新教材2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册同步练习：6-4-3-4 余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养评价十四余弦定理、正弦定理应用举例高度、角度问题 (15分钟30分)1.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物的高度为 ()A.20 m B.30 mC.40 m D.60 m【解析】选C.如图,设O为顶端在地面上的射影,在RtBOD中,ODB=30,B=20,BD=40,OD=20,在RtAOD中,OA=ODtan 60=60,所以AB=O

2、A-OB=40(m).2.当太阳光与水平面的倾斜角为60时,一根长为2 m的竹竿如图所示放置,要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角是 ()A.150B.30C.45D.60【解析】选B.设竹竿与地面所成的角为,影子长为x m.由正弦定理,得=,所以x=sin(120-).因为30120-120,所以当120-=90,即=30时,x有最大值.即竹竿与地面所成的角是30时,影子最长.3.为了测量某塔的高度,某人在一条水平公路C,D两点处进行测量.在C点测得塔底B在南偏西80,塔顶A仰角为45,此人沿着南偏东40方向前进10米到D点,测得塔顶的仰角为30,则塔的高度为 ()A.5米B.10米C.1

3、5米D.20米【解析】选B.如图,由题意得,AB平面BCD,所以ABBC,ABBD.设塔高AB=x米,在RtABC中,ACB=45,所以BC=AB=x米,在RtABD中,ADB=30,所以BD=x米,在BCD中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CBCDcos 120,所以(x)2=x2+100+10x,解得x=10或x=-5(舍去).4.如图所示,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过1 min后又看到山顶的俯角为75,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km,参考数据:1.732) ()A.11.4

4、kmB.6.6 kmC.6.5 kmD.5.6 km【解析】选B.因为AB=1 000=,C=75-30=45,所以BC=sin 30=.所以航线离山顶h=sin 75=sin(45+30)11.4.所以山高为18-11.4=6.6(km).5.如图,某人在地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30,过一分钟后飞机飞到B处再测得仰角为45,如果该飞机以每小时450 km的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为km.【解析】过C作CDAB于D,DCA=60,DCB=45,设飞机的高度为h km,则BD=h km,AD=h km.又AB=450=7.5(km),由AD-BD=AB,得h-h=7

5、.5.所以h=(km).答案:6.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇(如图所示).若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,ABC=120.根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120,解得x=2.故AC=28,BC=20.根据正弦定理得=,解得sin

6、=.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图所示,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于 ()A.30B.45C.60D.75【解析】选B.依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在ACD中,由余弦定理的推论得,cos CAD=,又0CAD180,所以CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.2.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30,45,60,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为 ()A.15 mB.20 mC.

7、25 mD.30 m【解析】选D.设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=h,PC=h,所以在PBA和PBC中,分别由余弦定理的推论,得cos PBA=,cos PBC=.因为PBA+PBC=180,所以cos PBA+cos PBC=0.由,解得h=30或h=-30(舍去),即建筑物的高度为30 m.3.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡度为,则cos 等于 ()A.B.C.-1D.-1【解析】选C.在ABC中,由正弦定理得=,所以AC=10

8、0.在ADC中,=,所以cos =sin(+90)=-1.【误区警示】解题时注意分清不同的三角形,求值时在不同的三角形中求解.4.在某个位置测得某山峰仰角为,对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2,继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4,则该山峰的高度为 ()A.200 m B.300 mC.400 mD.100 m【解析】选B.由题意得如图,则BED,BDC均为等腰三角形,BD=ED=600 m,BC=DC=200 m.方法一:在BCD中,由余弦定理的推论可得cos 2=,又因为02180,所以2=30,4=60.在RtABC中,AB=BCsin 4=200=300(m).方

9、法二:由于BCD是等腰三角形,BD=DCcos 2,即300=200cos 2,所以cos 2=,又02180,所以2=30,4=60.在RtABC中,AB=BCsin 4=200=300(m).二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30,测得湖中之影的俯角为45,则云距湖面的高度为m(答案保留根号).【解析】在ACE中,tan 30=.所以AE=(m).在AED中,tan 45=,所以AE=(m),所以=,所以CM=10(2+)(m).答案:10(2+)【补偿训练】如图,为测量山高MN,选择A点和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点

10、的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75.从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.【解析】可得AC=100.在MAC中CMA=180-75-60=45.由正弦定理得=AM=100.在AMN中,=sin 60,所以MN=100=150(m).答案:1506.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30,风速是20 km/h;水的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东,大小为km/h.【解析】由题意得如图,AOB=60,由余弦定理知OC2=2

11、02+202-800cos 120=1 200,故OC=20(负值舍去),COY=30+30=60.答案:6020三、解答题(每小题10分,共20分)7.某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30,求塔高.【解析】如图所示,AB为塔高,某人从C处沿CD方向前进,过B作BECD于E,连接AE,则AEB=30.在BDC中,CD=40,BCD=90-60=30,DBC=180-45=135.由正弦定理,得=,所以BD=20(米).BDE=180-135-30=15,所以BE=BDsin 15=20=10(-1)(米).在RtABE中,AEB=30

12、,所以AB=BEtan 30=(3-)(米).故所求的塔高为(3-)米.8.如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.【解析】连接BD,如图,则四边形ABCD的面积为S=SABD+SCDB=ABADsin A+BCCDsin C.因为A+C=180,所以sin A=sin C,所以S=(ABAD+BCCD)sin A=(8+24)sin A=16sin A.在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=22+42-224cos A=20-16cos A.在CDB中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB

13、CDcos C=52-48cos C.所以20-16cos A=52-48cos C.因为cos C=-cos A,所以64cos A=-32,所以cos A=-,又0A180,所以A=120,所以S=16sin 120=8. 在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡角为15的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为10 m,则旗杆的高度为m.【解析】如图,设旗杆高为h m,最后一排为点A,第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC=h.在ABC中,AB=10,CAB=45,ABC=105,所以ACB=30,由正弦定理,得=,故h=30.答案:30【补偿训练】如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于 () A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m【解析】选C.因为tan 15=tan(60-45)=2-,所以BC=60tan 60-60tan 15=120(-1)(m).关闭Word文档返回原板块- 13 - 版权所有高考资源网