四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：3指数对数函数（含解析）.docx

1、A3.指数对数函数一、基础知识1.次方根：若则叫做的次方根,其中是大于1的正整数.当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时当是偶数时,正数的次方根有两个,负数的没有次方根.0的次方根是0,即2.分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.函数且叫做指数函数,其中自变量的取值范围是底数是一个大于0且不等于1的常量.当时,是上的增函数,当时,是上的减函数.4.如果且,那么数叫做以为底的对数,记作其中叫做对数的底数,叫做真数.常用对数自然对数.如果且那么 5.把函数且叫做对数函数,其中自变量的取值范围为当时,是上的增函数,当时,是上的减函数.6.函数的值域

2、为用表示得如果对于在中的任何一个值,通过在中都有唯一的值和它对应,那么就表示是自变量的函数.这样的函数叫做函数的反函数,记作互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.7.函数自身的对称性满足,则关于直线轴对称满足,则关于点中心对称满足,则关于点中心对称两函数相互对称性与的图象关于直线轴对称与的图象关于点中心对称与的图象关于点中心对称8.函数图象的常见变换：平移变换(左加右减上加下减)、对称变换(轴对称中心对称)、翻折变换()、伸缩变换二、典型例题与基本方法1. 2. 3.函数的单调递减区间为 4.已知函数是定义在上的奇函数,且在区间上单调递增,若则的取值范围是 5.已知定义域为的函数满足则 6.

3、已知函数则当取最小值时, 7.已知是定义在上的函数,且若当时,则 8.已知函数对任意的实数均满足且在上单调递增,若且则实数的取值范围为 9.对于自然数和实数若则 10.设函数(1)解方程 (2)令求的值.(3)若是实数集上的奇函数,且对任意实数恒成立,求实数的取值范围.11.已知函数的图象与函数且的图象关于对称若在区间上是增函数,求实数的取值范围.12.已知是定义在上的单调递增函数,对于任意的正数满足对于满足(1)若解不等式 (2)求证：B3.练习 姓名： 1. 2.函数的单调递减区间为 3.已知函数为奇函数,当函数的值域是则的值为 4.若则的取值范围是 5.若对任意的实数都有恒成立,则实数的

4、取值范围是 6.已知函数的最大值为最小值为则的值为 7.已知函数(1)若,求的单调区间. (2)若有最大值3,求实数的值.8.已知函数(1)试判断的单调性,并证明你的结论. (2)若为定义域上的奇函数,求函数的值域.A3.指数对数函数一、基础知识1.次方根：若则叫做的次方根,其中是大于1的正整数.当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时当是偶数时,正数的次方根有两个,负数的没有次方根.0的次方根是0,即2.分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.函数且叫做指数函数,其中自变量的取值范围是底数是一个大于0且不等于1的常量.当时,是上的增函数,当时,

5、是上的减函数.4.如果且,那么数叫做以为底的对数,记作其中叫做对数的底数,叫做真数.常用对数自然对数.如果且那么 5.把函数且叫做对数函数,其中自变量的取值范围为当时,是上的增函数,当时,是上的减函数.6.函数的值域为用表示得如果对于在中的任何一个值,通过在中都有唯一的值和它对应,那么就表示是自变量的函数.这样的函数叫做函数的反函数,记作互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.7.函数自身的对称性满足,则关于直线轴对称满足,则关于点中心对称满足,则关于点中心对称两函数相互对称性与的图象关于直线轴对称与的图象关于点中心对称与的图象关于点中心对称8.函数图象的常见变换：平移变换(左加右减上加下减)

6、、对称变换(轴对称中心对称)、翻折变换()、伸缩变换二、典型例题与基本方法1. 解：原式2. 解：3.函数的单调递减区间为 解：知定义域为且在上单调递增,在上单调递减.而是减函数,则的单调递减区间为4.已知函数是定义在上的奇函数,且在区间上单调递增,若则的取值范围是 解：函数是定义在上的奇函数,所以,所以因为在上单调递增,所以,的取值范围是5.已知定义域为的函数满足则 解：表明函数关于直线对称.即表明函数关于点中心对称.于是于是即于是这表明函数的一个周期为4.6.已知函数则当取最小值时, 解：所以当且仅当即此时,所以满足题设要求.7.已知是定义在上的函数,且若当时,则 解：表明的一个周期为6,

7、表明关于直线对称.于是8.已知函数对任意的实数均满足且在上单调递增,若且则实数的取值范围为 解：关于点中心对称,于是关于点中心对称即是奇函数.且在上单调递增.所以所以于是实数的取值范围为9.对于自然数和实数若则 解：于是于是所以所以于是10.设函数(1)解方程(2)令求的值.(3)若是实数集上的奇函数,且对任意实数恒成立,求实数的取值范围.解：(1),解得或(舍).于是(2)所以所以所以 (3)是上的奇函数,则解得从而容易验证是上的增函数.于是即于是因为所以所以实数的取值范围为11.已知函数的图象与函数且的图象关于对称，若在区间上是增函数,求实数的取值范围.解：令则若则是减函数,于是即于是所以

8、解得若则是增函数,于是即于是所以,在下无解.综上所述实数的取值范围为12.已知是定义在上的单调递增函数,对于任意的正数满足对于满足(1)若解不等式 (2)求证：解：(1).于是所以解得或所以不等式的解集为或(2)证明：易知又在上单调递增,所以当,当因为所以(若不然,注意到在上单调递增,所以矛盾).从而于是因为所以,从而又所以因为所以因为在上单调递增,所以又所以结合解得所以B3.练习 姓名： 1. 解：2.函数的单调递减区间为 解：fx 的定义域为,根据复合函数单调性满足同增异减的性质知道单调递减区间为.3.已知函数为奇函数,当函数的值域是则的值为 解：定义域对称,所以此时函数为奇函数.因为所以

9、在上单调递增,所以于是所以4.若则的取值范围是 解：因为即所以当且仅当时取等.当时,所以的取值范围是5.若对任意的实数都有恒成立,则实数的取值范围是 解：则于是实数的取值范围是6.已知函数的最大值为最小值为则的值为 解：令所以是上的奇函数.7.已知函数(1)若,求的单调区间. (2)若有最大值3,求实数的值.解：当时,令由于在上单调递增,在上单调递减.而在上单调递减.依据同增异减,所以函数的递增区间是递减区间是(2)令由于有最大值3,所以的最小值为所以解得8.已知函数(1)试判断的单调性,并证明你的结论. (2)若为定义域上的奇函数,求函数的值域.解：(1)是增函数证明如下：函数的定义域为且任取且则因为在上单调递增,且所以所以即所以在上是单调增函数(2)因为是定义域上的奇函数,所以即对任意实数恒成立.化简得所以也可利用求得 所以因为所以所以所以.故函数的值域为