2022年新教材高中数学 课时检测30 直线与平面垂直（二）（含解析）新人教A版必修第二册.doc

1、直线与平面垂直(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若直线l与平面不垂直,m,那么l与m的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面或相交D.以上都有可能【解析】选D.由线面位置关系判断.2.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定【解析】选B.由题意可知,该直线垂直于三角形所确定的平面,故这条直线和三角形的第三边也垂直.3.设a,b是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是()A.存在唯一一条直线l,使得la,且lbB.存在唯

2、一一条直线l,使得la,且lbC.存在唯一一个平面,使得a,且bD.存在唯一一个平面,使得a,且b【解析】选C.过直线a上任意一点P,作b的平行线c,由a,c相交确定一个平面.直线l只需垂直于平面,就会与a,b都垂直,这样的直线有无数条,故A错误.根据两条异面直线所成角的定义,排除B.根据线面垂直的概念,排除D.4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】选B.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是正方形,所以BDA1C1,且BDCC1,又因为A1C1CC1=C1,所以BD平面

3、A1C1C,又因为CE平面A1C1C,所以BDCE.5.四棱锥P-ABCD,PA平面ABCD,且PA=AB=AD,四边形ABCD是正方形,E是PD的中点,则AE与PC的关系是()A.垂直B.相交C.平行D.相交或平行【解析】选A.因为PA=AD,E为PD的中点,所以AEPD,又PA平面ABCD.所以PACD,又因为CDAD.PAAD=A,所以CD平面PAD,所以CDAE.又因为CDPD=D,所以AE平面PCD.所以AEPC.6.(多选题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论,其中正确的结论是()A.ACSBB.AB平面SCDC.AB与SC所成的角等于DC与SA所

4、成的角D.二面角B-SD-C的大小为45【解析】选ABD.由题意,AC平面BDS,所以ACSB,故选项A正确;因为ABCD,AB平面SCD,CD平面SCD,所以AB平面SCD,故选项B正确;AB与SC所成的角是SCD,DC与SA所成的角是SAB,两者不相等,故选项C错误;二面角B-SD-C的平面角是BDC,是45,故选项D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知AF平面ABCD,DE平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,则EF= _.【解析】因为AF平面ABCD,DE平面ABCD,所以AFDE,又因为AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形,所以EF=AD=6.答案:68.

5、边长为a的正方形ABCD中,E为AB的中点,F为BC的中点,将AED,BEF和DCF分别沿DE,EF和DF折起使A,B,C重合于一点A,则三棱锥A-EFD的体积为_.【解析】以等腰直角三角形AEF为底,DA为高,得VD-AEF=SAEFDA=a=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直,求证:顶点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心.【证明】如图,由三个侧面两两互相垂直易知AP平面PBC,从而APBC.又因为PO底面ABC,所以POBC,因为PO与AP相交于P点,所以BC平面PAO,即BCAO.同理可知COAB,BOAC.所以O点是三角形ABC

6、的垂心.10.如图,PA平面ABD,PC平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EFAC.求证:=.【证明】因为PA平面ABD,PC平面BCD,所以PABD,PCBD,PCEF.又PAPC=P,所以BD平面PAC.又EFAC,PCAC=C,所以EF平面PAC,所以EFBD,所以=.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知PA矩形ABCD所在平面,PAAD,M,N分别是AB,PC的中点,则MN垂直于()A.ADB.CDC.PCD.PD【解析】选B.连接AC,取AC的中点为O,连接NO,MO,如图所示:因为N,O分

7、别为PC,AC的中点,所以NOPA,因为PA平面ABCD,所以NO平面ABCD,所以NOCD.又因为M,O分别为AB,AC的中点,所以MOBC.因为BCCD,所以MOCD,因为NOMO=O,所以CD平面MNO,所以CDMN.2.已知m,n表示两条不同的直线,表示平面.下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n【解析】选B.A中,两条直线也可以相交或异面,故A错误;B中,描述的是线面垂直的性质,故B正确;C中,还会出现n的情况,故C错误;D中,还会出现n,n与相交或n在内的情况,故D错误.3.如图所示,PO平面ABC,BOAC,在图中与A

8、C垂直的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选D.因为PO平面ABC,AC平面ABC,所以POAC,又因为ACBO, POBO=O,所以AC平面PBD,因此,平面PBD中的4条直线PB,PD,PO,BD都与AC垂直.4.(多选题)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中正确的是()A.ACBEB.B1E平面ABCDC.三棱锥E-ABC的体积为定值D.B1EBC1【解析】选ABC.对于A.因为在正方体中,ACBD,ACDD1,BDDD1=D,所以AC平面BB1D1D,因为BE平面BB1D1D,所以ACBE,所以A正确.对于B.因为B1D1平面A

9、BCD,所以B1E平面ABCD成立,即B正确.对于C.三棱锥E-ABC的底面ABC的面积为定值,锥体的高BB1为定值,所以锥体体积为定值,即C正确.对于D.因为D1C1BC1,若B1EBC1正确,则可得到BC1平面A1C1,而实际上BC1与平面A1C1不垂直,故D错.二、填空题(每小题5分,共20分)5.a,b是异面直线,直线la,lb,直线ma,mb,则l与m的位置关系是_.【解析】将b平移至c,且使a与c相交,则a,c确定一个平面,记作平面.因为lb,mb,所以lc,mc,又la,ma,所以l平面,m平面,所以lm.答案:lm6.已知平面,和直线m,给出以下条件:m;m;m;.要使m,则所

10、满足的条件是_.(填所选条件的序号) 【解析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时,此直线也垂直于另一个平面,结合所给的条件,故由可推出m.即是m的充分条件,故当m时,应满足的条件是.答案:7.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积是_.【解析】如图,由已知得PAPB,PAPC,PBPC=P,所以PA平面PBC.又PBPC,PB=PC,BC=2,所以PB=PC=.所以VP-ABC=VA-PBC=PASPBC=.答案:8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60, PA=AB=BC,E是PC的中点.则有(1)CD_AE.(2

11、)PD_平面ABE.(填“”或“”)【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.又因为ACCD,且PAAC=A,所以CD平面PAC.而AE平面PAC,所以CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知AECD,且PCCD=C,所以AE平面PCD.又PD平面PCD,所以AEPD.因为PA底面ABCD,所以PAAB.又因为ABAD,且PAAD=A,所以AB平面PAD,而PD平面PAD,所以ABPD.又ABAE=A,所以PD平面ABE.答案:(1)(2)三、解答题(每小题10分,共30分)

12、9.如图,在三棱锥P-ABC中,PB平面ABC,PB=BC=CA=4,BCA=90,E为PC的中点.求证:BE平面PAC.【证明】因为PB平面ABC,BC平面ABC,所以ACPB.因为BCA=90,所以ACCB,而CB平面PBC,PB平面PBC,PBCB=B,所以AC平面PBC.又BE平面PBC,所以ACBE.因为E为PC的中点,且PB=BC,所以BEPC.又PC平面PAC,AC平面PBC,PCAC=C,所以BE平面PAC.10.如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,SA底面ABCD,E,F分别是SD,SC的中点.求证:(1)BC平面SAB;(2)EFSD.【证明】(1)因为四棱锥S-ABCD

13、的底面是矩形,所以ABBC.因为SA平面ABCD,BC平面ABCD,所以SABC.又因为SAAB=A,所以BC平面SAB.(2)因为SA平面ABCD,CD平面ABCD,所以CDSA.又因为CDAD,SAAD=A,所以CD平面SAD.因为E,F分别是SD,SC的中点,所以EFCD,所以EF平面SAD.又因为SD平面SAD,所以EFSD.11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,AP=AB=2,BC =2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC平面BEF.【证明】如图,连接PE,EC,在RtPAE和RtCDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即PEC是等腰三角形.又F是PC的中点,所以EFPC.又BP=2=BC,F是PC的中点,所以BFPC.又BFEF=F,所以PC平面BEF.