为直角三角形，且.设，所以，所以，所以，又，所以.故选：C.6. 已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（ ）A. 4B. 6C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆的对称性可知直线要经过圆心.【详解】圆C：的标准方程为，要使得圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，则直线经过圆心，即，解得，故选：B7. 已知抛物线C：

11、的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线方程，再用点差法求出直线斜率，最后写出直线方程.【详解】因为抛物线焦点为，所以，设，则，所以，易知，所以，又，所以，所以直线的方程为，即，故选：B8. 如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.【详解】设，易知，则，又，所以.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小

12、题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（ ）A. B. C D. 【答案】AC【解析】【分析】根据题意，分别讨论直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点，即可求直线l的方程.【详解】当直线l与直线AB平行时，因为，所以直线l的方程为，即.当直线l过线段AB的中点时，AB的中点为，所以直线l的方程为，即.综上所述，直线l的方程为或.故选：AC.10. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线的实轴长为B. 双曲线的焦距为C. 双曲线的离心率为D.

13、 双曲线的渐近线方程为【答案】BC【解析】【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断【详解】双曲线，则，双曲线的实轴长为，故A错误；双曲线的焦距为，故B正确；双曲线的离心率，故C正确；双曲线的渐近线方程为，故D错误故选：BC11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）A. 的周长为B. 的面积的最大值为2C. 若，则的最小值为D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】选项A，由定义可得；选项B，数形结合当点到的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用的斜率意义，转化

14、为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值.【详解】选项A，由椭圆方程可知，所以周长，故A正确；选项B，因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，所以，所以的面积，当，即时，即点位于短轴端点时，的面积最大，最大为2，故B正确；选项C，由，点，且，因为，当时，取最小值，且最小值为，故C错误；选项D，的几何意义为与点两点连线的斜率，设为，由得，解得，如图，当直线与椭圆C相切时，所以的最小值为.故D正确.故选：ABD.12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（ ）A. B. 当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为

15、C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项：由焦点到准线的距离为2即可验证；对于B选项：设点的坐标为，根据中点坐标公式以及线段的中点在抛物线上即可验证；对于C选项：可转换为相应的斜率的乘积是否为即可验证；对于D选项：表示出相应的线段长度即可验证.【详解】如下图所示： 对于A选项：由题意焦点的坐标以及准线方程分别为，所以焦点到准线的距离为，因此A选项符合题意；对于B选项：由题意设点的坐标为，又由A选项分析可知，抛物线方程为，所以线段的中点坐标为，将其代入抛物线方程得，解得，此时点的坐标为，因此B选项不符合题意；对于C选项：由题意设点的坐标为，切线的方程为，将其代入抛物线方程得，整理得，

16、所以，因为，所以解得，所以切线的斜率为，又因为点的坐标为，所以直线的斜率为，所以，所以，因此C选项符合题意；对于D选项：由C选项分析可知，又，所以有，解得，将其代入切线的方程，解得，所以切点的坐标为，又因为，所以，所以，即，因此D选项符合题意.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题AB两选项常规验证即可，对于C选项关键是要将所验证的转换为相应的斜率的乘积是否为，对于D选项关键是要想办法表示所有线段的长度，然后作差验证是否恒为0即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质、一

17、元二次不等式的解法运算即可得解.【详解】解：方程表示焦点在x轴上的椭圆，由，解得：或，实数的取值范围是.故答案为：.14. 已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用两圆的方程相减，即可求得两圆公共弦所在的直线方程.【详解】由圆和圆，两圆的方程相减，可得，即圆与圆的公共弦所在的直线方程为.故答案为：.15. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为_.【答案】25【解析】【分析】先根据定义得到和的关系，再利用均值不等式求最大值.【详解】因为点P是椭圆C上的一点，所以，又由均值不等式可得，当且仅当，即，时等号成立，故答案为：2

18、516. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则_.【答案】【解析】【分析】在中，由勾股定理可求得、用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得可用含有a的代数式表示，进而求得结果.【详解】如图所示， ，则 ，由双曲线的对称性知：， ，又，四边形 为矩形，设 ，则由双曲线的定义知：，在中，即： ，整理得：，即： ， ，设 ，则由双曲线的定义知：，在中，即：，解得： ，即：，又，在中， 故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的

19、文字说明、证明过程及演算步骤.17. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点.（1）求直线l方程；（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）法一，已知两点求斜率，再由点斜式方程可得，法二，由两点式方程可得；（2）设出直线方程，由直线平行得斜率，再由两平行直线间的距离公式可求.【小问1详解】法一：由题意得直线l的斜率，故直线l的方程为，即；法二：由两点式方程可得，化简得.【小问2详解】可设直线m的方程为，由题意得，解得或，故直线m的方程为或.18. 已知点、，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆的圆心为，且圆与轴

20、相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用平面内两点间的距离公式化简可得出轨迹的方程；（2）求出圆的方程，分析可知，圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，结合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：由得，即，整理得，故动点的轨迹的方程为.【小问2详解】解：点的坐标为且圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，圆与圆两圆心的距离为，圆与圆有公共点，即，且，解得，所以实数的取值范围是.19. 已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为（1）求抛物线的方程；（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求【答案】（1） （2）【解析】【分析

21、】（1）根据对称的性质进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.【小问1详解】该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，因为关于抛物线的准线的对称点为，所以有；【小问2详解】直线的方程为，与抛物线方程联立，得，设，因此有，则有【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键20. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据，以及，求解即可；（2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长

22、公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解.【小问1详解】由题意得：，解得：，双曲线的标准方程为【小问2详解】由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，联立方程组，消去整理得，则， 原点到直线的距离为 ，所以，解得或，故 或，故直线方程为或21. 已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）存在定点，定值为【解析】【分析】（1）根据题意得，将点代入方程即可解决；（2），结合韦达定理得，即可解决【小

23、问1详解】由题知，所以椭圆为，由点在椭圆上得解得，故椭圆方程为【小问2详解】设，由，得所以，所以，所以，解得，所以存在定点，使得为定值.22. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点. （1）求双曲线的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，求的值；（3）证明：直线过定点.【答案】（1） （2） （3）直线过定点,证明见解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；（2）利用韦达定理运算求解即可；（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解.【小问1详解】因为点和点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，设，联立，整理得，若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，所以，因为,所以，所以.【小问3详解】（i）当轴时，且，所以，则，联立，整理得，即，解得或，当时，所以，由于对称性，此时直线过定点；（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，因为，所以联立，即，所以，解得或，当时，所以,同理，将上述过程中替换为可得，所以，因为，所以，所以，所以三点共线，即此时直线恒过定点，综上直线过定点.