圆锥曲线-斜率之和1-2023届高三数学二轮专题复习讲义.docx

1、微专题、筷子问题（斜率相反数）微专题、斜率之和1（斜率相反数）从圆锥曲线上一点引两条直线，由此可设置相关问题，因形状类似筷子，故称为筷子问题 (如右图筷子PA、PB). 特别地：Th: 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点。若kPA+kPB=0，则kAB为定值；反之成立，即若kAB为定值，则kPA+kPB=0。我们经常以上定理的特殊情况来命制题目，具体常用证明的方法有：法1：假设直线AB，联立曲线得A、B两点韦达信息，再求kPA+kPB；法2：假设直线PA、PB，联立曲线得A、B坐标，再求kAB；*法3：三点P、A、B都在曲线上，直接进行点差运算；

2、*法4：平移坐标齐次化，假设直线AB为mx+ny=1,再进一步处理；典 型 例 题【例题】如图所示，已知点是抛物线上一定点，直线MA、MB的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点.(1)省略；(2)求证：直线AB的斜率为定值.证明：(2)法1：直线AB 由题知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：y=kx+t 联立得ky24y+4t0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得 y1+y2，y1y2;kMA+kMB0，+=+=0，解得k=，得证。法2：直线MA+MB由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为：y3=k(x)要点：步骤1.先假设MA；步骤2.再

3、联立求A；步骤3.同理得B；步骤4.再计算AB；联立得ky24y+90，所以，；直线MA、MB的斜率互为相反数，同理可得： ，得证。*法3：点差法依题有M(x0，y0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为三点都在抛物线上，即由y12y02=4x14x0, 得=；由y22y02=4x24x0, 得=； 因为kMA+kMB0，即+=0，得+=0，即y1+y2=6；所以y12y22=4x14x2, 得=，得证。*法4：平移坐标齐次法以点M为坐标原点，建立新的直角坐标系xMy，原方程：y2=4x则转换到新坐标就成为：(y+3)2=4(x+)，展开得：y2+6y4x=0,显然直线AB有斜率且不为

4、0，设直线方程为：mx+ny=1，构造齐次式：y2+6y(mx+ny)4x(mx+ny)=0, 整理为：(1+6n)y2+(6m4n)xy4mx2=0两边同时除以x2，则(1+6n)()2+(6m4n)()4m=0设新的直角坐标系下A(x1，y1)，B(x2，y2)，韦达定理得+=，=；原来kMA+kMB0，即+=0，则转换到新坐标为：+=0， 即=0，得m=n，直线AB方程为nx+ny=1，即y=x+；在新坐标系下直线AB斜率是定值=，故在原坐标下斜率也是定值=，得证。【备注】1、 从条件上看，只要是曲线上的点命制题目，有k1+k20，都会得到斜率定值；2、 从问题上看，AB斜率定值，也可以

5、通过求导可得kAB=kM=(过M切线斜率)另外，也可在此基础上进一步命制问题，比如： “过O做直线2x+3y=0，交MA、MB于C、D两点，求证：|MC|MB|=|MD|MA|；” .解决的关键都是先证AB斜率定值；3、 从方法上看，法1法2常用，法3法4不常用，但都是抓住了斜率和为0这一条件展开；4、进一步,从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P(x0，y0)引两条直线，分别和曲线交于A、B两点：(1)从椭 圆+1上，若kPA+kPB=0，则kAB=b2x0a2y0；(2)从双曲线1上，若kPA+kPB=0，则kAB=b2x0a2y0；(3)从抛物线y22px上， 若kPA+kPB=

6、0，则kAB=py0； 举 一 反 三【训练1】1如图，已知点P（2，2）是抛物线C：y22x上一点，过点P作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A、B两点，直线PA的斜率为k（k0）(1)若直线PA、PB恰好为圆(x2)2+y21的切线，求直线PA的斜率；(2)求证：直线AB的斜率为定值【训练2】2已知双曲线过点，且离心率(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.【训练3】3已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两直线与分别交椭圆于两点，若直线与的斜率互为相反数，求的最大值.参 考 答 案1(1)依题意，(2)设A（xA，yA），B（xB，yB），联立直线PA与抛物线方程，消去x可得：ky22y+44k0，用k代替k可得：，因此，即直线AB的斜率为定值，2(1)双曲线方程为(2)设点，设直线的方程为，代入双曲线方程，得，,同理，.3【详解】椭圆的方程为.（2）设直线为，则直线为，联立方程组，整理得，由，解得，又由，可得，则，同理可得：，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.