2022秋高中数学 第四章 数列 培优课 求数列的通项课后习题 新人教A版选择性必修第二册.docx

1、培优课求数列的通项必备知识基础练1.将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,2 021,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M等于()A.2 02122 018B.2 02222 019C.2 02122 019D.2 02222 0202.(多选题)设首项为1的数列an的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是()A.数列Sn+n为等比数列B.数列an的通项公式为an=2n-1-1C.数列an+1为等比数列D.数列Sn-Sn-1+1为等比数列3.已知在数列an中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-

2、1(n2),则数列an的通项公式为.4.已知Sn是数列an的前n项和,且Sn=2an+n-4.(1)求a1的值;(2)若bn=an-1,试证明数列bn为等比数列.5.已知各项均为正数的数列bn的首项为1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n2).试求数列bn的通项公式.关键能力提升练6.在数列an中,a1=5,且满足an+12n-5-2=an2n-7,则数列an的通项公式为()A.2n-3B.2n-7C.(2n-3)(2n-7)D.2n-57.已知数列an满足a1=1,an+1=anan+2(nN*).若bn=log21an+1,则数列bn的通项公式bn等于()A.12nB.n

3、-1C.nD.2n8.若数列an满足a1=1,且an+1=4an+2n,则a6=.9.已知在数列an中,an+1=2an+32n+1,且a1=2,则数列an的通项公式为.10.在数列an中,a1=1,a1+2a2+3a3+nan=n+12an+1(nN*),求数列an的通项公式an.11.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年年底需要从利润中取出200万元进行广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(取lg 20.301 03)学科素养创新练12.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1

4、=0(n=1,2,3,)有两根和,且满足6-2+6=3.(1)试用an表示an+1;(2)求证:an-23是等比数列;(3)当a1=76时,求数列an的通项公式.参考答案培优课求数列的通项1.B记第n行的第一个数为an,则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,an=2an-1+2n-2,an2n-2=an-12n-3+1,即an2n-2是以a12-1=2为首项,1为公差的等差数列.an2n-2=2+(n-1)1=n+1,an=(n+1)2n-2.又每行比上一行的数字少1个,最后一行为第2021行,M=a2021=202222019.2.AD因为Sn+1=

5、2Sn+n-1,所以Sn+1+n+1Sn+n=2Sn+2nSn+n=2.又S1+1=2,所以数列Sn+n是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;所以Sn+n=2n,则Sn=2n-n.当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,但a121-1-1,故B错误;由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4,即a3+1a2+1a2+1a1+1,故C错误;由Sn=2n-n,所以Sn-Sn-1+1=2n-n-2n-1+n-1+1=2n-1,故D正确.3.an=3(2n-1)(2n+1)由(2n+1)an=(2n-3)an-1,可得anan-1=2n-32n+1(n2),所

6、以a2a1=15,a3a2=37,a4a3=59,a5a4=711,anan-1=2n-32n+1(n2).上述各式左右两边分别相乘得ana1=13(2n-1)(2n+1)(n2),故an=3(2n-1)(2n+1)(n2).又a1=1满足上式,所以数列an的通项公式为an=3(2n-1)(2n+1)(nN*).4.(1)解因为Sn=2an+n-4,所以当n=1时,S1=2a1+1-4,解得a1=3.(2)证明因为Sn=2an+n-4,所以当n2时,Sn-1=2an-1+n-1-4,Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),即an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-

7、1),又bn=an-1,所以bn=2bn-1,且b1=a1-1=20,所以数列bn是以2为首项,2为公比的等比数列.5.解Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n2),(Sn+Sn-1)(SnSn-1)=Sn+Sn-1(n2).又Sn0,SnSn-1=1.又S1=1,数列Sn是首项为1,公差为1的等差数列,Sn=1+(n-1)1=n,故Sn=n2.当n2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.当n=1时,b1=1符合上式.bn=2n-1.6.C因为an+12n-5-2=an2n-7,所以an+12n-5an2n-7=2,又a12-7=-1,所以数列an2n-7是以-1为首项,公差为2

8、的等差数列,所以an2n-7=-1+2(n-1)=2n-3,所以an=(2n-3)(2n-7).7.C由an+1=anan+2,得1an+1=1+2an,所以1an+1+1=21an+1,又1a1+1=2,所以数列1an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以1an+1=22n-1=2n,所以bn=log21an+1=log22n=n.8.2016因为an+1=4an+2n,所以an+1+2n=4(an+2n-1),所以数列an+2n-1是等比数列,首项为2,公比为4,则an+2n-1=24n-1,可得an=22n-1-2n-1,则a6=226-1-26-1=211-25=2016.9.an=

9、(3n-2)2nan+1=2an+32n+1,an+12n+1=an2n+3,即an+12n+1an2n=3.数列an2n是公差为3的等差数列.又a12=1,an2n=1+3(n-1),an=(3n-2)2n.10.解由a1+2a2+3a3+nan=n+12an+1,得当n2时,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=n2an,两式作差得nan=n+12an+1-n2an,得(n+1)an+1=3nan(n2),即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n2时,nan=23n-2.于是an=1,n=1,23n-2n,n2,nN*.11.解设该项目n

10、年后资金数为an,nN*.则由已知得an+1=an(1+25%)-200,即an+1=54an-200.令an+1-x=54(an-x),即an+1=54an-x4,由x4=200,得x=800.an+1-800=54(an-800).故数列an-800是以a1-800为首项,54为公比的等比数列.a1=1000(1+25%)-200=1050,a1-800=250,an-800=25054n-1,an=800+25054n-1(nN*).由题意知an4000,800+25054n-14000,即54n16.两边取常用对数得nlg54lg16,即n(1-3lg2)4lg2.lg20.30103

11、,不等式化为n4lg21-3lg212.43,n13.故经过13年后,该项目资金可达到或超过翻两番的目标.12.(1)解根据根与系数的关系,得+=an+1an,=1an.代入题设条件6(+)-2=3,得6an+1an2an=3.所以an+1=12an+13.(2)证明因为an+1=12an+13,所以an+1-23=12an-23.若an=23,则方程anx2-an+1x+1=0,可化为23x2-23x+1=0,即2x2-2x+3=0.此时=(-2)2-4230,所以an23,即an-230.所以数列an-23是以12为公比的等比数列.(3)解当a1=76时,a1-23=12,所以数列an-23是首项为12,公比为12的等比数列.所以an-23=1212n-1=12n,所以an=23+12n,nN*,即数列an的通项公式为an=23+12n,nN*.