备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破1球的切接问题命题点2内切球问题.docx

1、命题点2内切球问题例2 （1）全国卷已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为23.解析易知半径最大的球即该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sinBPEROPBEPB13，所以OP3R，所以PE4RPB2BE2321222，所以R22，所以内切球的体积V43R323，即该圆锥内半径最大的球的体积为23.（2）已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在圆锥内可以任意转动，则a的最大值为2.解析解法一由题意知，正四面体在圆锥内可以任意转动，则a最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.设球

2、心为P，圆锥的顶点为S，圆锥底面圆的圆心为O，A，B为底面圆直径的两端点，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，连接SO，易知P在SO上，SOAB，则OAOB32.因为SO332，所以SASBSO2OB23，所以SAB为等边三角形，可知点P是SAB的中心.连接BP，PQ，则BP平分SBA，所以PBO30，设正四面体外接球的半径为r，于是tan 30r3233，即r333232，所以正四面体外接球的半径为32.因为棱长为a的正四面体的外接球的半径为64a，则64a32，求得a2，所以a的最大值为2.解法二由题意知，正四面体在圆锥内可以任意转动，则a最大时，该正四面体外接于圆锥的内

3、切球.设圆锥的顶点为S，圆锥底面圆的圆心为O，A，B为底面圆直径的两端点，圆锥的轴截面如图所示，则OAOB32.连接SO，则SOAB，SO332，所以SASBSO2OB23，SAB的面积SSAB934.由三角形内切圆半径公式r2S三角形abc（其中S三角形是三角形的面积，a，b，c是三角形的三边长，r是三角形内切圆半径）知，SAB内切圆的半径r32.因为棱长为a的正四面体的外接球的半径为64a，则64a32，求得a2，所以a的最大值为2.方法技巧求解常见几何体的内切球半径的方法几何体求内切球半径R的方法正方体（棱长为a）Ra2正四面体（棱长为a）R612a三棱锥1.过球心O、顶点P、切点M作截

4、面图，部分截面图如图所示，利用相似三角形对应边成比例求解，即OMO1DPOPD，ROMOO1.2.等体积法：将三棱锥分割为以内切球球心为顶点，三棱锥的四个面为底面的棱锥，利用三棱锥的体积等于分割后各棱锥的体积之和，求内切球的半径.训练2 （1）2023河南省部分名校联合检测已知三棱锥PABC的所有顶点均在半径为2的球O的球面上，底面ABC是边长为3的等边三角形.若三棱锥PABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则r（B）A.1B.1314C.32D.3（131）14解析如图，设底面ABC的中心为Q，连接BQ，OQ，则BQ332233，且OQ底面ABC，延长线段QO交球面于点P，此

5、时三棱锥PABC的体积取得最大值.连接OB，因为球O的半径为2，所以OB2，在RtOQB中，OQ22（3）21，所以三棱锥PABC的体积的最大值为V133432（21）934，此时PB32（3）223，S三棱锥PABC34323123（23）2（32）2934（113），由等体积法知93413934（113）r，解得r31+131314.故选B.（2）2024江苏省淮安市涟水县第一中学模拟已知三棱柱ABCEFG中，GCAC，AEBC，平面EBC平面AEB，AC5，若该三棱柱存在体积为43的内切球，则三棱锥AEBC的体积为（B）A.23B.4C.2D.43解析设内切球的半径为R，则43R343，

6、所以R1.因为AEBC，AEGC，所以GCBC，又GCAC，且ACBCC，AC，BC平面ABC，所以GC平面ABC，所以三棱柱ABCEFG为直三棱柱，即侧棱垂直于底面，且侧棱长为2.作AOBE交BE于O点，连接CO，如图所示.因为平面EBC平面AEB，平面EBC平面AEBBE，AO平面AEB，所以AO平面EBC，又BC平面EBC，所以AOBC.因为EA平面ABC，BC平面ABC，所以EABC，又EAAOA，EA，AO平面AEB，所以BC平面AEB，而AB平面AEB，所以ABBC.设ABa，BCb，可得RabAC2ab521，解得ab7，又a2b225，可得ab12，则V三棱锥AEBCV三棱锥EABC13SABCAE1312ab24.故选B.