2013版高中全程复习方略配套课件：选修4-5.2证明不等式的基本方法（北师大版.ppt

1、第二节证明不等式的基本方法三年3考高考指数:1.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、几何法、反证法、放缩法等；2.会利用不等式的证明方法，证明一些简单的不等式.1.利用综合法、分析法证明不等式是高考的热点，且常与函数、三角、平均值不等式联系在一起综合考查.2.在高考中，多以中高档题为主，特别是以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等知识为背景考查不等式的常用证明方法.不等式证明的基本方法1.比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有求差比较法和求商比较法两种.(1)求差比较法的理论依据是ab_;a0,_;b0a-bbab-1,则的大小关系是_.【解析】ab-1,a

2、+1b+10,答案：2.综合法与分析法(1)综合法一般地，从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出所要证明的结论，这种证明不等式的方法称为综合法.综合法又叫_.由因寻果法(2)分析法证明命题时，从所要证明的结论入手向已知条件反推，直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，这是一种“_”的证明方法.执果索因【即时应用】(1)思考:用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示:综合法：AB1B2BnB(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立.分析法：(步步寻求不等式成立的充分条件).总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法.(2)已知等比数

3、列an的各项均为正数,且公比q1,若则P与Q的大小关系为_.【解析】由等比数列的性质,a2a9=a4a7,由已知a20,a90,a2a9,答案：PQ3.反证法反证法是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立，其步骤是：(1)作出否定结论的_；(2)进行推理，导出_；(3)否定假设，肯定_.假设矛盾结论【即时应用】(1)思考:若a,b,c(0,1),则(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a能否同时大于提示:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于即有三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c又(1-c)c(1-a)a(1-b)b(1-c)c 与假设矛盾.故(

4、1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于(2)否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为_.【解析】三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故反设为a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数.答案：a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数4.几何法证明不等式的几何法是指：通过构造几何图形，_来证明不等式的方法.思路：利用图形的直观性数形结合求证.利用几何图形的性质【即时应用】思考：请设计一个用几何法证明不等式(a+b)24ab(a,bR+)的几何图形.提示：如图，小矩形的长、宽各为a、b，则正方形AB

5、CD的面积显然大于或等于阴影部分中四个小矩形的面积.5.放缩法(1)通过_(或_)分式的分母(或分子)，或通过_(或_)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法.(2)理论依据ab,bca_c.缩小放大放大缩小【即时应用】(1)lg9lg11与1的大小关系是_;(2)设x0,y0，则A与B的大小关系是_.【解析】(1)lg90,lg110,lg9lg111.(2)x0，y0,答案：(1)lg9lg111 (2)AB用比较法证明不等式【方法点睛】1.求差比较法(1)求差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用

6、的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法.2.求商比较法(1)求商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(2)利用求商比较法时，要注意分母的符号.【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用求商比较法证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用求差比较法时，也常用求商比较法.【例1】求证：(1)已知a,bR，且a+b=1，证明(2)当a，b(0，+)时，【解题指南】第(1)小题利用消元，可考虑求差法比较大小；第(2)小题是幂指数型的不等式，可考虑采用求商比较法证明.【规范解答】(1)a,bR，且a+b=

7、1，则b=1-a,=(a+2)2+(b+2)2(2)当a=b时，当ab0时，当ba0时，综上可知，当a、b(0，+)时，成立.【反思感悟】1.利用求差比较法时,变形的目的在于判断差的符号,而不必考虑差的值是多少.若遇到结果符号不能确定的情况,这时要对差式进行分类讨论.2.在利用求商比较法时，其中ab是不正确的,这与a,b的符号有关,比如:若b0,由,可得ab,但若b0,则由得出的反而是ab.也就是说,在利用求商比较法时,要对a、b的符号作出判断.用综合法或分析法证明不等式【方法点睛】1.综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然

8、相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见,分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.2.分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.【例2】1.已知a,b,c0且互不相等,abc=1.试证明:2.(2012宜春模拟)已知abcd，求证：【解题指南】1.由abc=1分别得代换a,b,c中的然后利用平均值不等式证明或者利

9、用平均值不等式从右向左证明.2.只需判断与9的大小，可将a-d变形为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)，再利用不等式a0,b0,c0，则a+b+c 判断.【规范解答】1.方法一：a,b,c0，且互不相等，abc=1.即方法二：以上三式相加，得又a,b,c互不相等,方法三:a,b,c是互不相等的正数，且abc=1,2.abcd,a-b0,b-c0,c-d0,a-d0,=【反思感悟】本题1条件中abc=1是解题的关键.可以先利用“1”的代换，构造利用平均值不等式的条件，然后解决问题，也可以先利用平均值不等式，然后通过“1”的代换来建立之间的大小关系.因此在综合法中，每一个题设条件所反馈出来

10、的“信息”，都是至关重要的，也都有可能成为解题的突破口.用反证法证明不等式【方法点睛】1.适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.2.使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立至多有n-1个存在某个x成立至少有n个p或qp且q至多有n个至少有n+1个p且qp或q【

11、例3】若a3+b3=2，求证:a+b2.【解题指南】直接证明a+b2比较困难，可考虑从反面入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论.【规范解答】方法一:假设a+b2,而但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,a2-ab+b20.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b21.1+aba2+b22ab.从而ab1.a2+b21+ab2.(a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4.a+b2.这与假设矛盾，故a+b2.方法二:假设a+b2，则a2-b,故2=a3+b3(2-b)3+b3，即28-12b+6b2,即(b-1)20，这不可能，从而a+b2.方法三:假设a+b2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)6.故ab(a+b)2.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2.ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2).a2-ab+b2ab,即(a-b)20.这不可能，故a+b2.【反思感悟】1.本题三种方法均采用反证法，有的推至与假设矛盾，有的推至与已知事实矛盾.一般来说,结论的语气过于肯定或肯定“过头”时,都可以考虑采用反证法.2.因为本题的已知条件非常少,为了增加可利用的条件,从反证法的角度来说,“假设”也是已知条件，所以可考虑采用反证法.