四川省成都市状元廊学校2022届中考数学思维方法讲义 第2讲 证明 四边形.docx

1、第2讲 证明 四边形【今日目标】1、牢记四边形的有关性质及其判定；2、运用四边形的性质及判定进行有关计算与证明；3、数学思想方法的合理运用。【考点透视】1.平行四边形的性质及判定方法。 2.矩形的性质及判定方法。3.菱形的性质及判定方法。 4.正方形的性质及判定方法。5.梯形的概念及判定方法。 6.梯形问题的转化。【数学思想方法】梯形的常见辅助线的添加方法：通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形（作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化） 一招制胜图形分离法【精彩知识】题型一: 选择题 【例1】如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，则阴影部分的面积是（ ）A

2、B2 C3 D考点感悟：变式练习：1、如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( )A1 B C 2 D1 2、如图，梯形ABCD中，ABCD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则EFG的周长是（ ） A.8 B.9 C.10 D.12 3、在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB5，BC6，则CECF的值为（ ）A11 B11C11或11 D11或1题型二:填空题【例2】如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分

3、别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O则下列结论ABFCAE，AHC=120，AH+CH=DH，AD 2=ODDH中，正确的结论是 变式练习：1. 如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为S1；当AB=2时，AME的面积记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时，AME的面积记为Sn当n2时，SnSn1= 2、如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2

4、+FH2= 。 1题图 2题图 题型三:计算与证明 常规试题【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2CF2取最大值时，求C点的位置考点感悟： 新型试题【例4】（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HDGCEB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HDGCEB；（3）把图（2）中的正方形

5、都换成矩形，如图（3），且已知DAABHAAEm: n，此时HDGCEB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）考点感悟：【例5】如图1，梯形ABCD中，ADBC，ABC2BCD2，点E在AD上，点F在DC上，且BEF=A. （1）BEF=_(用含的代数式表示)； （2）当ABAD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想； （3）当ABAD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AEAB，ABmDE，ADnDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。考点感悟：【例6】如图，在矩形OABC中，AO10，AB8

6、，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线yax2bxc经过O，D，C三点（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）

7、；若不存在，请说明理由考点感悟：【课后测试】1、如图，四边形ABCD中，BAD=120，B=D=90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMN+ANM的度数为（ ）A. 130 B. 120 C. 110 D. 1002、如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，C90，AD5，BC9， 以A为中心将腰AB顺时针旋转90至AE，连接DE，则ADE的面积等于（ ）A10 B11 C12 D133、如图，已知正方形ABCD中，BE平分DBC且交CD边于点E，将BCE绕点C顺时针旋转到DCF的位置，并延长BE交DF于点G（1）求证：BDGDEG；（2）若EGBG=4，求BE的长4、

8、如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB45，CD 2，BDCD 过点C作CEAB于E，对角线BD于F点G为BC中点，连结EG、AF(1)求EG的长；(2)求证：CF AB AF5、如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于点O（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BECE），求CG的长部分答案与提示：【例1】如图，设BF、CE相交于点

9、M，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，BCMBGF，即。解得CM=1.2。DM=21.2=0.8。A=120，ABC=180120=60。菱形ABCD边CD上的高为2sin60=2，菱形ECGF边CE上的高为3sin60=3。阴影部分面积=SBDM+SDFM=0.8+0.8。故选A。【例3】解：（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，F为AD的中点，AF=FD。在平行四边形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCF

10、D（AAS）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，点F是AD的中点，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整数k=3，使得EFD=3AEF。设BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10x）2+100x2=20020x。CF=GF（中已证），CF2=（CG）2=CG2=（200

11、20x）=505x。CE2CF2=100x250+5x=x2+5x+50=（x）2+50+。当x=，即点E是AB的中点时，CE2CF2取最大值。【例4】解：（1）HD:GC:EB: :1。（2）连接AG、AC，ADC和AHG都是等腰直角三角形，AD:ACAH:AG:，DAC=HAG=45。DAH=CAG。DAHCAG。HD:GCAD:AC:。DAB=HAE=90，DAH=BAE。又ADAB，AHAE，DAHBAE（SAS）。HD=EB。HD:GC:EB:1。（3）有变化，HD:GC:EB。【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理

12、。【分析】（1）连接AG，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，GAE=CAB=45，AE=AH，AB=AD。A，G，C共线，ABAE=ADAH，HD=BE。 GC=ACAG=ABAE= （ABAE）= BE。HD：GC：EB=1：1。（2）连接AG、AC，由ADC和AHG都是等腰直角三角形，易证得DAHCAG与DAHBAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值。（3）连接AG、AC，矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA：AB=HA：AE=m：n，ADC=AHG=90，ADCAHG。AD：AC=AH：AG=，DAC=HAG。DAH=

13、CAG。DAHCAG。HD：GC=AD：AC=。DAB=HAE=90，DAH=BAE。DA：AB=HA：AE=m：n，ADHABE。DH：BE=AD：AB=m：n。HD：GC：EB=。【例5】解：（1）1802。（2）EB=EF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。ADBC，A=180-ABC=1802，ADC=180C=180-。AB=AD，ADB=（180A）=。BDC=ADCADB=1802。由（1）得：BEF=1802=BDC。又EOB=DOF，EOBDOF。，即。EOD=BOF，EODBOF。EFB=EDO=。EBF=180BEFEFB=EFB。EB=EF。（3） 延长AB至G

14、，使AG=AE，连接BE，GE，则G=AEG=。ADBC，EDF=C=，GBC=A，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A，BEF=GBC。GBC+EBC=DEB+BEF，即EBG=FED。DEFGBE。AB=mDE，AD=nDE，AG=AE=（n+1）DE。BG=AGAB=（n+1）DEmDE=（n+1m）DE。【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）由梯形ABCD中，ADBC，ABC=2BCD=2，根据平行线的性质，易求得A的度数，又由BEF=A，即可求得BEF的度数：梯形ABCD中，ADBC，A+ABC=180。A=180ABC=1802

15、。又BEF=A，BEF=A=1802。（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得EOBDOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而可证得EODBOF，又由相似三角形的对应角相等，易得EBF=EFB=，即可得EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得DEFGBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值。解析：延长DF,BA交于G，可证CEMCFM, CDFBGF,通过线段的简单运算，即可求得。【例6】【解析】（1）根据折叠前后的相等线段，先在RtOEC中求出OE长，再在RtADE中运用勾股定理构建方程求AD然后将O，D，C三点的坐标代入抛物

16、线y=ax2+bx+c求出a，b，c即可（2）分别用含的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程，解之即得（3）从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解【答案】解：（1）四边形ABCO为矩形，OABAOCB90，ABCO8，AOBC10由题意得，BDCEDCBDEC90，ECBC10，EDBD由勾股定理易得EO6AE1064设ADx，则BDDE8x，由勾股定理，得x242(8x)2解之得，x3，AD3抛物线yax2bxc过点O（0，0），c0抛物线yax2bxc过点D(3，10)，C(8，0)，解之得抛物线的解析式为：yx2x（2）DEAO

17、EC90，OCEOEC90，DEAOCE由（1）可得AD3，AE4，DE5而CQt，EP2t，PC102t当PQCDAE90时，ADEQPC，即，解得t当QPCDAE90时，ADEPQC，即，解得t当t或时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似（3）存在M1（4，32），N1（4，38）M2（12，32），N2（4，26）M3（4，），N3（4，）5、解：（1）四边形ABCD是菱形，AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3。在RtAOB中，由勾股定理得：AB=。（2）AEF是等边三角形。理由如下：由（1）知，菱形边长为2，AC=2，ABC与ACD均为等边三角形。BAC=BAE+

18、CAE=60。又EAF=CAF+CAE=60，BAE=CAF。在ABE与ACF中，BAE=CAF ，AB=AC=2 ，EBA=FCA=60，ABEACF（ASA）。AE=AF。AEF是等腰三角形。又EAF=60，AEF是等边三角形。BC=2，E为四等分点，且BECE，CE=，BE=。由知ABEACF，CF=BE=。EAC+AEG+EGA=GFC+FCG+CGF=180（三角形内角和定理），AEG=FCG=60（等边三角形内角），EGA=CGF（对顶角），EAC=GFC。在CAE与CFG中， EAC=GFC ，ACE=FCG=60，CAECFG 。，即。解得：CG=。【考点】旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）根据菱形的性质，确定AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。（2）确定一对全等三角形ABEACF，得到AE=AF，再根据已知条件EAF=60，可以判定AEF是等边三角形。确定一对相似三角形CAECFG，由对应边的比例关系求出CG的长度。