吉林省梅河口市第五中学高一（奥赛班）暑期考试数学（理）试题.docx

1、梅河口市第五中学高一暑期奥赛班数学试题（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合， N = yx + y32= ，则 M N = （）A、 B、(3,0), (2,0)C、 -3,3D、3,22、以下有关命题的说法错误的是（）A、命题“若 x 2 - 3x + 2 = 0 ，则 x = 1 ”的逆否命题为“若 x 1 ,则 x2 - 3x + 2 0 ” B、若 p q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题C、“ x = 1”是“ x 2 - 3x + 2 = 0 ”的充分不必要条件D、对于命题 p

2、: $x0 R ，使得 x0+ x0 + 1 0) 与双曲线 x- y = 1 有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，a 2b 2且 AFx 轴，则双曲线的离心率为()A、 512B、 31C、 21D2 21210 、棱长均为 1 三棱锥 S - ABC ，若空间一点 P 满足 SP = xSA + y SB + z SC( x + y + z = 1) ，则 SP 的最小值为A、1 B、636C、 D、36211、已知椭圆 x + y= 1 的左、右顶点分别为 A1 和 A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为 P1 和 P2，94其中 P1 的纵坐标为正数，则直线 A1P1

3、 与 A2P2 的交点 M 的轨迹方程（）A、 x+ y = 1B、 y+ x = 1C、 x - y = 1D、 y- x = 19494949412、如图，过双曲线 x- y = 1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=16 的切线，切点为 T，延长 FT 交双曲线右支于 P 点，若 M1625为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则 MO - MT = （）A、1 B、 3C、 5D、 224二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、在随机数模拟试验中，若 x = 3 * rand （）,y = 2 * rand （） ( rand （）表示生成 0 到 1 之间的

4、随机数 ) ,共做了 m 次试验，其中有 n 次满足x + y 1 ，则椭圆 x+ y = 1 的面积可估计为 。9494( rand （）表示生成 0 到 1 之间的随机数 )14、与双曲线 x - y= 1 有共同渐近线，且过点 (2,2) 的双曲线方程是 。5415、以下四个关于圆锥曲线的命题中：设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA|PB|=k，则动点 P 的轨迹为双曲线；过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若 OP = 1 OA + 1 OB ，则动点 P 的轨迹为椭圆；抛物线 x = ay 2 (a 0) 的焦点坐标是 ( 14a22,0) ；曲线

5、 x- y = 1 与曲线x+ y= 1 （l35 且l10）有相同的焦点16935 - l10 - l其中真命题的序号为 。x 216、点 P(x, y )在函数 y = 3 1 -4的图象上运动，则 2xy 的最大值与最小值之比为 。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（10 分）已知 a 0 ，设命题 p:函数 y = a x 在 R 上单调递增；命题 q:不等式 ax2 - ax + 1 0 对 x R 恒成立，若p 且 q 为假，p 或 q 为真，求 a 的取值范围。18、（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABC

6、D 为矩形， 侧棱 PA底面 ABCD，AB= 3，BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点（）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；（）在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE面 PAC， 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离。19、（12 分） 如图，四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，DAB = 60 ， AB CD ， AD = CD = 2 AB = 2 ，PD 底面 ABCD ， M 为 PC 的中点（）证明： BD PC ；（）若 PD =2 AD ，求二面角 D - BM - P 的余弦值。2第 19 题图20、（12 分）在 ABC 中， a 、 b 、

7、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，且 cos B = -cos Cb2a + c()求角 B 的大小；()若 b =13 ， a + c = 4 ，求 ABC 的面积。121、（12 分）已知抛物线 C：y24x，直线 l：yxb 与 C 交于 A、B 两点，O 为坐标原点2()当直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 时，求|AB|；()是否存在直线 l 使得直线 OA、OB 倾斜角之和为 135，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由。x2 y 222、（12 分）已知椭圆 C :+a2b2()求椭圆 C 的方程;= 1(a b 0) 的焦距为 4,且过点 P( 2，3)

8、 .()设 Q( x0 , y0 )( x0 y0 0) 为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E .取点 A(0, 2 2 ) ,连接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG ,问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一 定有唯一的公共点?并说明理由。一选择题：1.C；2.B；3.B；4.D；5.D；6.A；7.B；8.D；9.C；10.B；11.C；12.A 二填空题：1324n m；14 5 y4- x 2 = 1；15；16 - 4 .5三、解答题：17、解：y=ax 在 R 上单调递增，a1；2

9、分 又不等式 ax2-ax+10 对 xR 恒成立，0，即 a2-4a0，0a4，4 分q：0a4而命题 p 且 q 为假，p 或 q 为真，那么 p、q 中有且只有一个为真，一个为假若 p 真，q 假，则 a4；6 分若 p 假，q 真，则 0a18 分所以 a 的取值范围为（0，14，+）10 分18、解：方法一、（1）设 ACBD=O，连 OE，则 OE/PB，EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角. 2 分在AOE 中，AO=1，OE= 1 PB = 7 ,22AE = 1 PD =25 ,21 + 7 - 5 cos EOA =44 = 3 7 .2 7 1142即 AC 与

10、 PB 所成角的余弦值为 37.6 分14（2）在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F，则 ADF = p .6连 PF，则在 RtADF 中 DF =ADcos ADF= 2 3 , AF = AD tan ADF = 3 .33设 N 为 PF 的中点，连 NE，则 NE/DF，DFAC，DFPA，DF面 PAC，从而 NE面 PAC.N 点到 AB 的距离 = 1 AP = 1，N 点到 AP 的距离 = 1 AF =3 . 12 分226方法二、（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A（0，0，0）、B（ 3 ，0，0）、C（ 3

11、，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0， 1 ，1），3 分2从而 AC = (3,1,0), PB = (3,0,-2).设 AC与PB 的夹角为，则cosq = | AC PB |= 3 = 3 7 ,| AC | | PB | 2 7 14AC 与 PB 所成角的余弦值为 37. 6 分14（）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为（x，O，z） ，则NE = (- x, 1 ,1 - z) ，由 NE面 PAC 可得，2 - x, 1 ,1 - z) (0,0,2) = 0,z - 1 = 0,NE AP = 0, 2 即化简得 1NE AC = 0.(-

12、 x, 1 ,1 - z) (3,1,0) = 0.3x + = 0.2 3x = 6z = 1 210 分即 N 点的坐标为 (3 ,0,1) ，从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1，63.12 分619、解： （）由余弦定理得 BD =12 + 22 - 2 1 2 cos 60 =3 ， BD2 + AB 2 = AD2 ，ABD = 90 ，zBD AB,Q AB / DC , BD DC PD 底 面PABCD ，BD 底面 ABCD ， BD PD 又 PD I DC = D ，PDC ，D又 PC 平面 PDC ， BD PC M BD 平面yC（）已知 AB = 1,

13、AD = CD = 2 ， PD =PDC ，2 ，由（）可 ABx知 BD 平面如图，以 D 为坐标原点，射线 DB 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D - xyz ，则 D(0,0,0), B( 3,0,0), C (0,2,0), P(0,0,2 ) , M (0,1,2 ).2DB = ( 3, 0, 0) ， DM= (0,1,2 ) ，CP = (0,-2,22 ) ，CB = ( 3, -2, 0) . 8 分设平面 BDM 的法向量为 m = ( x, y, z) ，则 m DB = 0 ，m DM = 0 x = 0, y +2 z = 0 ，令 z =22 ，可取 m

14、 = (0,-1,2 ) 9 分同理设平面 BMP 的法向量为 n = (a, b, c) ，则 n CP = 0 ，n CB = 0 n = ( 23 ,1,32 ) 10 分 cos =1= 133 13133二面角 D - BM - P 的余弦值大小为20、解：（1） c cos B + b cos C = -2a cos B13 12 分13由正弦定理：sin C cos B + sin B cos C = -2 sin A cos Bsin( B + C ) = -2 sin A cos B 3 分又sin( B + C ) = sin A cos B = - 120 B 0，满足要

15、求1综上，存在直线 l：yx2 使得直线 OA、OB 的倾斜角之和为 135.12 分222、解: (1)因为椭圆过点 P( 2，3) 2 + 3 = 1a2 b2且 a2 = b2 + c2x2 y 2 a 2 = 8(2)b2 = 4c2 = 4椭圆 C 的方程是+ = 184（4 分）由题意,各点的坐标如上图所示,（6 分）则QG 的直线方程:y - 0 =x - 8x0y0 x - 8x0化简得 x y x - ( x 2 - 8) y - 8 y = 0（8 分）又 x02 + 2 y 2= 8 ,x2所以 x0 x + 2 y0 y - 8 = 0 带入y 2+ = 184得 x2 - 2 xx+ x 2 = 0（11 分）求得最后 D = 0所以直线QG 与椭圆只有一个公共点.（12 分）