2022秋高中数学 第一章 空间向量与立体几何 测评试题 新人教A版选择性必修第一册.docx

1、第一章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021湖北黄冈检测)设点M(1,1,1),A(2,1,-1),O(0,0,0).若OM=AB,则点B的坐标为()A.(1,0,-2)B.(3,2,0)C.(1,0,2)D.(3,-2,0)2.已知A,B,C,D,E是空间中的五个点,其中点A,B,C不共线,则“存在实数x,y,使得DE=xAB+yAC”是“DE平面ABC”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021安徽芜湖期中)已知点A(4,1,3),B(2,3,1),C(5,7,

2、-5),又点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为()A.14B.13C.12D.114.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中AB=BC=BB1=1,ABB1=ABC=B1BC=3,AE=2BD1,则|B1E|=()A.25B.5C.14D.145.(2021广东广州期中)如图,M,N分别是四面体O-ABC的棱OA,BC的中点,设OA=a,OB=b,OC=c,若MN=xa+yb+zc,则x+y-z=()A.-12B.12C.32D.-326.(2021北京宣城期中)我国古代数学名著九章算术商功中记载“斜解立方,得两堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABC-A1B1

3、C1中,AB=AC=AA1=2,P为B1C1的中点,则AC1BP=()A.6B.-6C.2D.-27.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30B.45C.60D.908.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,ABCD,且ACBD,AC与BD交于O,PO底面ABCD,PO=2,AB=22,E,F分别是AB,AP的中点.则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为()A.-33B.33C.-63D.63二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求

4、.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.有下列四个命题,其中是真命题的有()A.若p=xa+yb,则p与a,b共面B.若p与a,b共面,则p=xa+ybC.若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B共面D.若P,M,A,B共面,则MP=xMA+yMB10.(2021安徽黄山期中)如图,在空间四边形OABC中,G,H分别是ABC,OBC的重心,设OA=a,OB=b,OC=c,下列结论正确的是()A.OG=13(a+b+c)B.若OABC,OBAC,则OCABC.OG=13a+23b+13cD.GH=-13a11.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1AD=A1AB=B

5、AD=60,AA1=AB=AD,E为A1D1的中点.给出下列四个说法:BCC1为异面直线AD与CC1所成的角;三棱锥A1-ABD是正三棱锥;CE平面BB1D1D;CE=-12ADAB+AA1.其中正确的说法有()A.B.C.D.12.(2021湖北黄冈期中)如图,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,将ABD沿对角线BD翻折到PBD位置,连接PC,则在翻折过程中,下列说法正确的是()A.PC与平面BCD所成的最大角为45B.存在某个位置,使得PBCDC.存在某个位置,使得B到平面PDC的距离为3D.当二面角P-BD-C的大小为90时,PC=6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

6、13.(2021北京顺义区检测)已知空间向量a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且ab,则|b|=.14.在四面体ABCD中,已知E为线段BC上的点,O为线段DE上的点,且BE=13BC,DO=35DE,若AO=xAB+yAC+zAD,则xyz的值为.15.(2021上海青浦期末)一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43,半径为18 cm的扇形,则圆锥的母线与底面所成角的余弦值为.16.(2021浙江诸暨期中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB,AC,AA1两两互相垂直,AB=AC=AA1,M,N分别是侧棱BB1,CC1上的点,平面AMN与平面ABC的夹角为6,则当|B1M|最小时,A

7、MB=.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021湖北武汉期中)如图,在三棱锥P-ABC中,点D为棱BC上一点,且CD=2BD,点M为线段AD的中点.(1)以AB,AC,AP为一组基底表示向量PM;(2)若AB=AC=3,AP=4,BAC=PAC=60,求PMAC.18.(12分)(2021河北保定期中)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8).(1)求ab;(2)求,的值使得a+b与z轴垂直,且(a+b)(a+b)=53.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=3,BC=1,

8、PA=2,E为PD的中点.(1)求cos的值;(2)在侧面PAB内找一点N,使NE平面PAC,并求出N到AB和AP的距离.20.(12分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,BAA1=DAA1=3,AC1=26.(1)求侧棱AA1的长;(2)M,N分别为D1C1,C1B1的中点,求AC1MN及两异面直线AC1和MN的夹角.21.(12分)(2021黑龙江哈尔滨期中)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ADE平面ABCD,O,M分别为线段AD,DE的中点.四边形BCDO是边长为1的正方形,AE=DE,AEDE.(1)求证:CM平面ABE;(2)求直线DE与平面

9、ABE所成角的正弦值.22.(12分)(2021云南大理期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,且AD=2AB=2BC=2CD,E,F分别是线段PB,AC的中点,PA=PD,平面PAD平面ABCD.(1)证明:EF平面ABCD;(2)求平面ACE与平面ADE所成夹角的取值范围.第一章测评1.B设B(x,y,z),则AB=(x-2,y-1,z+1).因为OM=AB,OM=(1,1,1),所以(1,1,1)=(x-2,y-1,z+1),所以x=3,y=2,z=0,即点B为(3,2,0).2.B根据题意,若存在实数x,y,使得DE=xAB+yAC,则DE平面ABC或DE平面AB

10、C,反之,若DE平面ABC,则向量DE与AB,AC共面,又由点A,B,C不共线,故一定存在实数x,y,使得DE=xAB+yAC,故“存在实数x,y,使得DE=xAB+yAC”是“DE平面ABC”的必要不充分条件.3.B因为点A(4,1,3),B(2,3,1),C(5,7,-5),P(x,-1,3),所以AP=(x-4,-2,0),AB=(-2,2,-2),AC=(1,6,-8).因为点P(x,-1,3)在平面ABC内,则存在实数m,n,使得AP=mAB+nAC,所以(x-4,-2,0)=m(-2,2,-2)+n(1,6,-8),则x-4=-2m+n,-2=2m+6n,0=-2m-8n,解得x=

11、13.4.B在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中AB=BC=BB1=1,ABB1=ABC=B1BC=3,AE=2BD1,B1E=B1A+AE=C1D+2BD1=C1C+CD+2(BC+CD+DD1)=2BC+3CD+DD1,B1E2=(2BC+3CD+DD1)2=4BC2+9CD2+DD12+2|2BC|3CD|cos60+2|2BC|DD1|cos60+2|3CD|DD1|cos60=4+9+1+6+2+3=25,|B1E|=|B1E|=25=5.5.A因为M,N分别是四面体O-ABC的棱OA,BC的中点,所以MN=MA+AC+CN=12OA+(OCOA)+12CB=12a+c-a

12、+12(OBOC)=-12a+12b+12c,又MN=xa+yb+zc,所以x=-12,y=12,z=12,则x+y-z=-12+1212=-12.6.A根据堑堵的几何性质可知,ABAC,AA1AB,AA1AC,因为AC1=AC+AA1,BP=BB1+12B1C1=AA1+12(ACAB),所以AC1BP=(AC+AA1)AA1+12(ACAB)=ACAA1+12AC212ACAB+AA12+12ACAA112AA1AB=2+4=6.7.A取AB的中点D,A1B1的中点E,连接CD,DE,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3

13、),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),根据mAB1=0,mAC1=0,解得m=(3,-3,2),cos=mAA1|m|AA1|=12.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30,故选A.8.B由题意,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题知,OA=OB=2,则A(0,-2,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(1,-1,0),F(0,-1,1),OE=(1,-1,0),OF=(0,-1,1),设平面FOE的法向量为m=(x,y,z),则mOE=0,

14、mOF=0,即x-y=0,-y+z=0,令x=1,可得m=(1,1,1),易知平面OAE的一个法向量为n=(0,0,1),则cos=mn|m|n|=13=33,设平面FOE与平面OEA夹角为,则cos=|cos|=33.9.AC若p=xa+yb,则p与a,b肯定在同一平面内,故A正确;当p与a,b共面时,若a与b共线,则p就不一定能用a,b表示,故B错误;同理,D错误;若MP=xMA+yMB,则MP,MA,MB三向量在同一平面内,所以P,M,A,B共面,故C正确.10.ABD对于A和C选项,G是ABC的重心,OG=OA+AG,AG=23AD,AD=ODOA,OD=12(OB+OC),OG=OA

15、+2312(OB+OC)-OA=13(OA+OB+OC)=13(a+b+c),故A正确,C错误;对于B,若OABC,OBAC,则OABC=0,OBAC=0,OCAB=(OB+BC)(AC+CB)=OBAC+OBCB+BCAC+BCCB=OCCB+BCAC=BC(ACOC)=BCAO=0,OCAB,故B正确;GH=OHOG,OH=23OD,OD=12(OB+OC),GH=13(b+c)-13(a+b+c)=-13a,故D正确.11.BDBCC1=120,而异面直线AD与CC1所成的角为60,故错误;三棱锥A1-ABD的每个面都为正三角形,故为正四面体,故正确;根据向量加法的三角形法则,CE=CB

16、+BA+AA1+A1E=-ADAB+AA1+12AD=-12ADAB+AA1,故正确;因为BD=ADAB,所以CEBD=-12AD-AB+AA1(ADAB)=-12|AD|2+12ADABABAD+|AB|2+AA1ADAA1AB=-12|AD|2+14|AD|2-12|AD|2+|AD|2+12|AD|2-12|AD|2=14|AD|20,所以CE与BD不垂直,又BD平面BB1D1D,故CE与平面BB1D1D不垂直,故错误.12.BD选项A,如图,取BD的中点O,连接OP,OC,则OP=OC=3.由题可知,PBD和BCD均为等边三角形,由对称性可知,在翻折的过程中,PC与平面BCD所成的角为

17、PCO,当PC=3时,OPC为等边三角形,此时PCO=6045,即选项A错误.选项B,当点P在平面BCD内的投影为BCD的重心点Q时,有PQ平面BCD,BQCD,PQCD,又BQPQ=Q,BQ,PQ平面PBQ,CD平面PBQ,PB平面PBQ,PBCD,即选项B正确.选项C,取CD的中点N,连接BN,PN,PN=3,如果B到平面PDC的距离为3,则BN平面PCD,PB=2,BN=3,PN=1,DN=1,所以PD=2,显然不可能,故C错误.选项D,当二面角P-BD-C的大小为90时,平面PBD平面BCD,取BD的中点O,连接OP,OC.PB=PD,OPBD,平面PBD平面BCD=BD,OP平面BC

18、D,OPOC,又OP=OC=3,POC为等腰直角三角形,PC=2OP=6,即选项D正确.13.26a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且ab,ab=-8+6+x=0,解得x=2,b=(-4,2,2),|b|=(-4)2+22+22=26.14.4125因为E为线段BC上的点,O为线段DE上的点,且BE=13BC,DO=35DE,所以AO=AD+DO=AD+35DE=AD+35(DB+BE)=AD+35DB+13BC=AD+35ABAD+13AC13AB=25AB+15AC+25AD,又AO=xAB+yAC+zAD,所以x=25,y=15,z=25,所以xyz=4125.15.23设母线长

19、为l,底面圆的半径为r,因为圆锥的侧面展开图是圆心角为43,半径为18cm的扇形,所以l=18,且1843=2r,解得r=12,设圆锥的母线与底面所成角为,则cos=rl=1218=23,所以圆锥的母线与底面所成角的余弦值为23.16.3以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设CN=b,BM=a,AB=AC=AA1=1,则N(0,1,b),M(1,0,a),A(0,0,0),B(1,0,0),所以AM=(1,0,a),AN=(0,1,b).设平面AMN的法向量为n=(x,y,z),则nAM=x+az=0,nAN=y+bz=0,令z=1,则n=(-a,-b,1),平面ABC的法向量为m=

20、(0,0,1),因为平面AMN与平面ABC所成的夹角为6,所以cos6=|cos|=|mn|m|n|=1a2+b2+1=32,化简可得3a2+3b2=1,当|B1M|最小时,则b=0,BM=a=33,所以tanAMB=ABBM=133=3,则AMB=3.17.解(1)M为线段AD的中点,AM=12AD.CD=2BD,BD=13BC,PM=PA+AM=PA+12AD=PA+12(AB+BD)=PA+12AB+13BC=PA+12AB+13(BA+AC)=PA+12AB13AB+13AC=-AP+13AB+16AC.(2)PMAC=-AP+13AB+16ACAC=-APAC+13ABAC+16AC

21、2=-|AP|AC|cosPAC+13|AB|AC|cosBAC+16|AC|2=-4312+133312+1632=-6+32+32=-3.18.解(1)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以ab=32+51-48=-21.(2)取z轴上的单位向量n=(0,0,1),又a+b=(5,6,4),由题意,得(a+b)n=0,(a+b)(a+b)=53,所以(3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=0,(3+2,5+,-4+8)(5,6,4)=53,即-4+8=0,29+48=53,解得=1,=12.19.解在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=3,B

22、C=1,PA=2,E为PD的中点.以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),B(3,0,0),(1)AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2),cos=ACPB|AC|PB|=347=3714.(2)设在侧面PAB内找一点N(a,0,c),使NE平面PAC,D(0,1,0),E0,12,1,NE=-a,12,1-c,AP=(0,0,2),AC=(3,1,0),NEAP=2(1-c)=0,NEAC=-3a+12=0,解得a=36,c=1,N36,0,1,N到AB的距离为1,N到A

23、P的距离为36.20.解(1)设侧棱AA1=x,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,且A1AD=A1AB=60,|AB|2=|AD|2=1,|AA1|2=x2,ABAD=0,ABAA1=x2,ADAA1=x2,又AC1=AB+AD+AA1,AC12=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=26,x2+2x-24=0,x0,x=4,即侧棱AA1=4.(2)AC1=AB+AD+AA1,MN=12DB=12(ABAD),AC1MN=12(ABAD)(AB+AD+AA1)=12(AB2AD2+ABAA

24、1ADAA1)=12(1-1+2-2)=0,两异面直线AC1和MN的夹角为90.21.(1)证明如图,取线段AE中点P,连接BP,MP,M为DE中点,MPAD,MP=12AD.又四边形BCDO是边长为1的正方形,BCDO,BC=DO,BCMP,BC=MP.四边形BCMP为平行四边形,CMBP.CM平面ABE,BP平面ABE,CM平面ABE.(2)解连接EO,AE=DE,O为AD中点,EOAD.EO平面ADE,平面ADE平面ABCD,平面ADE平面ABCD=AD,EO平面ABCD.又OB平面ABCD,OD平面ABCD,EOBO,EOOD.如图,建立空间直角坐标系.A(0,-1,0),B(1,0,

25、0),D(0,1,0),E(0,0,1),设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),AB=(1,1,0),AE=(0,1,1).由ABm=x+y=0,AEm=y+z=0,可取m=(1,-1,1).DE=(0,-1,1),|cos|=|DEm|m|DE|=63.直线DE与平面ABE所成角的正弦值为63.22.(1)证明取AD的中点O,连接OP,OB,OC(图略),则OA=12AD=BC,由题意可知,BCAD,故四边形ABCO是平行四边形.因为F是线段AC的中点,故F是OB的中点,又E是PB的中点,故EFOP.因为PA=PD,O为AD的中点,故OPAD.因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面A

26、BCD=AD,OP平面PAD,故OP平面ABCD.因为EFOP,故EF平面ABCD.(2)解因为AB=BC,所以四边形ABCO为菱形,则ACOB,所以AC,OB,EF两两垂直,故以点F为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设AB=2,EF=t,则A(0,-3,0),B(1,0,0),D(-2,3,0),E(0,0,t),F(0,0,0),所以AD=(-2,23,0),AE=(0,3,t),FB=(1,0,0).设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),则nAD=-2x+23y=0,nAE=3y+tz=0,令x=3,则n=3,1,-3t,平面ACE的法向量为m=(1,0,0),设平面ACE与平面ADE所成夹角为,所以cos=|cos|=|mn|m|n|=33+1+3t2.因为3t20,所以4+3t22,则034+3t232,又02,故62,所以平面ACE与平面ADE所成夹角的范围为6,2.