新教材2020-2021学年人教B版数学必修第四册学案：11-1-1 空间几何体与斜二测画法 WORD版含答案.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第十一章 立体几何初步11.1空间几何体11.1.1空间几何体与斜二测画法必备知识自主学习导思1.用斜二测画法画直观图时应遵循的原则是什么?2.空间图形的直观图是什么?1.空间几何体如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.2.直观图立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图形的直观图.为了使直观图具有立体感,人们经常使用斜二测画法来作直观图.3.用斜二测画法作水平放置的平

2、面图形的直观图的步骤(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x轴和y轴,使得它们正方向的夹角为45(或135).(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x轴平行(或重合)的线段,且长度不变.平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半.(3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.(1)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的关键是什么?提示:关键是分别作出平面图形中与x轴和y轴平行(或重合)的线段.(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,哪些关系不变?哪些关系有可能发生变化?提示:不变的关系:一般情况下,直线的平

3、行关系不变;点的共线性不变,线的共点性不变.有可能发生变化的关系:长度相等的线段,在直观图中长度不一定相等;角的大小关系有变化,特别是垂直关系有变化.4.用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x轴与y轴).(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴,且z轴垂直于x轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z轴平行(或重合)的线段,且长度不变.连接有关线段.(3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).(1)立体几何中的直观图都

4、是采用斜二测画法作出来的吗?提示:不都是.只是经常用斜二测画法,如水平放置的圆,则用正等测画法(教材P58提到).(2)画空间几何体直观图时,为了体现立体感,最重要的措施是什么?提示:被遮挡的部分改为虚线,通过实线虚线的变化,展示前后层次,体现立体感.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同.()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.()(3)水平放置的三角形的直观图一定是三角形.()(4)水平放置的菱形的直观图一定是菱形.()提示:(1).实物图中的直观图与取坐标系的方法有关.(2).根据斜二测画法的规则可知此说法正确.(3).

5、水平放置的n边形的直观图仍是n边形.(4).利用斜二测画法画菱形的直观图时,相邻两边不一定再相等,故不一定是菱形.2.用斜二测画法画水平放置的ABC时,若A的两边分别平行于x轴、y轴,且A=90,则在直观图中A=()A.45B.135C.45或135D.90【解析】选C.在画直观图时,A的两边依然分别平行于x轴,y轴,而xOy=45或135,所以A=45或135.3.(教材二次开发:练习改编)水平放置的ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形ABC,则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选C.如图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故ABC是钝

6、角三角形.关键能力合作学习类型一水平放置的平面图形的直观图的画法(直观想象)【典例】用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图(其中O,E分别为线段AB,DC的中点).【思路导引】依据用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤直接画即可.【解析】(1)画对应的坐标系xOy,使xOy=45.(2)以O为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE=OE,以E为中点画CDx轴,并使CD=CD.(3)连接BC,DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图.画平面图形的直观图的关键点及对策(1)关键点:画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.(2)对策:

7、首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.用斜二测画法画出正五边形ABCDE的直观图.【解析】画法:(1)在图中作AGx轴于点G,作DHx轴于点H.(2)在图中画相应的x轴与y轴,两轴相交于点O,使xOy=45.(3)在图中的x轴上取OB=OB,OG=OG,OC=OC,OH=OH,在y轴上取OE=OE,分别过G和H作y轴的平行线,并在相应的平行线上取GA=GA,HD=HD.(4)连接AB,AE,ED,DC,并擦去辅助线GA,HD,x轴与y轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图).类型二立体图形直观

8、图的画法(数学抽象、直观想象)【典例】用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.【思路导引】先作正六棱柱的下底面,再依据正六棱柱的高等于侧棱长,画出侧棱,最后连线成图.【解析】(1)画轴:画x轴,y轴,z轴,使xOy=45(或135),xOz=90.(2)画底面:在平面xOy内,画出正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱:过A,B,C,D,E,F分别作z轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA,BB,CC,DD,EE,FF都等于侧棱长.(4)成图:顺次连线A,B,C,D,E,F,并加以整理(去掉辅助线将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图,如图所示.简单几何

9、体直观图的画法(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2 cm,3 cm,高为2 cm.【解析】画法:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使xOy=45,xOz=90. (2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5 cm.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,

10、B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.(3)画上底面.在z轴上取一点O,使OO=2 cm,以O为原点画直线a和直线b,使直线ax轴,直线by轴,在平面aOb内以O为中心画水平放置的边长为2 cm的正方形的直观图ABCD. (4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图). 类型三直观图的还原与计算问题(数学抽象、数学运算)角度1直观图的还原问题【典例】利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图),则原图形的形状是()【思路导引】先考虑坐标轴之间的关系,再考虑长度之间的关系.【解析】选A.因为直观图中正

11、方形的对角线为,所以在平面图形中平行四边形的高为2,只有A项满足条件.如图为水平放置的ABO的直观图,由图判断原三角形中AB,BO,BD,OD由小到大的顺序为.【解析】作出原图形,由平面图形可明显看出,ODBDABBO.答案:ODBDABBO角度2与直观图有关的计算问题【典例】1.如图,已知ABC表示水平放置的ABC在斜二测画法下的直观图,AB在x轴上,BC与x轴垂直,且BC=3,则ABC的边AB上的高为()A.3B.6C.3D.62.如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图,其中OA=6,CD=2,则原图形面积是.【思路导引】1.过点C作CMy轴,交x轴于点M,则C

12、M就是ABC的边AB上的高CM的直观图.计算出CM后可得CM.2.先将直观图还原为原图形,再计算面积.【解析】1.选D.如图,过点C作CMy轴,交x轴于点M,则CM就是ABC的边AB上的高CM的直观图.在CMB中,CM=3,所以CM=2CM=6.2.把矩形OABC的直观图还原为原平面图形,如图所示.由OA=6,CD=2,得出OD=2,所以OA=6,OD=4,所以原图形OABC的面积是S平行四边形=64=24.答案:241.直观图的还原问题的关键直观图的还原问题的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形,其依据就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x轴的线段的长度不变,而平行

13、于y轴的线段长度变为原来的2倍.2.求直观图的面积的关键求直观图的面积的关键是依据斜二测画法,求出相应的直观图的底边和高.在原来实际图形中的高线,在直观图中变为与水平直线成45角且长度为原来的一半的线段,以此为依据求出直观图中的高线即可.1.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为()A.B.C.D.【解析】选C.如图所示,作出等腰梯形ABCD的直观图,因为OE=1,所以OE=,EF=,则直观图ABCD的面积S=.2.有一块四边形的菜地,它水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示,ABC=45

14、,ADBC,AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为.【解析】在直观图中,因为ABC=45,AB=AD=1,DCBC,所以AD=1,BC=1+,所以原来的平面图形上底长为1,下底长为1+,高为2,所以平面图形的面积为2=2+.答案:2+3.如图,AOB表示水平放置的AOB的直观图,B在x轴上,AO和x轴垂直,且AO=2,则AOB的边OB上的高为.【解析】由直观图与原图形中与x轴平行或重合的线段长度不变,且S原=2S直观,设OB上的高为h,则OBh=22OB.因为OB=OB,所以h=4.答案:4课堂检测素养达标1.下列关于“斜二测画法”的叙述,错误的是()A.原图形中平行于x轴的线段,其对应

15、线段平行于x轴,长度不变B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y轴,长度变为原来的C.原图形中平行于z轴的线段,其对应线段平行于z轴,长度不变D.在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy必须是45【解析】选D.在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy可以是45,也可以是135.2.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB.4 cm,

16、0.5 cm,2 cm,0.8 cmC.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD.2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm【解析】选C.由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合斜二测画法,可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.3.如图,ABC的斜二测直观图为等腰RtABC,其中AB=2,则ABC的面积为()A.2B.4C.2D.4【解析】选D.因为等腰RtABC是一平面图形的直观图,直角边长为AB=2,所以直观图的面积是22=2,因为平面图形与直观图的面积的比为2,所以原平面图形的面积

17、是22=4.4.如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CDAB,CD=AO=1,AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试画出梯形ABCD水平放置的直观图,并求直观图的面积.【解析】在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变.如图所示.在直观图中,OD=OD,梯形的高DE=,于是,梯形ABCD的面积S=(1+2)=.八空间几何体与斜二测画法(15分钟30分)1.下列命题中正确的个数是()水平放置的角的直观图一定是角;相等的角在直观图中仍然相等;相等的线段在直观图中仍然相等;若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行.A.

18、1B.2C.3D.4【解析】选B.水平放置的平面图形不会改变形状,正确;利用斜二测画法画直观图,xOy=45或135,所以直角可以变为45或者135,错;因为平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度变为原来的一半,所以错;平行性不会改变,所以正确.2.长方形的直观图可能为如图中的哪一个()A.B.C.D.【解析】选C.由斜二测画法知,长方形的直观图应为平行四边形,且锐角为45,故正确.3.如图所示,ABC是水平放置的ABC的直观图,则在ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC【解析】选D.还原直观图后知,原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC,AD是直角

19、边BC的中线,所以AC最长.4.水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,已知AC=3,BC=2,则AB边上的中线的实际长度为.【解析】直角三角形两直角边分别为3和4,斜边为5,故中线长为.答案:5.如图所示,在平面直角坐标系中,各点坐标为O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5).试画出四边形ABCD的直观图.【解析】画法:(1)画轴.如图1,建立坐标系xOy,其中xOy=45.(2)描点.在原图中作AEx轴于点E,垂足为E(1,0),在x轴上截取OE=OE,作AEy轴,截取AE=AE=1.5.同理确定点B,C,D,其中BG=0.5,CH=3,DF=2.5.(3)连线

20、.连接AB,BC,CD,DA.(4)成图.擦去多余的辅助线,如图2,四边形ABCD即为四边形ABCD的直观图.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图,ABC水平放置的直观图为ABC,AB,BC分别与y轴、x轴平行,D是BC边中点,则关于ABC中的三条线段AB,AD,AC说法正确的是()A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AC,最短的是AD【解析】选B.由直观图可知ABy轴,根据斜二测画法规则,在原图形中应有ABBC,又AD为BC边上的中线,所以ABC为直角三角形,AD为BC边上的中线,AC为斜边,所以AC最

21、长,AB最短.2.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形OABC,且OA=2,OC=1,AB平行于y轴,则这个平面图形的面积为()A.5B.5C.D.【解析】选B.根据斜二测画法的规则可知:水平放置的图形OABC为直角梯形,由题意可知上底为OA=2,高为AB=2,下底为BC=2+1=3,所以该图形的面积为S=(3+2)2=5.3.如图建立坐标系,得到的边长为1的正ABC的直观图不是全等三角形的一组是()【解析】选C.C中的第二个图的直观图与第一个图的直观图不同.4.已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中BO=CO=1,AO=,那么原ABC中ABC的大小是(

22、)A.30B.45C.60D.90【解析】选C.根据斜二测画法可知ABC中,BC=2,AO=,AOBC,所以AB=AC=2,故ABC是等边三角形,则ABC=60.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.利用斜二测画法得到:水平放置的三角形的直观图是三角形;水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形;水平放置的正方形的直观图是正方形;水平放置的菱形的直观图是菱形;以上结论正确的是()A.B.C.D.【解析】选AB.水平放置的n边形的直观图还是n边形,故正确;因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法,所以正确;因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半,

23、所以错误.6.如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个选项中,可能是ABC的直观图的是()【解析】选CD.当xOy=135时,其直观图是C;当xOy=45时,其直观图是D.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图为一个水平放置的矩形ABCO,在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(4,2),则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中,顶点B到x轴的距离为.【解析】直观图如图,则OA=BC=1,BCx=45,故B到x轴的距离为.答案:8.已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为cm.【解析】在直观图

24、中与z轴平行的线段的长度不变,所以这两个顶点之间的距离为2+3=5(cm).答案:5四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在水平放置的平面内有一边长为1的正方形ABCD,其中对角线AC是水平方向.已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的实际图形,并求出其面积.【解析】四边形ABCD的实际图形如图所示,因为AC在水平位置,ABCD是正方形,所以DAC=ACB=45,所以在原四边形ABCD中,ADAC,ACBC,AD=2AD=2,AC=AC=,所以S四边形ABCD=ACAD=2.10.如图,画出水平放置的四边形OBCD的直观图.【解析】(1)过点C作CEx轴,垂足

25、为点E,如图,画出对应的x轴、y轴,使xOy=45,如图.(2)如图,在x轴上取点B,E,使得OB=OB,OE=OE;在y轴上取一点D,使得OD=OD;过点E作ECy轴,使EC=EC.(3)连接BC,CD,并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线,如图,四边形OBCD就是所求作的直观图.如图所示有12个小正方形,每个正方形6个面上分别写着数字1,9,9,8,4,5,用这12个小正方体拼成一个长方体,那么图中看不见的那些小正方体的面有几个?把这些面上的数字相加有多少?【解析】先求看得见的面,再求看不见的面有多少个.同样,先求12个小正方形各个面上的数字和,再减去看得见的数字和.这12个小正方体,共有面数612=72(个),图中看得见的面共有3+44=19(个),故图中看不见的面有72-19=53(个),12个小正方体各个面的数字和为(1+9+9+8+4+5)12=432,而图中看得见的数字和为131,所以看不见的那些小正方体的面上的数字和为432-131=301.【补偿训练】如图为一几何体的展开图:沿图中虚线将它们折叠起来,请画出其直观图.【解析】由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.关闭Word文档返回原板块- 23 - 版权所有高考资源网