新教材2021-2022学年人教B版数学必修第一册学案：2-2-1　不等式及其性质 WORD版含答案.doc

1、22不等式22.1不等式及其性质新课程标准解读核心素养理解不等式的概念，掌握不等式的性质数学抽象、逻辑推理清丽、优美的芭蕾舞剧睡美人序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.570.6之间设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用问题不等式还有哪些重要的性质呢？知识点一比较实数a，b的大小1ab0ab1

2、在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？提示：是2pq的含义是什么？提示：pq的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推(等价)当m1时，m3与m2m1的大小关系为_解析：m3(m2m1)m3m2m1m2(m1)(m1)(m1)(m21)又m1，故(m1)(m21)0.m3m2m1.答案：m3m2m1知识点二不等式的性质性质1：如果ab，那么acbc.性质2：如果ab，c0，那么acbc.性质3：如果ab，cb，bc，那么ac.(传递性)性质5：abbc，那么acb.(不等式的移项法则)推论2：如果ab，cd，那么acbd.(同向可加性)推论3：如果ab0，cd0

3、，那么acbd.推论4：如果ab0，那么anbn(nN，n1)推论5：如果ab0，那么.1若ab，cd，那么acbd成立吗？acbd呢？提示：acbd成立，acbd不一定成立，但adbc成立2若ab，cd，那么acbd成立吗？提示：不一定，但当ab0，cd0时，一定成立1下列命题正确的是()Aab，c0ac2bc2Babb且cbdDaba2b2答案：A2设a，b，cR，且ab，则下列不等关系正确的是_(填序号)a1b3；acbc；a2b2; ab0.答案：3已知ab0，bbba利用不等式性质判断命题的真假例1对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )A若ab，则ac2bc2B若ab0，则C

4、若ab0，则D若ab，则a0，b0解析c20，c0时，有ac2bc2，故A为假命题；由ab0，有ab0，故B为假命题；由ab0ab00，故C为假命题；ab0.ab，a0且b0，故D为真命题答案D运用不等式性质判断命题的真假时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质 跟踪训练(多选)下列命题正确的是( )A若a2b2，则abB若，则abC若ac2bc2，则ab D若，则ab解析：选CDA错，例如(3)222；B错，例如；C、D正确.利用不等式性质证明不等式例2若ab0，cd0，e0，求证：.证明cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.两边同乘以，

5、得.又e0，.母题探究(变设问)本例条件不变的情况下，求证：.证明：cd0，cd0.ab0，acbd0，0.又e0，.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 跟踪训练若bcad0，bd0.求证：.证明：因为bcad0，所以adbc，因为bd0，所以，所以11，所以.利用不等式性质求代数式的值或范围例3(1)已知1a4，2b8，试求2a3b与ab

6、的取值范围；(2)已知1ab1，1a2b3，求a3b的取值范围解(1)1a4，2b8，22a8，63b24.82a3b32.2b8，8b2.又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故2a3b的取值范围是(8，32)，ab的取值范围是(7，2)(2)设a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，从而解得1，2.又(ab)，2(a2b)，a3b1.故a3b的取值范围为.母题探究(变设问)在本例(1)条件下，求的取值范围解：2b8，而1a4，1a4，即2.故的取值范围是.利用不等式的性质求代数式范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求

7、得待求的范围；(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围 跟踪训练已知6a8，2b3，则的取值范围为_解析：6a8，2b3.，当0a8时，04；当6a0时，得0a6，即03，故30.由得：34.故的取值范围为(3，4)答案：(3，4)实际问题中的不等关系糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠问题探究

8、下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了提示：(1)设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式(其中a，b，m为正实数，且ba)成立不妨用作差比较法，证明如下：.a，b，m为正实数，且a0，ba0，0，即.(2)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且，求证：a0，dc0)证明：a0，dc0，ad0，0，即0，即.(其中ba0，m0)证明：0，.结论(1)如果一个分式

9、(ba0)的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大；(2)两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间；(3)一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小以上证明过程考查了逻辑推理的核心素养迁移应用建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？解：设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然，a，b，n均为正实数，且ab，由题设及“糖水浓度不等式”可得：.故住宅的采光条件变好了1已知0a11，0a2

10、1，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN DMN解析：选B0a11，0a21，1a110，1a210，MN.2(多选)若a，b，c为实数，则下列命题正确的是()A若ac2bc2，则abB若ab0，则a2b0，则D若abd0，则acbc2，则ab，故正确；对于B，根据不等式的性质，若abb2，故错误；对于C，若ab0，则，即，故正确；对于D，若abd0，则acbc，acbc，所以2a2c，即ac，因此bd.因为acb，所以abac.答案：dbac4设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解析：设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2，2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.答案：5，10