安徽省2023中考数学 第5章 四边形作业.docx

1、第五章四边形第一节平行四边形与多边形考点1与平行四边形有关的证明与计算1.在ABCD中,若A=38,则C等于(C)A.142B.132C.38D.522.如图,在ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若AC=5,BD=8,AD=5,则AOD的周长为(C)A.10B.11C.11.5D.133.2021天津如图,ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),则顶点D的坐标是(C)A.(-4,1)B.(4,-2)C.(4,1)D.(2,1)(第3题)(第4题)4.2021湖北荆门如图,将一副三角板在平行四边形ABCD中如下摆放,设1=30,那么2=(C)A.55B.

2、65C.75D.855.2020蚌埠模拟如图,在ABC中,以点A为圆心,BC长为半径的弧与以点C为圆心,AB长为半径的弧相交于点D,连接AD,BD,CD,AC与BD相交于点O.则下列结论不正确的是(D)A.AO是ABD的中线B.ABC=ADCC.AB=CDD.BO是ABC的角平分线6.2021山东菏泽如图,在RtABC中,C=30,D,E分别为AC,BC的中点,DE=2,过点B作BFAC,交DE的延长线于点F,则四边形ABFD的面积为83.(第6题)(第7题)7.2021广东如图,在ABCD中,AD=5,AB=12,sinA=45.过点D作DEAB,垂足为E,连接CE,则sinBCE=9105

3、0.8.2021北京如图,在四边形ABCD中,ACB=CAD=90,点E在BC上,AEDC,EFAB,垂足为F.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AE平分BAC,BE=5,cosB=45,求BF和AD的长.(1)证明:ACB=CAD=90,ADEC.又AEDC,四边形AECD是平行四边形.(2)在RtBEF中,BF=BEcosB=545=4,EF=BE2-BF2=3.AE平分BAC,EFAB,ACE=90,CE=EF=3.四边形AECD是平行四边形,AD=CE=3.9.2021淮南模拟如图,在ABCD中,AEBD,CFBD,垂足分别为E,F两点,点G,H分别为AD,BC的中点,连

4、接GH交BD于点O.求证:EF与GH互相平分.证明:连接BG,DH,如图.四边形ABCD为平行四边形,AB=CD,ABCD,AD=BC,ABE=CDF.AEBD,CFBD,AEB=CFD=90,ABECDF,BE=DF.G,H分别为AD,BC的中点,BH=12BC,GD=12AD,BH=GD.又BHGD,四边形BHDG是平行四边形,OB=OD,OG=OH,OB-BE=OD-DF,即OE=OF,EF与GH互相平分.考点2多边形的性质10.2020江苏扬州如图,小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45后又沿直线前进10米到达点C,再向左转45后沿直线前进10米到达点D照这样走下去,小明第

5、一次回到出发点A时所走的路程为(B)A.100米B.80米C.60米D.40米11.2021黑龙江绥化一个多边形的内角和是外角和的4倍,则这个多边形是(C)A.八边形B.九边形C.十边形D.十二边形12.2021福建如图,点F在正五边形ABCDE的内部,ABF为等边三角形,则AFC等于(C)A.108B.120C.126D.132(第12题)(第13题)13.2020江苏南京如图,在边长为2cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则PEF的面积为23cm2.1.2021河北如图(1),ABCD中,ADAB,ABC为锐角,要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图(2)

6、中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案(A)图(1)图(2)A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是2.2021合肥50中三模如图,在平行四边形ABCD中,BD=AB,ABD=30,将平行四边形ABCD绕点A旋转至平行四边形AMNE的位置,使点E落在BD上,ME交AB于点O,则AOBO的值是(B)A.5-12B.3+12C.3+52D.323.2021黑龙江哈尔滨四边形ABCD是平行四边形,AB=6,BAD的平分线交直线BC于点E,若CE=2,则ABCD的周长为20或28.4.2021山东泰安如图,在平行四边形ABCD中,E是BD的中点,则下列四个结论:AM=CN

7、;若MD=AM,A=90,则BM=CM;若MD=2AM,则SMNC=SBNE;若AB=MN,则MFN与DFC全等.其中正确结论的个数为(D)A.1个B.2个C.3个D.4个(第4题)(第5题)5.2021芜湖模拟在ABCD中,点E为AD的中点,连接CE,CEAD,点F在AB上,连接EF,EF=CE,若BC=6,CD=5,则线段BF的长为185.6.2021淮北模拟如图,在四边形ABCD中,BCD=90,对角线AC,BD相交于点N.点M是对角线BD的中点,连接AM,CM.已知AM=DC,ABAC,且AB=AC.(1)求证:四边形AMCD是平行四边形.(2)求tanDBC的值.(1)证明:点M是B

8、D的中点,BCD=90,CM=BM=MD.又AB=AC,直线AM垂直平分线段BC.又BCD=90,AMCD.又AM=DC,四边形AMCD为平行四边形.(2)如图,延长AM交BC于点E,则由等腰直角三角形的性质可知BE=AE.点M是BD的中点,点E是BC的中点,ME是BCD的中位线,CD=2ME.在AMCD中,AM=CD,AM=2ME,ME=13AE=13BE,tanDBC=MEBE=13.新设问2021江西如图,在边长为63的正六边形ABCDEF中,连接BE,CF,其中点M,N分别为BE和CF上的动点.若以M,N,D为顶点的三角形是等边三角形,且边长为整数,则该等边三角形的边长为9,10或18

9、.第二节矩形、菱形、正方形考点1与矩形有关的证明与计算1.2021广西河池已知ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)A.A=BB.A=CC.AC=BDD.ABBC2.如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,分别以点B,D为圆心,以大于12BD的长为半径画弧,两弧相交于点E和F,作直线EF交AB于点N,则BN的长是(C)A.2.4B.5C.2.5D.3(第2题)(第3题)3.2021山东威海如图,在ABCD中,AD=3,CD=2.连接AC,过点B作BEAC,交DC的延长线于点E,连接AE,交BC于点F.若AFC=2D,则四边形ABEC的面积为(B)A.5B.25C.6D

10、.2134.2021黑龙江哈尔滨如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OEBC,垂足为点E,过点A作AFOB,垂足为点F.若BC=2AF,OD=6,则BE的长为33.(第4题)(第5题)5.2021山东泰安如图,将矩形纸片ABCD折叠(ADAB),使AB落在AD上,AE为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,E点不动,将BE边折起,使点B落在AE上的点G处,连接DE,若DE=EF,CE=2,则AD的长为4+22.6.2021贵州贵阳如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BNAM,垂足为N.(1)求证:ABNMAD;(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的

11、面积.(1)证明:在矩形ABCD中,D=90,DCAB,则BAN=AMD.BNAM,BNA=90.在ABN和MAD中,BAN=AMD,BNA=D=90,BA=AM,ABNMAD.(2)ABNMAD,BN=AD=2.在RtABN中,由勾股定理,得AB=AN2+BN2=25.S矩形ABCD=225=45,SMAD=SABN=1224=4,S四边形BCMN=S矩形ABCD-SABN-SMAD=45-8.7.2021江苏连云港如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:四边形ACED是平行四边形;(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.(1)证明:四边形ABCD是平行四边

12、形,ADBC,且AD=BC.点C是BE的中点,BC=CE,AD=CE,又ADCE,四边形ACED是平行四边形.(2)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=DC.AB=AE,DC=AE.又四边形ACED是平行四边形,四边形ACED是矩形.考点2与菱形有关的证明与计算8.2021江苏南通若菱形的两条对角线的长分别是6和8,则菱形的周长是(B)A.24B.20C.10D.59.2021合肥庐阳区二模如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6,过点D作DEBA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长为(D)A.125B.185C.4D.24510.2021阜阳模拟四边形ABCD中,ADBC,点P,Q是

13、对角线BD上不同的两点,若四边形APCQ是菱形,则下列说法中不正确的是(D)A.BP=DQB.ADB=ABDC.ABCDD.ABP=BAP11.2021江苏苏州如图,四边形ABCD为菱形,ABC=70,延长BC到E,在DCE内作射线CM,使得ECM=15,过点D作DFCM,垂足为F.若DF=5,则对角线BD的长为25.(结果保留根号)12.如图,在ABC中,ABC=90,BD为AC边上的中线,过点C作CEBD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,BG=5,则CF的长为6.13.2021江苏扬州如图,在ABC中,BAC的

14、平分线交BC于点D,DEAB,DFAC.(1)试判断四边形AFDE的形状,并说明理由;(2)若BAC=90,且AD=22,求四边形AFDE的面积.解:(1)四边形AFDE是菱形.理由:DEAB,DFAC,四边形AFDE是平行四边形.AD平分BAC,FAD=EAD.DEAB,EDA=FAD,EDA=EAD,AE=DE,平行四边形AFDE是菱形.(2)BAC=90,四边形AFDE是正方形.AD=22,AF=DF=DE=AE=222=2,正方形AFDE的面积为22=4.14.2021云南如图,四边形ABCD是矩形,E,F分别是线段AD,BC上的点,点O是EF与BD的交点.若将BED沿直线BD折叠,则

15、点E与点F重合.(1)求证:四边形BEDF是菱形;(2)若ED=2AE,ABAD=33,求EFBD的值.(1)证明:BED沿直线BD折叠,点E与点F重合,BE=BF,DE=DF,EDB=FDB.四边形ABCD是矩形,且点E,F分别是线段AD,BC上的点,DEBF,EDB=FBD,FBD=FDB,BF=DF,BE=BF=DF=DE.四边形BEDF是菱形.(2)ED=2AE,ED=23AD,S菱形BEDF=23S矩形ABCD,12BDEF=23ABAD,EFBD=43ABAD=43.考点3与正方形有关的证明与计算15.2021广西玉林一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边

16、分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:acd;bdc;abc.则正确的是(C)A.仅B.仅C.D.16.2021重庆A卷如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点M是边AD上一点,连接OM,过点O作ONOM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为(C)A.1B.2C.2D.2217.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点,过点E作EFAB于点F,EGBC于点G,连接FG,则FG的最小值为(C)A.2B.3C.22D.418.2021山东东营如图,正方形纸片ABCD的边长为12,点F是AD上一点

17、,将CDF沿CF折叠,点D落在点G处,连接DG并延长交AB于点E.若AE=5,则GE的长为4913.19.2021天津如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE,交CD于点H,连接GH,则GH的长为132.20.2021湖南衡阳如图,点E为正方形ABCD外一点,AEB=90,将RtABE绕A点逆时针方向旋转90得到ADF,DF的延长线交BE于H点.(1)试判断四边形AFHE的形状,并说明理由;(2)已知BH=7,BC=13,求DH的长.解:(1)四边形AFHE是正方形.理由如下:ADF由ABE旋

18、转90所得,AFD=AEB=90,EAF=90,AE=AF,四边形AFHE是正方形.(2)如图,连接BD.四边形ABCD是正方形,BC=13,BD=2BC=132.由(1)可知DHBE,DH=BD2-BH2=(132)2-72=17.1.2021江苏无锡如图,D,E,F是ABC各边中点,则以下说法错误的是(C)A.BDE和DCF的面积相等B.四边形AEDF是平行四边形C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形D.若A=90,则四边形AEDF是矩形(第1题)(第2题)2.2021合肥庐阳区二模如图,矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5.点E,G分别在AD,DC上,将ABE,EDG分别沿BE,EG

19、翻折,点A的对应点为点F,点D的对应点为点H.当E,F,H,C四点在同一直线上时,连接DH,则线段DH的长为(A)A.4510B.4310C.5410D.34103.2020陕西如图,在菱形ABCD中,AB=6,B=60,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为27.(第3题)(第4题)4.2020山东滨州如图,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为23,2,4,则正方形ABCD的面积为14+43.5.2021合肥模拟如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=35a.连接AE,将

20、ABE沿AE折叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则折痕的长为2或305.(第5题)(第6题)6.2021合肥45中三模如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,点F是CD上一点,分别以直线AE,AF为对称轴,折叠ABE,ADF,使得AB和AD与AG重合,连接BG交AE于点H,连接CG.(1)HEAH=14;(2)SAFES正方形ABCD=512.7.2021合肥包河区一模如图,在矩形ABCD中,RtBEC的直角顶点E在边AD上,CBE的平分线BF交CE于点G,交边CD于点F.(1)若点E为AD的中点,求证:AEBDEC;(2)若sinBCE=45,求证:BG=4FG;(3)若CF=

21、2DF=2,求CEEG的值.备用图(1)证明:在矩形ABCD中,A=D=90,AB=DC.点E为AD的中点,AE=DE.在AEB和DEC中,AB=CD,A=D=90,AE=DE,AEBDEC.图(1)(2)证明:如图(1),过点F作FHBE,交BE的延长线于点H.BF平分CBE,BCD=BHF=90,FH=FC.又BF=BF,RtBFHRtBFC,BH=BC.sinBCE=45,BEBH=BEBC=45,BEEH=41=4.易得CEHF,BGFG=BEEH=4,BG=4FG.图(2)(3)如图(2),过点F作FHBE交BE的延长线于点H,连接GH,则CEHF,HFG=CGF.由(2)知HFG=

22、CFG,CGF=CFG,CG=CF=HF,四边形CFHG为菱形,GHCF,GH=CF,EGH=DCE.又GEH=CDE=90,GEHCDE,EGCD=GHCE,CEEG=CDGH.CF=2DF=2,GH=CF=2,CD=3,CEEG=32=6.8.2021合肥庐阳区二模如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AD,CD上的点,且AE=CF,连接BE,BF,EF,点G是BE的中点,连接AG并延长交BF于点K.(1)求证:AKBF;(2)当点E是AD的中点时,求tanEBF的值;(3)连接CK,当线段CK取最小值时,求AEAD的值.(1)证明:四边形ABCD是正方形,BA=BC,BAE=C=ABC

23、=90.又AE=CF,BAEBCF,ABE=CBF.点G是BE的中点,AG是RtABE的中线,AG=GB=GE,ABE=BAG,CBF=BAG.又CBF+ABF=90,BAG+ABF=90,AKB=90,即AKBF.(2)当点E是AD的中点时,AE=ED,AB=AD=2AE.由(1)可知BAK=ABE,tanBAK=tanABE,BKAK=AEAB=12.设BK=m,则AK=2m.设AG=BG=x,则GK=2m-x.在RtBKG中,由勾股定理可知BG2=GK2+BK2,即x2=(2m-x)2+m2,整理,得x=54m,GK=34m,tanEBF=tanGBK=GKBK=34.(3)如图(1),

24、设正方形ABCD的边长为2a.取AB的中点P,连接PK,CP.AKB=90,AP=PB,PK=12AB=a.CBP=90,PB=a,BC=2a,PC=PB2+BC2=5a.易知CKPC-PK,CK5a-a,图(1)图(2)CK的最小值为5a-a,此时P,K,C三点共线,如图(2).CFBP,CFKPBK,CFPB=CKPK,即CFa=5a-aa,CF=5a-a,则AE=CF=5a-a,AEAD=5a-a2a=5-12.【参考答案】第五章四边形第一节平行四边形与多边形基础分点练1.C2.C3.CB (-2,-2),C(2,-2),BCx轴,BC=4.四边形ABCD是平行四边形,AD=BC=4,A

25、DBC,ADx轴,D(4,1).4.C如图,延长EH交AB于N,EFH是等腰直角三角形,FHE=45,NHB=FHE=45.1=30,HNA=1+NHB=75.四边形ABCD是平行四边形,CDAB,2=HNA=75.故选C.5.D由作图过程可知AD=BC,CD=AB,四边形ABCD是平行四边形,OB=OD,ABC=ADC,AO是ABD的中线.故选项A,B,C中的结论正确.根据题意不能得到BO是ABC的角平分线.6.83D,E分别为AC,BC的中点,DE是ABC的中位线,DEAB,AB=2DE=4,DEC=ABC=90,又C=30,EC=23,BE=23.DFAB,BFAC,四边形ABFD是平行

26、四边形.ABBE,S平行四边形ABFD=ABBE=423=83.7.91050在RtADE中,DE=ADsin A=545=4,AE=AD2-DE2=3,BE=12-3=9.在RtDCE中,CE=CD2+DE2=410.设点B到CE的距离为h,则SBCE=12hCE=12BEDE,h=BEDECE=94410=91010,则sinBCE=hBC=910105=91050.89.略10.B由题意可知小明所走的路线是正多边形,36045=8,该正多边形是正八边形,故小明所走的路程为810=80(米).11.C12.C五边形ABCDE是正五边形,ABF是等边三角形,ABC=108,AFB=ABF=6

27、0,BF=AB=BC,CBF=ABC-ABF=48,BFC=12(180-FBC)=66,AFC=AFB+BFC=60+66=126.13.23如图,连接BE,BF.多边形ABCDEF是正六边形,ABC=BAF=AFE=120,AB=AF,ABF=AFB=30,CBF=EFB=90,BCEF,SPEF=SBEF.直线BE是正六边形ABCDEF的对称轴,ABE=12ABC=60,EBF=ABE-ABF=30,BF=3EF=23 cm,SPEF=SBEF=12EFBF=12223=23(cm2).综合提升练1.A对于甲方案,连接AC,四边形ABCD是平行四边形,AC经过BD的中点O,且AO=CO.

28、又BO=DO,BN=NO,OM=MD,NO=OM,四边形ANCM是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形);对于乙方案,易证ABNCDM,AN=CM.ANBD,CMBD,ANCM,四边形ANCM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形);对于丙方案,由平行四边形的性质及角平分线的性质可证BANDCM,AN=CM,ANB=CMD,ANM=CMN,ANCM,四边形ANCM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).综上可知,甲、乙、丙三种方案都是正确的.2.B如图,过点E作EFAB于点F.BD=AB,ABD=30,DAB=BDA=12(180-30)=75,ADC=

29、105.由题意可知AE=AD,DEA=EDA=75,DAE=30,EAF=DAB-DAE=75-30=45,AEF为等腰直角三角形.设AF=x,则EF=x,BF=3x,BE=2x.AEN=ADC=105,DEA+AEN=180,点D,E,B,N共线.ENAM,AOMBOE,AOBO=AMBE.又AM=AB=BF+AF=3x+x,AOBO=3x+x2x=3+12.3.20或28四边形ABCD为平行四边形,BCAD,BEA=EAD.AE平分BAD,BAE=EAD,BEA=BAE,BE=AB=6.当E点在线段BC上时,如图(1),则BC=BE+CE=6+2=8,平行四边形ABCD的周长为2(6+8)

30、=28;当E点在线段BC的延长线上时,如图(2),则BC=BE-CE=6-2=4,平行四边形ABCD的周长为2(6+4)=20.综上所述,平行四边形ABCD的周长为20或28.图(1)图(2)4.D四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,ADB=CBD.点E是BD的中点,BE=DE.在MDE和NBE中,MDB=NBD,DE=BE,DEM=BEN,MDENBE,DM=BN,AM=CN,故中结论正确.若A=90,则平行四边形ABCD为矩形,MDC=A=90.在BAM和CDM中,AB=CD,A=CDM,AM=MD,BAMCDM,BM=CM,故中结论正确.由可推得四边形MBND是平行四边形.

31、MD=2AM,SMBND=23SABCD,SMNC=SBAM=1213SABCD=16SABCD.又SBNE=14SMBND=16SABCD,SMNC=SBNE,故中结论正确.AB=MN,AB=DC,MN=DC.第一种情况:当四边形MNCD是等腰梯形时,MNC=DCN.在MNC和DCN中,MN=DC,MNC=DCN,CN=NC,MNCDCN,NMC=CDN.在MFN和DFC中,MFN=DFC,NMF=CDF,MN=DC,MFNDFC.第二种情况:当四边形MNCD是平行四边形时,MNDC,NMF=DCF.在MFN和CFD中,MFN=DFC,NMF=DCF,MN=CD,MFNCFD,故中结论正确.

32、故正确的结论有4个,故选D.5.185如图,延长FE交CD的延长线于点M,连接CF.易证AEFDEM,AF=DM,EF=EM.又EF=CE,EF=CE=EM,FCM=90.CEAD,DE=12AD=3,CE=CD2-ED2=4,FM=2CE=8.ABCD,BFC=DCF=90.设BF=x,则DM=AF=5-x,CM=10-x.在RtBCF中,CF2=BC2-BF2=62-x2.在RtFCM中,CF2+CM2=FM2,62-x2+(10-x)2=82,解得x=185,BF=185.6.略全国视野创新练9,10或18设BE,CF交于点O.若MND为等边三角形,则MDN=60,易知点M在线段OE上或

33、与点B重合.当点M与点B重合时,等边三角形的边长最大,为2CDcos 30=18.若点M在线段OE上,当点M与点E或点O重合时,等边三角形的边长最大,为63;当点M与OE的中点重合时,等边三角形的边长最小,为6332=9.综上,等边三角形MND的边长可取整数9,10或18.第二节矩形、菱形、正方形基础分点练1.B2.C如图,连接DN.由尺规作图可知EF垂直平分线段BD.在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,BD=25,OD=5.设DN=BN=x,则AN=4-x.在RtADN中,由勾股定理可得x2=(4-x)2+22,解得x=2.5,即BN=2.5.3.B四边形ABCD是平行四边形,ABDC,D

34、=ABC.又BEAC,四边形ABEC是平行四边形,FA=FE,FB=FC.AFC=2D,AFC=2ABC.又AFC=ABF+FAB,ABF=FAB,FA=FB,FA=FE=FB=FC,AE=BC,平行四边形ABEC是矩形,BAC=90.BC=AD=3,AB=CD=2,AC=BC2-AB2=5,矩形ABEC的面积=ABAC=25=25.故选B.4.33四边形ABCD是矩形,OA=OB=OC=OD=6.又OEBC,BC=2AF,AF=BE.易证RtAOFRtBOE,AOB=BOE.又BOE=COE,BOE=60,BE=32OB=33.5.4+22由翻折的性质可知,EB=EB,ABE=B=90=EB

35、D.在RtEBF和RtEBD中,EB=EB,EF=ED,RtEBFRtEBD,BF=DB.易知四边形ECDB是矩形,DB=EC=2,BF=DB=2.由翻折的性质可知,FG=BF=2,FAG=45,AGF=180-FGE=180-B=90,AF=22,AB=AB=2+22,AD=AB+DB=4+22.67.略8.B9.D如图,设AC与BD交于点O.四边形ABCD是菱形,AC=6,ACBD,OA=12AC=3,BD=2OB.在RtAOB中,由勾股定理可得OB=AB2-OA2=4,BD=8.方法一:S菱形ABCD=ABDE=12ACBD,DE=12ACBDAB=12685=245.方法二:在AOB与

36、DEB中,AOB=E=90,ABO=DBE,AOBDEB,OAED=ABDB,即3DE=58,DE=245.10.D如图,连接AC交BD于点O.四边形APCQ是菱形,OA=OC,OP=OQ,ACPQ.易证AODCOB,OD=OB,BP=DQ,四边形ABCD是平行四边形.又ACBD,四边形ABCD是菱形,AB=AD,ABCD,ADB=ABD.仅当点P在线段AB的垂直平分线上时,ABP=BAP.故选D.11.25在菱形ABCD中,ABCD,DCE=ABC=70.如图,连接AC交BD于点O,则ACBD,OCB=OCD=12(180-70)=55.DCF=DCE-ECM=55,DCF=DCO.又DOC

37、=DFC=90,DC=DC,DOCDFC,DO=DF=5,BD=2DO=25.12.6AGBD,BD=FG,四边形BGFD是平行四边形.CFBD,CFAG.由题意可知点D是边AC的中点,BD=DF=12AC,四边形BGFD是菱形,DF=GF=BG=5,AF=13-5=8,AC=2DF=10.在RtACF中,AF2+CF2=AC2,即82+CF2=102,CF=6.1314.略15.C16.C四边形ABCD是正方形,OC=OD,OCD=ODA=45,COD=90.ONOM,MON=90,COD=MON,MOD=NOC,MODNOC,SMOD=SNOC,SOCD=S四边形MOND=1,S正方形AB

38、CD=4SOCD=4,AB的长为2.17.C连接BE,如图,易知四边形EFBG是矩形,则FG=BE.易知当BEAC时,BE取最小值,即FG取最小值,此时FG=BE=224=22.故选C.18.4913在RtADE中,DE=AE2+AD2=13.设FC与DG交于点O.由题意可知点D与点G关于FC对称,DGFC,DCF+ODC=90.又ADE+ODC=90,ADE=DCF.又AD=DC,DAE=CDF=90,ADEDCF,DF=AE=5,FC=DE=13,DG=2OD=2DFDCFC=12013,EG=DE-DG=13-12013=4913.19.132如图,连接OF,过点O作OMFC于点M,则O

39、M=DM=2,OM=CE,FM=3,OF=22+32=13.易证OMHECH,OH=HE.又点G为EF的中点,HG为EOF的中位线,GH=12OF=132.20.略综合提升练1.C连接EF,由题意可知EF是ABC的中位线,EFBC.又BD=CD,BDE和DCF的面积相等,故选项A中的说法正确.由题意可知DE和DF都是ABC的中位线,DEAC,DFAB,四边形AEDF是平行四边形,故选项B中的说法正确.由AB=BC可知DF=EF,AEDF的邻边不一定相等,故四边形AEDF不一定是菱形,故选项C中的说法错误.四边形AEDF是平行四边形,当A=90时,四边形AEDF是矩形,故选项D中的说法正确.2.

40、A由题意可知AEB=FEB.ADBC,CBE=AEB=FEB,CE=BC=5.在RtCDE中,DE=CE2-CD2=4.由折叠的性质可知EH=DE=4,CH=CE-EH=1.易证CDECHG,GHED=CHCD,即 GH4=13,GH=43,DG=GH=43,EG=EH2+GH2=42+(43)2 =4103,SDEG=12DEDG=83.由DE=EH,DG=GH,可知直线EG垂直平分DH,由此易得S四边形DEHG=2SDEG=212EG12DH=124103DH=163,DH=4105.3.27在线段BC上取点F,使CF=AE=2,如图,则EF平分菱形ABCD的面积,理由:四边形ABCD为菱

41、形,ADBC,AD=BC=AB=6,DE=BF=6-2=4.过点A作AGBC于点G,过点E作EHBC于点H,则四边形AGHE是矩形,AG=EH,GH=AE=2.S梯形ABFE=12(AE+BF)AG,S梯形EFCD=12(CF+DE)EH,S梯形ABFE=S梯形EFCD,即EF平分菱形ABCD的面积.在RtABG中,AG=ABsin B=632=33,BG=ABcos B=612=3,EH=AG=33,CH=BC-BG-GH=1,FH=CF-CH=1,在RtEFH中,EF=FH2+EH2=12+(33)2=27.4.14+43如图,将ABP绕点B顺时针旋转90得到CBM,连接PM,过点B作BH

42、PM于点H.BM=BP=2,PBM=90,PM=2PB=2.PC=4,CM=PA=23,PC2=CM2+PM2,PMC=90,又BPM=BMP=45,APB=CMB=90+45=135,APB+BPM=180,A,P,M三点共线.BP=BM,BHPM,PH=BH=HM=12PM=1,AH=23+1,AB2=AH2+BH2=(23+1)2+12=14+43,正方形ABCD的面积为14+43.5.2或305分两种情况讨论:当点B落在边AD上时,如图(1),则四边形ABEB是正方形,BE=AB=1,折痕的长为2.当点B落在边CD上时,如图(2),易证ECBBDA,ECBD=EBBA,即25aBD=3

43、5a1,BD=23,a=AD=BA2-BD2=12-(23)2=53,BE=35a=55,AE=AB2+BE2=305.综上可知,折痕的长为2或305.图(1) 图(2)6.(1)14(2)512设AB=2a.(1)点E为BC的中点,BE=a,AE=AB2+BE2=5a.由折叠可知ABE和AGE关于直线AE对称,BGAE,SABE=12ABBE=12AEBH,BH=ABBEAE=2aa5a=255a,AH=AB2-BH2=455a,HE=AE-AH=5a-455a=55a,HEAH=14.(2)易知CE=a,GE=BE=a,AG=AB=2a.设DF=x,则FG=x,CF=2a-x.由折叠可知AGF=AGE=90,E,G,F三点共线,EF=x+a.在RtCEF中,由勾股定理可得EF2=CF2+CE2,即(x+a)2=(2a-x)2+a2,解得x=23a,EF=53a,SAEF=12EFAG=1253a2a=53a2,SAFES正方形ABCD=53a24a2=512.78.略