安徽省2023中考数学 第5章 四边形试题.docx

1、第五章四边形第一节平行四边形与多边形考 点 帮易错自纠易错点1将平行四边形面积公式与三角形面积公式混淆而出错1.如图,在ABC中,AB=4,SABC=4,将ABC沿直线AB向右平移2个单位长度得到ABC,连接CC,则四边形ACCA的面积为4.易错点2误用“一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形”进行判定2.在四边形ABCD中,已知ADBC,则添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)A.ABDCB.AD=BCC.AB=DCD.B+C=180易错点3题干未给出图形而忽略分类讨论3.在平行四边形ABCD中,A=30,AD=43,BD=4,则平行四边形ABCD的面积为83或16

2、3.方 法 帮提分特训1.2021四川南充如图,点O是ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F,下列结论成立的是(A)A.OE=OFB.AE=BFC.DOC=OCDD.CFE=DEF2.2021江苏扬州如图,在ABCD中,点E在AD上,且EC平分BED,若EBC=30,BE=10,则ABCD的面积为50.(第2题)(第3题)3.2021江苏苏州中考改编如图,在平行四边形ABCD中,将ABC沿着AC所在的直线翻折得到ABC,BC交AD于点E,连接BD.若B=60,ACB=45,AC=6,则BD的长为2.4.2021浙江温州如图,在ABCD中,E,F是对角线BD上的两点(点E在点

3、F左侧),且AEB=CFD=90.(1)求证:四边形AECF是平行四边形.(2)当AB=5,tanABE=34,CBE=EAF时,求BD的长.(1)证明:AEB=CFD=90,AECF.如图,在ABCD中,ABCD,AB=CD,1=2,ABECDF,AE=CF,四边形AECF是平行四边形.(2)如图,在RtABE中,AB=5,tan1=34,AE=3,BE=4.四边形AECF是平行四边形,3=4,CF=AE=3.CBE=3,4=CBE,tanCBE=tan4,CFBF=EFCF,CF2=EFBF.设EF=x,则x(x+4)=9,解得x1=13-2,x2=-13-2(舍去),即EF=13-2.C

4、DFABE,DF=BE=4,BD=BE+EF+DF=4+13-2+4=6+13.5.2021湖南常德一个多边形的内角和为1800,则这个多边形的边数为(D)A.9B.10C.11D.126.2021山东济宁如图,正五边形ABCDE中,CAD的度数为(C)A.72B.45C.36D.35(第6题)(第7题)7.2021上海如图,六个含30角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,则中间正六边形的面积为332.真 题 帮考法1与平行四边形有关的证明与计算(10年7考)考法2多边形的性质(10年4考)考法1与平行四边形有关的证明与计算1.2018安徽,9在ABCD中,E,F是对角线BD

5、上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是(B)A.BE=DFB.AE=CFC.AFCED.BAE=DCF2.2014安徽,14如图,在ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CEAB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF.则下列结论中一定成立的是.(把所有正确结论的序号都填在横线上)DCF=12BCD;EF=CF;SBEC=2SCEF;DFE=3AEF.3.2019安徽,20如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE,连接AE,DE.(1)求证:BCEADF;(2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求ST的值.(1)证明:如图(1),延长FA交CB

6、的延长线于点M,ADBC,FAD=M.AFBE,M=EBC,FAD=EBC.同理得FDA=ECB.在BCE和ADF中,EBC=FAD,BC=AD,ECB=FDA,BCEADF.图(1)图(2)(2)方法一:如图(2),连接EF.由(1)知BCEADF,AF=BE.又AFBE,四边形ABEF为平行四边形,SAEF=SAEB.同理可得SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC.又T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T,故ST=2.方法二:图(3)如图(3),过点E作直线lBC,交BC于点G,交AD于点H,则lAD.由(1)知BCEADF,T=S

7、AED+SBCE=12BC(EH+EG)=12BCGH=12S,即ST=2.考法2多边形的性质4.2015安徽,8在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB上,AED=60,则一定有(D)A.ADE=20B.ADE=30C.ADE=12ADCD.ADE=13ADC第二节矩形、菱形、正方形考 点 帮易错自纠易错点1判断一个四边形的形状时,忽略前提条件1.请判断下列说法的正误,正确的画“”,错误的画“”.(1)四条边都相等的四边形是正方形.()(2)对角线相等且互相平分的四边形是正方形.()(3)对角线互相垂直的平行四边形是正方形.()(4)两条对角线分别平分一组对角的平行四边形是正方形.()2

8、.下列说法中正确的有(C)对角线互相平分的四边形是平行四边形;对角线互相垂直的四边形是菱形;对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;对角线相等的平行四边形是矩形.A.1个B.2个C.3个D.4个易错点2混淆三角形与菱形的面积公式3.已知某菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形的面积为(A)A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm24.如图,菱形ABCD的边长为5cm,对角线BD与AC交于点O,若BD=6cm,则菱形ABCD的面积为24cm2.方 法 帮提分特训1.2021广西贺州如图,在矩形ABCD中,E,F分别为BC,DA的中点,以CD为斜边作RtGCD,GD=GC,连接GE,GF

9、.若BC=2GC,则EGF=45.(第1题)(第2题)2.原创新题如图,在矩形ABCD中,ABAD=23,点E为AD的中点,过点B作BFCE于点F,连接AF,则SBCFSABF=98.3.2021浙江金华已知:如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BOC=120,AB=2.(1)求矩形对角线的长.(2)过点O作OEAD于点E,连接BE.记ABE=,求tan的值.解:(1)四边形ABCD是矩形,AC=BD,OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,OA=OC=OB=OD.BOC=120,AOB=60,AOB是等边三角形,OB=AB=2,AC=BD=2OB=4.(2)在矩形ABCD中,

10、BAD=90,AD=BD2-AB2=16-4=23.由(1)得,OA=OD.又OEAD,AE=12AD=3,在RtABE中,tan=AEAB=32.4.2021海南如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是边BC,CD的中点,连接AE,AF,EF.若菱形ABCD的面积为8,则AEF的面积为(B)A.2B.3C.4D.55.2021湖北十堰如图,已知ABC中,D是AC的中点,过点D作DEAC交BC于点E,过点A作AFBC交DE于点F,连接AE,CF.(1)求证:四边形AECF是菱形.(2)若CF=2,FAC=30,B=45,求AB的长.(1)证明:在ABC中,点D是AC的中点,AD=DC.AFBC,

11、FAD=ECD,AFD=CED,AFDCED,DE=DF,四边形AECF是平行四边形.又DEAC,AECF是菱形.(2)如图,过点A作AGBC于点G.四边形AECF是菱形,FAC=30,AE=CF=2,AFEC,EAF=2FAC=60,AEG=EAF=60,AG=AEsinAEG=3.在RtABG中,B=45,AB=2AG=6.6.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是85.7.如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点(不与点B,C重合),DEAG于点E,BFDE,交AG于点F.(1)求证:AF-BF=EF.(2)四边形BFD

12、E是否可能是平行四边形?如果可能,请指出此时点G的位置,如果不可能,请说明理由.(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAF+DAE=90.DEAG,DAE+ADE=90,ADE=BAF.BFDE,BFA=90=AED,ABFDAE,AE=BF,AF-BF=AF-AE=EF.(2)不可能.理由:若四边形BFDE是平行四边形,则DE=BF.由(1)知AE=BF,AE=DE,此时DAG=45,即点G与点C重合,与已知矛盾,故四边形BFDE不可能是平行四边形.真 题 帮考法1与矩形有关的证明与计算(10年9考)考法2与菱形有关的证明与计算(10年2考)考法3与正方形有关的证明与计算(10年

13、5考)考法1与矩形有关的证明与计算1.2017安徽,10如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足SPAB=13S矩形ABCD,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为(D)A.29B.34C.52D.412.2016安徽,14如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰好落在边AD上的点F处;点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰好落在线段BF上的点H处.有下列结论:EBG=45;DEFABG;SABG=32SFGH;AG+DF=FG.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)3.2012安徽,14如图,P是矩形ABCD内的

14、任意一点,连接PA,PB,PC,PD,得到PAB,PBC,PCD,PDA,设它们的面积分别是S1,S2,S3,S4.给出如下结论:S1+S4=S2+S3;S2+S4=S1+S3;若S3=2S1,则S4=2S2;若S1=S2,则P点在矩形的对角线上.其中正确结论的序号是(把所有正确结论的序号都填在横线上).考法2与菱形有关的证明与计算4.2021安徽,8如图,在菱形ABCD中,AB=2,A=120,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为(A)A.3+3B.2+23C.2+3D.1+23(第4题)(第5题)5.2015安徽,9如图,矩

15、形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(C)A.25B.35C.5D.6考法3与正方形有关的证明与计算6.2012安徽,7为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域.设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(A)A.2a2B.3a2C.4a2D.5a2【参考答案】第五章四边形第一节平行四边形与多边形【易错自纠】1.4设ABC中AB边上的高为h,则SABC=12ABh,即4=124h,解得h=2.AC =AC,ACAC,四边形ACCA是平

16、行四边形,SACCA=AAh=22=4.2.C根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”,可知添加A中条件可判定四边形ABCD是平行四边形;根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,可知添加B中条件可判定四边形ABCD是平行四边形.若ADBC,AB=DC,则该四边形可能是平行四边形,也可能是等腰梯形,故添加C中条件不能判定四边形ABCD是平行四边形.由B+C=180,可得ABCD,故添加D中条件可判定四边形ABCD是平行四边形.故选C.3.83或163过点D作DEAB于点E,分两种情况讨论.当点E在AB的延长线上时,如图(1),在RtADE中,A=30,AD=43,DE=12AD=23

17、,AE=32AD=6.根据勾股定理可得BE=BD2-DE2=42-(23)2=2,AB=6-2=4,SABCD=ABDE=423=83.当点E在线段AB上时,如图(2),同理可得DE=23,AE=6,BE=2,AB=6+2=8,SABCD=ABDE=823=163.图(1)图(2)提分特训1.A在ABCD中,ADBC.点O是AC,BD的交点,OA=OC,OE=OF.易得OAEOCF,AE=CF,点F不一定为BC的中点,AE=BF不一定成立.ADBC,CFE+DEF=180.因CFE不一定为直角,故CFE=DEF不一定成立.显然,DOC=OCD不一定成立.故选A.2.50如图,过点E作EFBC,

18、垂足为点F,EBC=30,BE=10,EF=12BE=5.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,DEC=BCE.EC平分BED,BEC=DEC,BCE=BEC,BC=BE=10,四边形ABCD的面积=BCEF=105=50.3.2由折叠的性质,可知ACB=ACB=45,则BCB=90.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ADC=B=60,EAC=ACB=45,AEC=90,即AEC是等腰直角三角形,AE=CE=22AC=3.在RtCDE中,DE=33CE=1.由折叠可知SABC=SABC,又SABC=SACD,SABC=SACD,点B和点D到AC的距离相等,易得BDAC,故EDB=EAC=4

19、5,则BD=2DE=2.4.略5.D180(n-2)=1 800,解得n=12.6.C五边形ABCDE是正五边形,B=BAE=E=108,AB=BC=AE=DE,BAC=DAE=12(180-108)=36,CAD=BAE-BAC-DAE=36.7.332如图,连接BD,DF,BF,过点A作AGBF于点G.易知ABFCDBEFD,AB=AF=1,BAF=120,BDF是等边三角形,ABF=AFB=30,BG=GF,AG=12,BG=GF=32,BF=3,SABF=12312=34,SBDF=34(3)2=334,S正六边形ABCDEF=3SABF+SBDF=334+334=332.1.B如图,

20、由题意可得AB=CD,ABCD,所以ABE=CDF.结合选项A或D中的条件均可得到ABECDF,则AE=CF,AEB=CFD,AEF=CFE,AECF,由此可得四边形AECF一定为平行四边形;结合选项C中的条件可得到ABFCDE,则AF=CE,由此可得四边形AECF一定为平行四边形;结合选项B中的条件不能得出四边形AECF一定是平行四边形.2.过点F作FHAB,交BC于点H,交CE于点O.因为AD=2AB,点F是AD的中点,所以点H是BC的中点,所以DF=CH=CD.又因为DFCH,所以四边形CDFH是菱形,所以CF平分BCD,故正确.延长EF,CD交于点G,因为ABCG,所以BEC=ECG=

21、90,A=FDG,AEF=G.又因为AF=DF,所以AEFDGF,所以EF=FG.在RtECG中,CF是EG边上的中线,所以EF=CF.故正确.因为EF=FG,所以SCEF=SCFG.因为AEFDGF,所以SAEF=SDGF,所以2SCEF=SCEF+SCFG=SCEF+SCDF+SAEF=S梯形AECD12S平行四边形ABCD,而SBEC12S平行四边形ABCD,所以SBEC2SCEF,故错误.由题意可知FHAB,所以AEF=EFH,BEC=EOF=90.又因为EF=CF,所以OF垂直平分CE,容易证明RtEOFRtCOF,所以EFH=CFH.由四边形CDFH是菱形,可得CFH=CFD,所以

22、AEF=EFH=CFH=CFD,即DFE=3AEF,故正确.3.略4.D根据四边形内角和为360,可得ADC=360-A-B-C=360-3A.根据三角形内角和定理,可得ADE=180-A-AED=120-A.故ADE=13(360-3A)=13ADC.第二节矩形、菱形、正方形【易错自纠】1.2.C3.A该菱形的边长为84=2(cm),故其面积为21=2(cm2).4.24四边形ABCD是菱形,ACBD,OD=OB=12BD=3 cm.又AD=5 cm,OA=4 cm,AC=8 cm,S菱形ABCD=12ACBD=1286=24(cm2).提分特训1.45DCG是等腰直角三角形,DCG=45.

23、四边形ABCD是矩形,BCD=90,ECG=135.点E是BC的中点,BC=2GC,EC=GC,CGE=CEG=12(180-ECG)=22.5,同理,DGF=22.5,EGF=90-(CGE+DGF)=45.2.98在矩形ABCD中,D=90,ABAD=23,点E为AD的中点,CDED=43.ADBC,BCE=CED,tanBCF=43.设FC=3a,则BF=4a,BC=5a,AB=10a3.过点F作FMBC于点M,作FNAB于点N,则四边形BMFN是矩形.由面积法可得FM=125a,由勾股定理可得BM=165a,FN=165a,SBCFSABF=12BCFM12ABFN=32125a165

24、a=98.3.略4.B如图,过点E作EGCD于点G,延长GE交AB的延长线于点H.ABCD,点E为BC的中点,EG=EH.点F为CD的中点,S菱形ABCD=ABGH=8,SABE=12ABEH=12AB12GH=2,SADF=12DFGH=1212ABGH=2,SCEF=12CFEG=1212AB12GH=1,SAEF=S菱形ABCD-SABE-SADF-SCEF=8-2-2-1=3,故选B.5.略6.85如图,连接BD交AC于点O.四边形ABCD为正方形,BDAC,OD=OB=OA=OC=4.AE=CF=2,OA-AE=OC-CF=2,即OE=OF=2,四边形BEDF为平行四边形,又BDEF

25、,四边形BEDF为菱形.在RtDOE中,由勾股定理得DE=OD2+OE2=42+22=25,四边形BEDF的周长为4DE=425=85.7.略1.D过点P作EFAB,分别交AD,BC于点E,F.以EF所在直线为对称轴,作点A关于EF的对称点A,连接AB交EF于点P,当点P与点P重合时,PA+PB的值最小.SPAB=13S矩形ABCD,12ABAE=13ABAD,即125AE=1353,解得AE=2,AE=2,AA=4.在RtABA中,由勾股定理,得AB=42+52=41,即PA+PB的最小值为41.2.由折叠的性质可知,ABG=FBG,CBE=EBF,则EBG=12ABC=45,故结论正确;根

26、据题中条件,无法推出RtDEF和RtABG中的两个锐角分别相等,故结论错误;由折叠的性质可知,BH=AB=6,BF=BC=10,则HF=BF-BH=10-6=4,SBHGSFGH=64=32,SABG=SBHG=32SFGH,故结论正确;设AG=HG=x,由AF=BF2-AB2=102-62=8,可得FD=2,FG=8-x.在RtGHF中,根据勾股定理可得FG2=GH2+FH2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,则FG=8-3=5,AG+DF=FG,故结论正确.综上所述,结论正确.3.如图,过P点作矩形ABCD四边的垂线.因为S1+S3=12PEAB+12PFCD=12AB(PE+PF)

27、=12ABBC,S2+S4=12PGBC+12PHAD=12BC(PG+PH)=12BCAB,所以S1+S3= S2+S4 ,即正确,而S1+S4与 S2+S3不一定相等,即错误.由S3=2S1可以得出PF=2PE,但是PH与PG的数量关系无法得出,故无法判断S4与S2的关系,即错误.当S1=S2时,易知PEAB=PGBC,PEBC=PGAB,即PEAD=PGCD,易证四边形EBGP四边形ABCD,连接DB,则PBG=DBC,所以点P在矩形的对角线上,故正确.结论另解:以点B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,作直线BD,设AB=a,BC=b,可求得直线BD的解析

28、式,结合S1=S2,求得直线BP的解析式,从而可知,点B,P,D三点共线,故P点在矩形的对角线上.4.A如图,过点C作CMAB于点M.四边形ABCD是菱形,BC=AB=2,ADBC,B=180-A=60,CM=BCsin B=232=3.易知四边形EFGH是矩形,且FH=EG=CM=3.在四边形AEOH中,OE=OH,OEA=OHA=90,EOH=360-A-2OEA=60,EOH是等边三角形,EH=FG=12EG=32,GH=EF=3EH=32 ,四边形EFGH的周长为2(32+32)=3+3.5.C如图,连接EF,与AC交于点O.根据菱形的性质,可知EF与GH相互垂直平分.又CFAE,AOECOF,AO=CO.在RtABC中,AC=AB2+BC2=82+42=4 5,AO=2 5.OAE=BAC,AOE=ABC=90,RtAOERtABC,AOAB=AEAC,即258=AE45,AE=5.6.A由题意可知,正八边形的边长为a,即原来正方形的每一角上的等腰直角三角形的斜边长均为a,直角边长为22a,阴影部分的面积为中间小正方形面积与四个等腰直角三角形的面积之和,即S阴影=a2+12(22a)24=2a2.