河北省邯郸市2022届高三数学上学期期末考试试题（Word版附解析）.doc

1、河北省邯郸市2021-2022学年第一学期期末质量检测高三数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合U3，2，1，0，1，2，3，A1，2，3，B3，1，1，则AUB（）A2，3B3，1C2，0，2，3D2，0，1，2，32（5分）已知复数（其中i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（）ABCD3（5分）已知alog23，b20.4，c0.52.1，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcbaDcab4（5分）已知圆柱的底面半径为2，母线长为6，过底面圆周上一点作与圆柱底面成45角的平面，截这个圆柱得到一个

2、椭圆，则该椭圆的长轴长是（）ABCD5（5分）函数的部分图像为（）ABCD6（5分）已知直线l：ax+byab0（a0，b0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆O：x2+y21相切，则AOB的面积的最小值为（）A1B2C3D47（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线右支上两点，且，设AF1B的内切圆圆心为I1，AF1F2的内切圆圆心为I2，直线I1I2与线段F1F2交于点P，且，则双曲线C的离心率为（）ABCD8（5分）已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）A2，1，0，1B2，1，0C1，0，1D2，1二、选择题：

3、本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9（5分）2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：70，75），75，80），80，85），85，90），90，95），95，100，得到如图所示的频率分布直方图下列说法正确的是（）Aa0.040B得分在95，100的人数为4人C200名党员员工测试分数的众数约为87.5D据此可以估计200名党员员工测试分数的中位

4、数为8510（5分）已知函数，则下列说法正确的是（）A函数f（x）最大值为1B函数f（x）在区间上单调递增C函数f（x）的图像关于直线对称D函数g（x）sin2x的图像向右平移个单位可以得到函数f（x）的图像11（5分）已知A，B是抛物线C：y22px（p0）上两点，焦点为F，抛物线上存在一点M（3，t）到准线的距离为4，则下列说法正确的是（）Ap2B若OAOB，则直线AB恒过定点（4，0）C若AOF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为D若，则直线AB的斜率为12（5分）Lookandsay数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为

5、3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，若Lookandsay数列an第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列bn，则下列说法正确的是（）A数列an的第四项为111221B数列an中每项个位上的数字不都是1C数列bn是等差数列D数列bn前10项的和为160三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知平面向量，若与垂直，则 14（5分）2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三

6、个城市运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为 15（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成60角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于13，则球O的体积为 16（5分）已知当x（0，）时，不等式的解集为A，若函数f（x）sin（x+）（0）在xA上只有一个极值点，则的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求b的值；（2）若，求ABC面积的最大值18（12分）如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD中，四边形ABCD是正方形，点E在

7、棱SD上，DE2SE（1）证明：CDAE；（2）若正方形ABCD的边长为1，二面角EACD的大小为45，求四棱锥SABCD的体积19（12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，且6Snanan+1+2，a11（1）求数列an的通项公式；（2）若数列cn满足，求数列cn的前n项和Tn20（12分）某真人闯关游戏，在某一情境中玩家需在A、B两个关卡中寻找线索，玩家先从A、B两个关卡中任选一关作为第一关，若找到线索则进入另一关卡，若未找到线索则闯关结束，且玩家先选A和先选B的概率相等若玩家在A闯关成功则获得2枚金币，否则获得0枚金币；在B关闯关成功则获得3枚金币，否则获得0枚金币已知某玩家在A关卡中

8、闯关成功的概率为0.8，在B关卡中闯关成功的概率为0.6，且每个关卡闯关成功的概率与选择初始关卡的次序无关（1）求该玩家获得3枚金币的概率；（2）为获得更多的金币，该玩家应选择从哪关开始第一关？并说明理由21（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M满足|MF1|+|MF2|4记点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）设直线l不经过P（0，1）点且与曲线C相交于A，B两点若直线l过定点（1，1），证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值22（12分）已知函数f（x）aex1x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）+x1lnxlna恒成立，求实数a的取值范围河北省邯郸市20

9、21-2022学年第一学期期末质量检测高三数学试卷答案与解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合U3，2，1，0，1，2，3，A1，2，3，B3，1，1，则AUB（）A2，3B3，1C2，0，2，3D2，0，1，2，3【分析】求出集合B的补集，再由交集运算求解即可【解答】解：集合U3，2，1，0，1，2，3，B3，1，1，则UB2，0，2，3，又A1，2，3，则AUB2，3故选：A2（5分）已知复数（其中i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（）ABCD【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数和复数虚部

10、的定义，即可求解【解答】解：，共轭复数的虚部为故选：B3（5分）已知alog23，b20.4，c0.52.1，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcbaDcab【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，以及指数函数的单调性，即可求解【解答】解：alog23log221，b20.40.50.4，y0.5x 在R上单调递减，b0.50.40.52.1c，0b1，0c1，abc故选：C4（5分）已知圆柱的底面半径为2，母线长为6，过底面圆周上一点作与圆柱底面成45角的平面，截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是（）ABCD【分析】如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1圆

11、柱的底面中心为O，则OAB45，可得a|O1A|，可求得结果【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1，圆柱的底面中心为O，则OAB45，可得a|O1A|2，b|CD|2，该椭圆的长轴长为：4故选：C5（5分）函数的部分图像为（）ABCD【分析】直接利用函数的性质函数的单调性，奇偶性和函数的值的应用判断A、B、C、D的结论【解答】解：根据函数，满足f（x）f（x）故函数f（x）为偶函数，故C错误；当x时，f（）f（）0，当x0时，f（0）1，故B错误；当x时，f（）1，故A错误；当x时，f（）0，故D正确故选：D6（5分）已知直线l：ax+byab0（a0，b0）与x轴

12、，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆O：x2+y21相切，则AOB的面积的最小值为（）A1B2C3D4【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解【解答】解：圆O：x2+y21，圆心坐标为（0，0），半径r1，直线l：ax+byab0（a0，b0）与圆O：x2+y21相切，圆心到直线l的距离为r，即，即ab，又，当且仅当ab时，等号成立，即（ab）22ab，ab（ab2）0，又a0，b0，解得ab2，AOB的面积，故AOB的面积的最小值为1故选：A7（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线右支上两点，且，设AF1B的内切圆圆心为I1，

13、AF1F2的内切圆圆心为I2，直线I1I2与线段F1F2交于点P，且，则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】由内心的性质及角平分线性质可求得3，由双曲线的定义可求得|AF1|3a，|AF2|a，从而可得|BF2|3a，|AB|4a，|BF1|5a，由勾股定理的逆定理可得F1AF2A，再利用勾股定理可得a，c的等量关系，即可求解离心率e【解答】解：如右图所示：由题意知I2为F1AF2的角平分线，由角平分线的性质得，因为，所以3，由双曲线的定义得|AF1|AF2|2a，因此|AF1|3a，|AF2|a，因为，所以|BF2|3a，|AB|4a，由双曲线的定义得|BF1|5a，由勾股定理逆定理可得F

14、1AF2A，由在RtF1AF2中，|AF1|2+|AF2|2|F1F2|2，即9a2+a24c2，所以e2，e故选：B8（5分）已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）A2，1，0，1B2，1，0C1，0，1D2，1【分析】作出g（x）2f（x）的函数图象，由不等式表示的几何意义，即曲线g（x）上只有一个点（x，g（x）（x为整数）和点（a，1）所在直线的斜率小于0，结合图象可得所求整数a的取值集合【解答】解：作出令g（x）2f（x），作出g（x）的函数图象如图所示：表示点（x，g（x）与点（a，1）所在直线的斜率，可得曲线g（x）上只有一个点（x，g（x

15、）（x为整数）和点（a，1）所在直线的斜率小于0，而点（a，1）在到直线y1上运动，由f（2）0，f（1）4，f（0）0，可得当2a1时，只有点（0，0）满足；当0a1时，只有点（1，4）满足又a为整数，可得a的取值集合为2，1，0，1故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9（5分）2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：70，75

16、），75，80），80，85），85，90），90，95），95，100，得到如图所示的频率分布直方图下列说法正确的是（）Aa0.040B得分在95，100的人数为4人C200名党员员工测试分数的众数约为87.5D据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85【分析】对于A，结合频率分布直方图的性质，即可求解，对于B，结合频率与频数的关系，即可求解，对于C，结合众数的定义，即可求解，对于D，结合中位数的公式，即可求解【解答】解：对于A，由频率分布直方图的性质可得，（0.02+0.025+0.03+0.035+a+0.05）51，解得a0.04，故A正确，对于B，得分在95，100的人数为0

17、.02520020，故B错误，对于C，200党员员工测试分数的众数约为，故C正确，对于D，（0.025+0.035+0.04）50.5，估计200名党员员工测试分数的中位数为85，故D正确故选：ACD10（5分）已知函数，则下列说法正确的是（）A函数f（x）最大值为1B函数f（x）在区间上单调递增C函数f（x）的图像关于直线对称D函数g（x）sin2x的图像向右平移个单位可以得到函数f（x）的图像【分析】由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，再利用正弦函数的图像和性质即可求解【解答】解：因为f（x）2cos2（x+）+sin（2x+）1，所以f（x）sin2x+cos2xcos2xs

18、in（2x），当2x+2k（kz）时，函数f（x）取的最大值1，故A正确；令t2x，当x，所以2x，又ysinx在区间（，）上不是单调函数，故B错误；当x时，2x0，函数f（x）的图像不关于直线x对称，故C错误；函数g（x）sin2x的图像向右平移个单位得到函数sin2（x）sin（2x），故D正确故选：AD11（5分）已知A，B是抛物线C：y22px（p0）上两点，焦点为F，抛物线上存在一点M（3，t）到准线的距离为4，则下列说法正确的是（）Ap2B若OAOB，则直线AB恒过定点（4，0）C若AOF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为D若，则直线AB的斜率为【分析】对于A，结合抛物线的定

19、义，即可求解，对于B，联立直线AB与抛物线方程，再结合韦达定理，以及斜率公式，即可求解，对于C，结合外接圆的性质，即可求解，对于D，根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及韦达定理，即可求解【解答】解：对于A，根据抛物线定义可知，3+，解得p2，故A正确，对于B，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB斜率必不为0，可设直线AB：xky+b，联立直线AB与抛物线方程，化简整理可得，y24ky4b0，由韦达定理可得，y1+y24k，y1y24b，OAOB，kOAkOB，解得b4，直线AB恒过定点（4，0），故B正确，对于C，AOF外接圆圆心横坐标为，AOF外接圆与抛物线C的准线相切，外接圆半

20、径为，故C正确，对于D，AB过焦点，且|AF|3|FB|，可设直线AB：xty+1，A（xA，yA），B（xB，yB），联立直线AB与抛物线，化简整理可得，y24ty40，由韦达定理可得，yA+yB4t，yAyB4，yA3yB，解得t，故直线AB的斜率为，故D错误故选：ABC12（5分）Lookandsay数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，若Lookandsay数列an第一项为11，依

21、次取每一项的最右端两个数组成新数列bn，则下列说法正确的是（）A数列an的第四项为111221B数列an中每项个位上的数字不都是1C数列bn是等差数列D数列bn前10项的和为160【分析】A项列举前四项可得答案；B项根据数列an中最后读的数字是1可得答案；C项列举前四项可得答案；D列举可得数列bn中数的规律，进而可求和【解答】解：a111，a221，a31211，a4111221，A正确；数列an中最后读的数字总是1，故数列an中每项个位上的数字都是1，B错误；数列bn：11，21，11，21，不是等差数列，C错误；通过列举发现数列bn的第一，三，五，七，九项都为11，第二，四，六，八，十项为

22、21，故前10项的和为115+215160，D正确故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知平面向量，若与垂直，则4【分析】求出与，利用垂直关系，求解即可【解答】解：平面向量，可得（1，2+），（2，1），与垂直，可得：22+2+0，解得4故答案为：414（5分）2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为 【分析】分别求出运送物资的送法，再根据古典概率的公式即可求解【解答】解：4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送

23、物资共有3481种送法，而每个城市都至少安排一辆救援车的送法共有63236种，所以每个城市都至少安排一辆救援车的概率为，故答案为：15（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成60角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于13，则球O的体积为 【分析】根据题意建立勾股关系求出球半径即可得出【解答】解：设圆C的半径为r，有r213，则，设球O的半径为R，如图所示，有|OB|R，|CB|r，在RtOCB中，|OB|2|OC|2+|CB|2，即，即R4，所以球O的体积为故答案为：16（5分）已知当x（0，）时，不等式的解集为A，若函数f（x）sin（x+）（0）在xA上只有一个极

24、值点，则的取值范围为 （0，）【分析】先解不等式确定集合A，再由正弦函数性质求解【解答】解：因为x（0，），所以sinx（0，1，所以0sinxx，所以A，又因为0，所以x+，x+k（，），k（，），所以k0，1，当k0时，因为x，所以x，（0，）（0，当k1时，因为x，所以x，（0，），），所以的取值范围为（0，），故答案为：（0，）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求b的值；（2）若，求ABC面积的最大值【分析】（1）结合诱导公式、正弦定理与两角和的正弦公式对已知条件进行

25、化简可得sinAbsinA，从而得解；（2）结合余弦定理和基本不等式，推出ac4，再由SacsinB，得解【解答】解：（1）因为，所以bcosCabccosB，即bcosC+ccosBab，由正弦定理知，sinBcosC+sinCcosBbsinA，因为sinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sin（A）sinA，所以sinAbsinA，又sinA0，所以1b，即b2（2）由余弦定理知，b2a2+c22accosB，所以4a2+c22aca2+c2ac2acacac，所以ac4，当且仅当ac2时，等号成立，所以ABC面积SacsinB4sin，故ABC面积的最大值为18（12分）如图

26、，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD中，四边形ABCD是正方形，点E在棱SD上，DE2SE（1）证明：CDAE；（2）若正方形ABCD的边长为1，二面角EACD的大小为45，求四棱锥SABCD的体积【分析】（1）证明CDAD，CDSA，即可证明CD平面SAD，得到CDAE（2）过点E作EMAD，垂足为点M，过点M作MNAC，垂足为点N，连接EN，说明ENM是二面角EACD的平面角，然后求解SA，即可求解四棱锥SABCD的体积【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，则CDAD，因为SA平面ABCD，CD平面ABCD，所以CDSA，又因为ADSAA，AD，SA平面SAD，所以CD平面S

27、AD，又因为AE平面SAD，所以CDAE（2）解：过点E作EMAD，垂足为点M，过点M作MNAC，垂足为点N，连接EN，由题意可知EMSA，因此EM平面ABCD，AC平面ABCD，所以EMAC，因为MNAC，EMMNM，EM，MN平面EMN，所以AC平面EMN，因为EN平面EMN，所以ACEN，又因为MNAC，EN平面EAC，MN平面ACD，平面EAC平面ACDAC，所以ENM是二面角EACD的平面角，所以ENM45，因为DE2SE，DEM与DSA相似，相似比为2：3，所以，所以，所以四棱锥SABCD的体积为19（12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，且6Snanan+1+2，a11（1）

28、求数列an的通项公式；（2）若数列cn满足，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）利用递推关系可得6anan（an+1an1），即an+1an16，再利用等差数列的定义及通项公式即可求出数列的通项公式；（2）由题意可知：，再利用错位相减法即可得出所求的答案【解答】解：（1）6Snanan+1+2，6S1a1a2+2，a24，当n2时，有6Sn1an1an+2，6Sn6Sn1anan+1an1an，6anan（an+1an1），an0，an+1an16，数列an的奇数项是以1为首项，6为公差的等差数列，a2k11+6（k1）3（2k1）2，偶数项是以4为首项，6为公差的等差数列，a2k4+6（k

29、1）32k2，an3n2，nN*（2），两式相减得：10+（53n）2n+1故20（12分）某真人闯关游戏，在某一情境中玩家需在A、B两个关卡中寻找线索，玩家先从A、B两个关卡中任选一关作为第一关，若找到线索则进入另一关卡，若未找到线索则闯关结束，且玩家先选A和先选B的概率相等若玩家在A闯关成功则获得2枚金币，否则获得0枚金币；在B关闯关成功则获得3枚金币，否则获得0枚金币已知某玩家在A关卡中闯关成功的概率为0.8，在B关卡中闯关成功的概率为0.6，且每个关卡闯关成功的概率与选择初始关卡的次序无关（1）求该玩家获得3枚金币的概率；（2）为获得更多的金币，该玩家应选择从哪关开始第一关？并说明理由

30、【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出该玩家获得3枚金币的概率（2）记X为从A关卡开始第一关获得的金币枚数，则X所有可能的取值为0，2，5，分别求出相应的概率，求出E（X）3.04；记Y为从B关卡开始第一关获得的金币枚数，则Y所有可能的取值为0，3，5，分别求出相应的概率，求出E（Y）2.76由E（X）E（Y），得到应从A关卡开始第一关【解答】解：（1）该玩家获得3枚金币的概率为：（2）记X为从A关卡开始第一关获得的金币枚数，则X所有可能的取值为0，2，5，P（X0）10.80.2，P（X2）0.8（10.6）0.32，P（X5）0.80.60.48，E（X）00.2+20.32+5

31、0.483.04记Y为从B关卡开始第一关获得的金币枚数，则Y所有可能的取值为0，3，5，P（X0）10.60.4，P（X3）0.6（10.8）0.12，P（Y5）0.80.60.48，E（Y）00.4+30.12+50.482.76E（X）E（Y），应从A关卡开始第一关21（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M满足|MF1|+|MF2|4记点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）设直线l不经过P（0，1）点且与曲线C相交于A，B两点若直线l过定点（1，1），证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值【分析】（1）判断点M的轨迹为椭圆，设椭圆方程为，求解a，b，推出结果（2）设直线

32、PA与直线PB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l斜率不存在时，l：x1，验证k1+k22，当直线l斜率存在时，设直线l方程为y+1k（x1）（k0），将直线l的方程代入椭圆方程中，利用韦达定理，转化求解k1+k2，推出结果即可【解答】（1）解：由椭圆定义可知，点M的轨迹为椭圆，设椭圆方程为，根据题意得，a2，所以曲线C的方程为（2）证明：设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l斜率不存在时，l：x1，代入椭圆方程中，化简可得，不妨令，则k1+k22，当直线l斜率存在时，设直线l方程为y+1k（x1）（k0），将直

33、线l的方程代入椭圆方程中，化简得（1+4k2）x28k（k+1）x+4k2+8k0，由0，得或k0，因为或k0且k2，所以k1+k22k2（k+1）2，综上，直线PA与直线PB的斜率之和为定值222（12分）已知函数f（x）aex1x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）+x1lnxlna恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）求出导函数，通过a0，a0时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可（2）原不等式等价于elna+x1+lna+x1elnx+lnx，构造函数g（x）ex+x，利用g（x）为单调增函数，推出lnalnxx+1，令h（x）lnxx+1，通过函数的导数推出h（x

34、）maxh（1）0，然后转化求解a的范围【解答】解：（1）f（x）aex11，当a0时，f（x）0；当a0时，当x1lna时，f（x）0，当x1lna时，f（x）0，综上，当a0时，函数f（x）在R上单调递减；当a0时，函数f（x）在（1lna，+）上单调递增，在（，1lna）上单调递减（2）原不等式为aex11lnxlna，等价于elna+x1+lna+x1lnx+xelnx+lnx，令g（x）ex+x，上述不等式等价于g（lna+x1）g（lnx），显然g（x）为单调增函数，又等价于lna+x1lnx，即lnalnxx+1，令h（x）lnxx+1，则，在（0，1）上，h（x）0，h（x）单调递增；在（1，+）上，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）maxh（1）0，lna0，即a1，实数a的取值范围是1，+）