2023届高考二轮总复习试题（适用于老高考旧教材） 数学（理） 专题检测二　数列 WORD版含解析.docx

1、专题检测二数列一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022湖南常德一模)设Sn为等比数列an的前n项和,若a4=4,S3=S2+2,则a1=()A.12B.1C.2D.22.(2022河南郑州二模)设等差数列an的前n项和为Sn,若a7=2,则S13的值为()A.26B.39C.56D.1173.记Sn为等差数列an的前n项和,若S3=a6,a5=10,则an的公差为()A.2B.3C.-1D.-24.(2022全国乙理4)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号

2、绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列bn:b1=1+11,b2=1+11+12,b3=1+11+12+13,依此类推,其中kN*(k=1,2,).则()A.b1b5B.b3b8C.b6b2D.b40,则log2a+log2c=.15.(2020山东14)将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为.16.分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段,将图1中的线段三等分,以中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得到图2,称为“一次分形”;用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作,得到图3,称为“二次

3、分形”,依次进行“n次分形”(nN*).规定:一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度,要得到一个长度不小于30的分形图,则n的最小值是.(取1g 30.477 1,lg 20.301 0)图1图2图3三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022湖北一模)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an=3Sn-2(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)求证:对任意的mN*,Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.18.(12分)(2020全国理17)设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若

4、a1=1,求数列nan的前n项和.19.(12分)已知数列an是各项均为正数的等比数列,a1=1,且a3,3a2,a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=an+log2an,求数列bn的前n项和.20.(12分)已知数列an的前n项和为Sn.从下面中选择其中一个作为条件解答试题,若选择不同条件分别解答,则按第一个解答计分.数列an是等比数列,S2=6,且4a2,2a3,a4成等差数列;数列an是递增的等比数列,a1a4=32,a2+a3=12;Sn=2an-2.(1)求数列an的通项公式;(2)已知数列bn的前n项的和为Tn,且bn=1(log2a2n-1)(log2a2n+

5、1).证明:Tn0,an2+2an=4Sn+3.若数列bn满足b1=2,b2=4,bn+12=bnbn+2.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设cn=1Sn(n=2k-1,kN*),bn(n=2k,kN*),求数列cn的前2n项和T2n.22.(12分)(2022江西鹰潭一模)已知各项均为正数的数列an的首项a1=1,前n项和Sn满足an=Sn+Sn-1(n2).(1)求数列an的通项公式;(2)记数列1anan+1的前n项和为Tn,若对任意的nN*,不等式4Tnb5,b3b8,b6b2,b40,所以a6=2,所以S11=11(a1+a11)2=11a6=22.6.A解析: 由题知q0且

6、q1.由S4=10S2,得a1(1-q4)1-q=10a1(1-q2)1-q,化简得(1-q2)(q2-9)=0,所以q=3.7.A解析: 设数列an的公差为d.a1,a2,a5构成公比为q的等比数列,a22=a1a5,即(1+d)2=1+4d,解得d=0或2,a2=1或3,q=1或3.8.D解析: 设数列an的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d,所以Snn=a1+n-12d,所以Sn+1n+1-Snn=d2,所以数列Snn是首项为a1,公差为d2的等差数列,所以S1212-S1010=2d2=-2,所以d=-2.9.C解析: Sn=nan,Sn=n(Sn-Sn-1),n2,nSn-1

7、=(n-1)Sn,n2,变形得Sn-1n-1=Snn,n2.数列Snn是每项均为S1的常数列,Snn=S1,即Sn=nS1=na1.又S2+S4+S6+S60=3 720,2a1+4a1+6a1+60a1=(2+4+6+60)a1=30622a1=3 720,解得a1=4,故选C.10.D解析: 设该数列为an,由题可知,a5,a6,成等差数列,且公差为2,a5=5.设塔群共有n层,则1+3+3+5+5(n-4)+(n-4)(n-5)22=108,所以n=12,所以最下面三层的塔数之和为a10+a11+a12=3a11=3(5+26)=51.11.C解析: 设数列an的前n项和为Sn,由题可得

8、Sn=an+1,所以当n2时,Sn-1=an,则an=an+1-an,即an+1=2an.又a2=a1=3,所以该数列从第2项起是公比为2的等比数列,且a1=a2=3,所以S2 022=3+3(1-22 021)1-2=3+3(22 021-1)=322 021.12.A解析: Sn+1Sn=2n+1-12n+1-2,an+1Sn=Sn+1-SnSn=12n+1-2,即Sn=(2n+1-2)an+1,S1=a1=2a2,又a1=12,a2=14.由an+1=Sn+1-Sn=(2n+2-2)an+2-(2n+1-2)an+1,整理得an+2an+1=12,又a1=12,a2a1=12,数列an是

9、首项为12,公比为12的等比数列,an=1212n-1=12n,bn=log12(a1a2an)=log121212212n-112n=log1212n(n+1)2=n(n+1)2,1bn=21n-1n+1,An=21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.13.13解析: 设an的公比为q,由题可知q0,则a2a4=a1a5=a52q4=1,则q4=181,所以q=13.14.4解析: a,4,c成等比数列,且a0,ac=16,c0,log2a+log2c=log2ac=log216=4.15.3n2-2n解析: 数列2n-1的项均为奇数,数列3n-2的所有奇数项均为

10、奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然3n-2中的所有奇数均能在2n-1中找到,所以2n-1与3n-2的所有公共项就是3n-2的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列an是以1为首项,以6为公差的等差数列.所以an的前n项和为Sn=n1+n(n-1)26=3n2-2n.16.12解析: 由题可得“n次分形”后分形图的长度是“(n-1)次分形”后所得分形图的长度的43,且“一次分形”后分形图的长度为43,故每次分形后所得分形图的长度是首项为43,公比为43的等比数列,故“n次分形”后分形图的长度为4343n-1=43n.由43n30,两边取对数得(2lg 2-lg 3)n1+lg 3.又nN*,

11、所以n12,故n的最小值为12.17.(1)解 当n=1时,a1=3S1-2=3a1-2,所以a1=1.当n2时,因为an=3Sn-2,所以an-1=3Sn-1-2,所以an-an-1=3an,即an=-12an-1,所以数列an是首项为1,公比为-12的等比数列,其通项公式为an=-12n-1.(2)证明 2Sm+2=21-(-12)m+21+12=431-12m+2,Sm+Sm+1=1-(-12)m1+12+1-(-12)m+11+12=232-12m-12m+1=431-12m+2,所以2Sm+2=Sm+Sm+1,所以Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.18.解 (1)设an的公比为q,

12、由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故an的公比为-2.(2)记Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=1-(-2)n3-n(-2)n.所以Sn=19-(3n+1)(-2)n9.19.解 (1)设数列an的公比为q,由题可知q0.因为a1=1,6a2=a3+a4,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去),所以

13、an=a1qn-1=2n-1.(2)因为bn=an+log2an,所以bn=2n-1+n-1.设数列bn的前n项和为Sn,则Sn=b1+b2+b3+bn=(20+0)+(2+1)+(22+2)+(2n-1+n-1)=(20+21+22+2n-1)+(0+1+2+n-1)=1(1-2n)1-2+n(0+n-1)2=2n+n2-n2-1.20.(1)解 若选:设an的公比为q(q0).因为S2=6,且4a2,2a3,a4成等差数列,所以a1+a1q=6,4a1q+a1q3=4a1q2,所以a1=2,q=2,所以an=22n-1=2n.若选:设an的公比为q,由题可知q0.因为数列an是等比数列,a

14、1a4=32,a2+a3=12,所以a1a4=a2a3=32,a2+a3=12,所以a2=4,a3=8,所以q=a3a2=2,所以an=a2qn-2=42n-2=2n.若选:因为Sn=2an-2,所以Sn-1=2an-1-2(n2),两式相减可得an=2an-2an-1,即an=2an-1.又n=1时,a1=2,所以数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=22n-1=2n.(2)证明 由(1)知an=2n,所以bn=1(log2a2n-1)(log2a2n+1)=1(log222n-1)(log222n+1)=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以Tn=121

15、1-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1=12-14n+2.因为14n+20,所以12-14n+212,即Tn0,an2+2an=4Sn+3.当n=1时,a12-2a1-3=0,解得a1=3或a1=-1(舍去).当n2时,an-12+2an-1=4Sn-1+3,-得(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1),所以an-an-1=2,所以数列an是以3为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n+1.因为数列bn满足b1=2,b2=4,bn+12=bnbn+2,所以数列bn是首项为2,公比为2的等比数列,所以bn=2n.(2)由(1)可得Sn=n(3+2n+

16、1)2=n(n+2),所以T2n=113+135+157+1(2n-1)(2n+1)+22+24+22n,=121-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1+4(1-4n)1-4=121-12n+1+4(1-4n)1-4=n2n+1+4n+1-43.22.解 (1)由题可知Sn0.当n2时,an=Sn+Sn-1,Sn-Sn-1=Sn+Sn-1,即Sn-Sn-1=1.又S1=1,数列Sn是首项为1,公差为1的等差数列,故Sn=n,an=Sn+Sn-1=n+n-1=2n-1(n2).当n=1时,a1=1也适合,an=2n-1.(2)由题可知an0.1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,Tn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+112.又对任意的nN*,不等式4Tna2-a恒成立,2a2-a,