新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：8-2　立体图形的直观图 WORD版含解析.doc

1、82立体图形的直观图目标 1.掌握斜二测画法的步骤；2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图重点 用斜二测画法画简单的平面图形与几何体的直观图难点 用斜二测画法画简单的平面图形与几何体的直观图 要点整合夯基础 1画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面2画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段3取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半答一答1斜二测画

2、法中“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45或135；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半2相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？提示：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等知识点二空间几何体直观图的画法填一填1画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴2画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面3取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都

3、不变4成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线答一答3画直观图时，如何区别实线和虚线？提示：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线看得见的部分要画成实线4空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同. 典例讲练破题型 类型一水平放置的平面图形直观图的画法例1如图所示，梯形ABCD中，ABCD，AB4 cm，CD2 cm，DAB30，AD3 cm，试画出它的直观图分析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系只需确定四个顶点A，B，C，D在直观图中的相应点即可解画法

4、步骤：(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x轴，y轴，使xOy45.(2)在图甲中，过D点作DEx轴，垂足为E.在x轴上取ABAB4 cm，AEAE2.598(cm)；过点E作EDy轴，使EDED0.75(cm)，再过点D作DCx轴，且使DCDC2 cm.(3)连接AD，BC，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形ABCD就是所求作的直观图在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点

5、；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E的对应点E，再去确定D的位置.变式训练1画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45，如图所示(2)在x轴上截取OBOC0.5 cm，在y轴上截取OAAO cm，连接AB、AC，则ABC即为正三角形ABC的直观图(3)擦去x、y轴得直观图ABC，如图所示类型二画空间几何体的直观图例2用斜二测画法画长、宽、高分别是4 c

6、m、3 cm、2 cm的长方体ABCDABCD的直观图分析利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图解(1)画轴如图所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底面以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ cm，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA、BB、CC、DD.(4)成图顺次连接A、B、C、D，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚

7、线)，就得到长方体的直观图(如图)(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出变式训练2一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图解：(1)画轴，如图1所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且

8、OAOB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A、B两点，使它为圆柱的下底面在Oz上截取点O，使OO4 cm，过O作Ox，Oy的平行线Ox，Oy，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面(3)画圆锥的顶点在Oz上截取点P，使PO等于圆锥的高3 cm.(4)成图连接AA、BB、PA、PB，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图如图2所示类型三 由直观图还原成原图例3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.求原四边形ABCD的面积分析利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系解如图，建立平面直角坐标系

9、xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S25.由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.变式训练3如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是(C)A正方

10、形B矩形C菱形D梯形解析：将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知ODOC2 cm，OD2OD4 cm，CDOC2 cm，CD2 cm，OC6 cm，又OAOA6 cm，OAOC，原图形为菱形. 课堂达标练经典 1利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(C)解析：选项A是平面图，选项B中角度有误，选项D中的边长有误2一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为(C)A

11、4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC4 cm,0.5 cm, 2 cm,1.6 cmD2 cm,0.5 cm,1 cm, 0.8 cm解析：由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm, 0.5 cm,2 cm,1.6 cm.3.水平放置的ABC的直观图如图所示，已知AC3，BC2，则AB边上的中线的实际长度为2.5.解析：由于在直观图中ACB45，则在原图形中ACB90，AC3，BC4，AB5，AB边上的中线为2.5.4如图所示，ABC

12、是水平放置的ABC用斜二测画法得到的直观图，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是AC.解析：画出原图形如图所示，ABC为直角三角形，显然，AC边最长5如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CDAB，CDAO1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积解：在梯形ABCD中，AB2，高OD1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，ODOD，梯形的高DE，于是梯形ABCD的面积为(12).本课须掌握的两大问题1画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或

13、在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来2要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中建立平面直角坐标系，尽量利用原有线段或图形的对称轴画坐标轴，图形的对称中心作为坐标原点，让尽可能多的顶点在坐标轴上学科素养培优精品微课堂关于直观图面积的一个结论开讲啦 若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为SS.由于其他多边形均可以划分为若干个三角形，故上述结论对其他多边形也成立典例证明：已知某三角形的面积为S，则其直观图的面积为SS.分析利用三角形的底边和高的关系，找出两个面积的关系证明如图(1)，在ABC中，ADBC，其面积SADBC，在其直观图(如图(2)中，作AMBC，则直观图的面积为SBCAMBCADsin45BCADS.对应训练有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为5 cm2.解析：由于该矩形的面积为S5420(cm2)，所以由典例中的公式可得，其直观图的面积为SS5(cm2)