2012高考总复习《走向清华北大》精品课件53数系的扩充与复数的引入.ppt

1、第五十三讲数系的扩充与复数的引入回归课本1.复数的有关概念.(1)形如a+bi的数叫做复数,其中a和b都是实数.其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.对于复数a+bi(a,bR)当且仅当b=0时,它是实数;当b0时,叫做虚数;当a=0且b0时,叫做纯虚数.(2)复数的相等即如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+dia=c且b=d;a+bi=0a=0且b=0.注意:(1)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则,不能比较大小.(2)复数相等的条件是把虚数问题转化为实数问题的重要依据,是虚数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.2.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复

2、平面.x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.3.共轭复数概念当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示,即z=a+bi,则=a-bi(a,bR).注意:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,即z=zR.(2)z=a+bi与z=a-bi(a,bR)互为共轭复数,则z+=2a,z-=2bi,|z|=|,z =|z|2=|2.4.复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则

3、(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律结合律,即对任何z1、z2、z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(3)复数加减法的几何意义复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量不共线,则复数z1+z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.复数减法的几何意义复数z1-z2是连接向量的终点,并指向被减数向量所对应的复数.5.复数的乘法与除法设z1=a+bi,z2=c+di(1)复数的乘法运算法则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.交换律z1z2=z2z1;结合律(z

4、1z2)z3=z1(z2z3);分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(2)复数的除法运算法则(a+bi)(c+di)=(c+di0).注意:特殊复数及其运算(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*).考点陪练1.(2010北京)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则C对应的复数是()A.4+8i B.8+2iC.2+4i D.4+i解析:两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4),故其对应的复数为2+4i.答案:C2.(2010陕西)复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第

5、二象限C.第三象限D.第四象限答案:A3.(2010湖北)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是()A.E B.FC.G D.H答案:D答案:B答案:A类型一复数的概念解题准备:处理有关复数基本概念的问题,关键是掌握复数的相关概念,找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实数),从定义出发解决问题.本题考查复数集的分类及复数的几何意义,用标准的代数形式,因为容易确定其实部与虚部.若不然,则应先化为代数形式后再依据概念求解.【典例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时,复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象

6、限?分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.解 z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;反思感悟 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,也是化归思想的重要表现.类型二复数的相等解题准备:1.两个复数z1=a+bi(a、bR),z2=c+di(c、dR),当且仅当a=c且b=d时,z1=z2,特别地,当且仅当a=b=0时,a+bi=0.即两复数相等,其实部与实部虚部与虚部分别相等

7、.2.两个实数可以比较大小,但是两个复数,如果不全是实数,它们之间就不能比较大小,只能说相等或不相等.3.复数相等的重要条件提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径.【典例2】设存在复数z同时满足下列条件:(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限;(2)z +2iz=8+ai(aR).试求a的取值范围.解 设z=x+yi(x,yR),则=x-yi.由(1)知x0.又+2iz=8+ai(aR),故(x+yi)(x-yi)+2i(x+yi)=8+ai,即(x2+y2-2y)+2xi=8+ai,y0,4(y-1)20,36-a20,即a236,-6a6,又2x=a,而x0,a0,故-6a0,a的取

8、值范围为-6,0).反思感悟 (1)复数相等当且仅当复数的实部与虚部分别相等,利用这一性质可以解决以下问题:解复数方程;方程有解时系数的值;求轨迹方程.(2)复数问题实数化是复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其转化的依据就是复数相等的充要条件,基本思路是:设出复数的代数形式z=x+yi(x,yR),由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组,从而可以确定两个独立的基本量.类型三复数代数形式的运算解题准备:(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算,在转化时常用的知识有复数相等,复数的加减乘除运算法则,模的性质,共轭复数的性质.(2)一些常用的结论(1i)2=2i;i4n=1,i4n+1=i

9、,i4n+2=-1,i4n+3=-i;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,其中nN*.若=,则2=3=1,1+2=0.分析 可用的性质计算.反思感悟 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的形式,化简的依据是i的周期性,即i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*).复数的代数形式运算,基本思路是直接用法则运算,但有时如果能用上特殊复数i或的一些性质以及一些常见的结论,如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,-b+ai=i(a+bi),可更有

10、效地简化运算,提高计算速度.错源一对复数的有关概念的理解不清致误【典例1】当m为何实数时,复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i是纯虚数?错解 令2m2-5m-3=0,解得:m=3或所以当m=3或m=时,复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i为纯虚数.剖析 错解只考虑复数的实部,而没有顾及虚部,纯虚数的定义要求复数的实部为零而虚部不为零.本例中,当时,2m2-m-1=0,不满足纯虚数的条件.正解 由上述分析知,m=3时,满足上述要求.错源二盲目套用实数集上的性质致误【典例2】若x=sin15cos15,求(-i)4x的值.错解 (-i)4x=(-i)4x=1x=1.剖析 错解中没有根据

11、地将实数中底数是正数时的幂指数运算法则(am)n=amn搬到复数中去.正解 因为x=sin15cos15,所以4x=2sin30=1.所以(-i)4x=(-i)1=-i.技法一函数思想【典例1】已知复数z1=cos-i,z2=sin+i,求|z1z2|的最大值和最小值.解题切入点 本题可以转化成利用三角函数求最值问题.技法二数形结合思想【典例2】如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值为()解析 从复数的几何意义分析:|z+i|+|z-i|=2,表示一条线段,线段端点分别为-i,i所对应的点,而|z+i+1|表示z与-1-i所对应两点间的距离,问题转化为求这个距离的最小值.构图,如图所示,|z+i|+|z-i|=2表示z所对应的点P在以A(0,-1),B(0,1)为端点的线段上,|z+i+1|表示P点到Q(-1,-1)的距离,从图中不难看出,当P点与A点重合时,QAAB,|PQ|AQ|=1,故应选A.答案 A方法与技巧 要注意|AB|=2,|z+i|+|z-i|=2表示一条线段,而不是一个椭圆,注意|z-z1|+|z-z2|=2a,表示椭圆的条件为0|z1-z2|2a,而当|z1-z2|=2a时,|z-z1|+|z-z2|=2a表示一条线段.