新教材2020-2021学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时素养评价 3-2-1 双曲线及其标准方程 WORD版含解析.doc

1、二十三双曲线及其标准方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知双曲线-=1(a0)的一个焦点为(5,0),则a的值为()A.9B.6C.5D.3【解析】选D.根据题意,双曲线-=1(a0)的一个焦点为(5,0),即c=5,则有a2+16=25,解得a=3.2.若kR,则“k5”是“方程-=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当k5时,方程表示双曲线;反之,当方程表示双曲线时,k5或k0,b0),则a2+b2=5.因为线段PF1的中点的坐标为(0,2),所以点P的坐标为(,4),将其代入双曲线的方程,得-

2、=1.由解得a2=1,b2=4,所以双曲线的方程为x2-=1.4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2等于()A.B.C.D.【解析】选C.由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2c=2=4.所以cosF1PF2=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.在平面直角坐标系中,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为.【解析】将方程化为-=1,若表示焦点在x轴上的双曲线,则有k-10且3-k0,即1k0,b0).依题意知b2=25

3、-a2,故所求双曲线方程可写为-=1.因为点P在所求双曲线上,所以-=1化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.当a2=时,b2=25-a2=25-=-0,不合题意,舍去,所以a2=1,b2=24,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.8.设声速为a米/秒,在相距10a米的A、B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差为6秒,求炮弹爆炸点所在曲线的方程.【解析】以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x,y),由题意可得|PA|-|PB|=6a0,n0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为()A.2B.4C.6D.9【解

4、析】选D.椭圆+=1是焦点在x轴上的椭圆,且c2=5-4=1.因为双曲线-=1(m0,n0)和椭圆+=1有相同的焦点,所以m+n=1(m0,n0),所以+=(m+n)=5+5+2=9.当且仅当=,即m=,n=时取等号.所以+的最小值为9.2.(5分)已知双曲线C:x2-=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2),则PFM的周长的最小值为()A.2+4B.4+2C.3D.2+3【解析】选A.依题意可知,c=2,a=1,所以|MF|=2,|PM|+|PF|=|PM|+|PF1|+2a,F1为左焦点,当M,P,F1三点共线时,|PM|+|PF1|最小,最小值为|MF1|,|MF1|=2

5、,故周长的最小值为2+2+2=2+4.3.(5分)已知F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,PQ是过焦点F1的弦,且PQ的倾斜角为60,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值为.【解析】在双曲线-=1中,2a=8,由双曲线定义,得|PF2|-|PF1|=8,|QF2|-|QF1|=8,所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=(|PF2|-|PF1|)+(|QF2|-|QF1|)=16.答案:164.(5分)若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为.【解析】由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得-=1,即有m0,且m-20,解得m2.

6、答案:(2,+)5.(10分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点M在双曲线上,且=0,求点M到x轴的距离.(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.【解析】(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,因为=0,则MF1MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,又m2+n2=(2c)2=80,由得mn=8,所以mn=4=|F1F2|h,所以h=.所以M点到x轴的距离为.(2)设所求双曲线C的方程为-=1(-41)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=

7、2,则PF1F2的面积为()A.1B.C.2D.4【解析】选A.设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2,已知|PF1|+|PF2|=2,解得|PF1|=+,|PF2|=-,|PF1|PF2|=2.又|F1F2|=2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1F2为直角三角形,且F1PF2=90,于是=|PF1|PF2|=2=1.【加练固】 已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其左、右焦点,点P为双曲线上一点,若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.【解析】设P在双曲线的右支上,|PF2|=x(x0),|PF1|=2+x,因为PF1PF2,所以(x+2)2

8、+x2=(2c)2=8,所以x=-1,x+2=+1,所以|PF2|+|PF1|=-1+1=2.答案:22.已知OFQ的面积为2,且=m,其中O为坐标原点.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|=c,m=c2,当|取得最小值时,求此双曲线的标准方程.【解析】设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),所以SOFQ=|y1|=2,则y1=.又=m,即(c,0)(x1-c,y1)=c2,解得x1=c,所以|=2,当且仅当c=4时,取等号,|最小,这时Q的坐标为(,)或(,-).因为所以于是所求双曲线的标准方程为-=1.关闭Word文档返回原板块