2022届高考人教数学（理）一轮学案：9-3 随机事件的概率 WORD版含答案.doc

1、第三节随机事件的概率1事件的相关概念(1)必然事件：在一定条件下，一定发生的事件；(2)不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件；(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件2频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率3事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A发生B发生事件B包含事件A(事件A包含于

2、事件B)BA(或AB)相等关系若BA且AB事件A与事件B相等AB并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件AB为不可能事件事件A与事件B互斥AB对立事件AB为不可能事件，AB为必然事件事件A与事件B互为对立事件AB，P(AB)14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1(2)必然事件的概率为1(3)不可能事件的概率为0(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件，P(AB

3、)1，P(A)1P(B).1辨析两组概念(1)频率与概率：频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变；概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率(2)互斥事件与对立事件：两个事件是互斥事件，它们未必是对立事件；两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件2概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).1(基础知识：互斥事件的概念)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶

4、D两次都不中靶答案：D2(基本应用：概率的应用)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石 B169石C338石 D1 365石答案：B3(基本能力：必然事件及概率)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为_答案：14(基本方法：对应事件的概率)甲、乙二人下棋，甲不输的概率为0.8，则乙获胜的概率为_答案：0.25(基本能力：互斥事件的概率)一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率

5、P(AB)_(结果用最简分数表示)答案：题型一随机事件的关系1(2021山东临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()AA与B是互斥而非对立事件BA与B是对立事件CB与C是互斥而非对立事件DB与C是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的含义作答，AB出现点数1或3，事件A，B不互斥也不对立；BC，BC，故事件B，C是对立事件答案：D2从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：至少有1个白球与至少有

6、1个黄球；至少有1个黄球与都是黄球；恰有1个白球与恰有1个黄球其中互斥而不对立的事件共有()A0组 B1组C2组 D3组解析：对于，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好有一个白球和一个黄球，故中的两个事件不互斥对于，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球，故不是互斥事件答案：A3口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C“

7、取出的两个球中至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出的两个球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为_A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C).解析：当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，不正确；显然A与D是对立事件，正确；CE为必然事件，P(CE)1，正确；P(B)，P(C)，不正确答案：方法总结 1准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生2判

8、别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 题型二随机事件的概率与频率 典例剖析典例(2020山西太原模拟)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg的包裹收费10元；质量超过1 kg的包裹，除1 kg收费10元之外，超过1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元该公司对近60天每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630

9、126(1)某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求此人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？解析：(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：情况第一个包裹第二个包裹需支付的总快递费(元)礼物质量(kg)快递费(元)礼物质量(kg)快递费(元)1A0.310B，C3.325352B1.815A，C1.815303C1.

10、515A，B2.12035所有3种情况中，有1种情况快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为.(2)由题目中的天数得出频率，如下：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630126频率0.10.10.50.20.1若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数(近似处理)50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.1平均揽件数500.11500.12500.53500.24500.1260故公司平均每日利润为2605

11、31001 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数(近似处理)50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.1平均揽件数500.11500.12500.53000.23000.1235故公司平均每日利润为23552100975(元).综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利方法总结1计算简单随机事件的频率或概率的解题思路：(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数(2)由频率与概率的关系得所求2求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键：求解该类问题的关键是由所给频率

12、分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求对点训练1从存放的号码分别为1，2，3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A0.53B0.5C0.47D0.37解析：取到号码为奇数的卡片的次数为1356181153，则所求的频率为0.53.答案：A2容量为20的样本数据，分组后的频数分布如下表：分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70频数234542则样本数据落在区

13、间10，40)的频率为()A0.35 B0.45C0.55 D0.65解析：数据落在10，40)的频率为0.45.答案：B题型三互斥事件、对立事件的概率 典例剖析典例(1)(2020山西太原模拟)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为_解析：“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1.设“甲不输”为事件A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A).答案：，(2)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿

14、球的概率各是多少？解析：法一：从袋中任取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1，解得P(B)，P(C)，P(D)，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.法二：设红球有n个，则，n4，即红球有4个又得到黑球或黄球的概率是，黑球和黄球共5个又总球数是12，绿球有12453(个).又得到黄球或绿球的概率也是，黄球和绿球共5个，而绿球有3个，黄球有532(个)，黑球有124323(个).因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.方法总结求互

15、斥事件概率的方法方法解读适合题型直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算根据互斥事件定义分析，正面分类较少的间接法利用古典概型、互斥事件或相互独立事件的概率计算公式计算此事件的对立事件的概率，运用公式P(A)1P()求解题设条件含有“至多”“至少”的题目对点训练某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的

16、概率解析：(1)P(A)，P(B)，P(C).(2)因为事件A，B，C两两互斥，所以P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.(3)P()1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.1(2018高考全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7解析：由题意可知不用现金支付的概率为10.450.150.4.答案：B2(2020高考全国卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级加工业务约定：对于A级品、B级

17、品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解析：(1)由试加工

18、产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525575频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为15(元).由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润7030070频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为10(元).比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务1若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，则实数a的取值范围是()ABC D解析：由题意可得即解得a.答案：D2若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)，P(B)，则xy的最小值为_解析：由题意，x0，y0，1.则xy(xy)5529，当且仅当x2y时等号成立，故xy的最小值为9.答案：9