新教材2021-2022学年人教B版数学必修第二册学案：第4章 4-3　指数函数与对数函数的关系 WORD版含解析.doc

1、4.3指数函数与对数函数的关系学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系(重点)2利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异3利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题(难点)1通过反函数概念及指数函数与对数函数图像间的关系学习，培养直观想象素养2借助指数函数与对数函数综合应用的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.图中给出了指数函数y2x，对数函数ylog2x的图像，解决下面的问题：问题：(1)y2x图像上的点(0,1)与ylog2x图像上的点(1,0)关于哪一条直线对称？(2)y2x图像上任一点关于直线yx的对称点都

2、在ylog2x的图像上吗？反过来，ylog2x图像上任一点关于直线yx的对称点都在y2x的图像上吗？(3)如何由y2x变换出ylog2x?提示(1)关于直线yx对称(2)都在ylog2x的图像上，都在y2x的图像上(3)y2xxlog2yylog2x.知识点1反函数的概念与记法1反函数的概念一般地，如果在函数yf(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为yf(x)的反函数，此时，称yf(x)存在反函数2反函数的记法函数yf(x)的反函数通常用yf1(x)表示如何准确理解反函数的定义？提示(1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域(2)对于

3、任意一个函数yf(x)，不一定总有反函数，只有当一个函数是单调函数时，这个函数才存在反函数如yx21(xR)就没有反函数，因为它在R上不是单调函数(3)反函数也是函数，因为它符合函数的定义1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数y的反函数是ylogx.()(2)函数ylog3x的反函数的值域为R.()(3)函数yex的图像与ylg x的图像关于yx对称()提示(1).函数y的反函数是ylogx(x0)(2).函数ylog3x的反函数的值域是原函数的定义域，故ylog3x的反函数的值域为(0，)(3).互为反函数的图像关于直线yx对称，所以函数yex的图像与yln x的图像关于直线yx

4、对称，函数ylg x的图像与y10x的图像关于直线yx对称答案(1)(2)(3)知识点2指数函数与对数函数的关系(1)指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(2)指数函数yax与对数函数ylogax的图像关于直线yx对称2.若函数yf(x)是函数yax(a0且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)等于()Alog2xBClogxD2x2Ayax的反函数为f(x)logax，则1loga2，所以a2.所以f(x)log2x.3.函数yx3的反函数为_yx3(xR)由yx3，得xy3，x，y互换得yx3，所以原函数的反函数为yx3(xR) 类型1求函数的反函数【例1】(对接教材P31例2

5、)求下列函数的反函数(1)y；(2)y5x1；(3)yx2(x0)解(1)由y，得xlogy，且y0，f1(x)logx(x0)(2)由y5x1，得x，f1(x)(xR)(3)由yx2得x.因为x0，所以x.所以f1(x)(x0)求反函数的一般步骤有哪几步？提示(1)求值域：由函数yf(x)求y的范围(2)解出x：由yf(x)解出xf1(y)若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个(3)得反函数：将x，y互换得yf1(x)，注意定义域得反函数提醒：求反函数时，若原函数yf(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求1(1)已知函数yex的图像与函数yf(

6、x)的图像关于直线yx对称，则()Af(2x)e2x(xR)Bf(2x)ln 2ln x(x0)Cf(2x)2ex(xR)Df(2x)ln 2ln x(x0)(2)求函数y0.2x1(x1)的反函数(1)D由题意知函数yex与函数yf(x)互为反函数，yex0，所以f(x)ln x(x0)则f(2x)ln(2x)ln 2ln x(x0)(2)解由y0.2x1得xlog0.2(y1)，对换x，y得ylog0.2(x1)原函数中x1，y1.2，反函数的定义域为1.2，)，因此y0.2x1(x1)的反函数是ylog0.2(x1)，x1.2，) 类型2指数函数与对数函数图像之间的关系【例2】(1)已知

7、a0，且a1，则函数yax与ylogax的图像只能是()ABCD(2)当a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图像是图中的()ABCD(1)C(2)A(1)yax与ylogax的单调性一致，故排除A、B；当0a1时，排除D；当a1时，C正确(2)因为a1时，yax,01)ylogax(a1)图像定义域R(0，)值域(0，)R性质当x0时，y1；当x0时，0y1时，y0；当0x1时，ylog2.思路探究(1)判断奇偶性奇偶性定义(2)求反函数反解，改写，标注定义域(3)对数不等式构建不等式组解不等式组得出解集解(1)由f(0)0，得a1，所以f(x).因为f(x)f(x)0，所以f(

8、x)f(x)，即f(x)为奇函数(2)因为f(x)y1，所以2x(1y1)，所以f1(x)log2(1xlog2，即log2log2，所以所以所以当0k2时，原不等式的解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1(变结论)本例中的条件不变，如何判断f1(x)的单调性，并给出证明解由原题解答知：f1(x)log2(1x1)任取1x1x21，则令t(x)1，所以t(x1)t(x2).因为1x1x20,1x20，x1x20，所以t(x1)t(x2)0，t(x1)t(x2)，所以log2t(x1)log2t(x2)，即f1(x1)f1(x2)，所以函数f1(x)为(1,1)上的增函数解对数

9、不等式的常见解法(1)借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集(2)底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论1若函数yf(x)的反函数图像过点(1,5)，则函数yf(x)的图像必过点()A(1,1)B(1,5)C(5,1)D(5,5)C原函数与它的反函数的图像关于直线yx对称，因为yf(x)的反函数的图像过点(1,5)，而点(1,5)关于yx的对称点为(5,1)，所以函数yf(x)的图像必过点(5,1)2函数ylog3 x的定义域为(0，)，则其反函数的值域是()A(0，)BRC(，0)D(0,1)A由原函数与反

10、函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域3若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)()Alog2xBlogxCDx2B因为yax的反函数为ylogax.又此函数经过点(，a)，因此logaa，解得a，所以f(x)logx.4下列函数中，反函数是其自身的函数为()Af(x)x2，x0，)Bf(x)x3，x(，)Cf(x)ex，x(，)Df(x)，x(0，)Df(x)x2，x0，)的反函数为f1(x)，x0，)；f(x)x3，x(，)的反函数为f1(x)，x(，)；f(x)ex，x(，)的反函数为f1(x)ln x，x(0，)；只有f(x)，x(0

11、，)的反函数仍为f1(x)，x(0，)5已知f(x)2xb的反函数为f1(x)，若yf1(x)的图像过点Q(5,2)，则b_.1f1(x)的图像过Q(5,2)，则f(x)的图像过点(2,5)，则f(2)5，即22b5，解得b1回顾本节内容，自我完成以下问题：1互为反函数的图像间有怎样的关系？提示若函数yf(x)(定义域为A，值域为B)存在反函数yf1(x)，则(1)yf(x)与yf1(x)的图像不一定有交点，若有交点，它们的交点不一定在直线yx上(2)若bf(a)，则af1(b)，f1f(a)a，ff1(b)b.(3)若f(x)f1(x)f(x)的图像关于直线yx对称2本节课的易错点是什么？提示本节课的易错点是求反函数时忘记写反函数的定义域