2023届高考数学 易错题专项突破——易错点13 导数在解决实际问题中的应用（含解析）.docx

1、易错点13 导数在解决实际问题中的应用一、单选题1. 某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C=1200+275x3，P=500x，则总利润最大时，x=A. 25B. 26C. 24D. 282. 把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. 332cm2B. 4m2C. D. 23cm23. 菱形ABCD的边长为2，现将ACD沿对角线AC折起使平面ACD平面ACB，求此时所成空间四面体体积的最大值A. 16327B. 539C. 1D. 344. 现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝

2、合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为A. 12B. 14C. 2D. 45. 一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为A. 500281B. 500227C. 53D. 1526. 已知函数f(x)=1x2+a(a0)，若对任意xR，存在x1,x2使得fx1-fx2=f(x)x1-x2，则a的最大值为A. 18B. 827C. 2764D. 641257. 原子有稳定和不稳定两种不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程

3、中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出、等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)=N02-t24，其中N0为t=0时钍234的含量已知t=24时，钍234含量的瞬时变化率为-8ln2，则N120=A. 12贝克B. 12ln2贝克C. 6贝克D. 6ln2贝克8. 设函数fx=x-a2+lnx2-2a2，其中x0，aR，若存在x0R，使得fx045成立，则

4、实数a的值是A. 15B. 25C. 35D. 45二、填空题9. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当x=_时，方盒的容积V最大。10. 如图，内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_11. 如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为CA=8km,DB=27km.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设APC=02，则当PC+PD最小时，AP=_km12. 2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫

5、情，国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”.武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率均为p(0p0,b0)，已知投资额为零时收益为零()求a,b的值；()如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金

6、投入方案，使他能获得最大利润一、单选题1. 某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C=1200+275x3，P=500x，则总利润最大时，x=A. 25B. 26C. 24D. 28【答案】A总利润L(x)=x500x-1200-275x3=-275x3+500x-1200(x0)由L(x)=-225x2+250x=0，得x=25.令L(x)0，得0x25;令L(x)25所以L(x)在(0,25)上单调递增，在(25,+)上单调递减，故当x=25时，总利润最大故选A2. 把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. 33

7、2cm2B. 4m2C. D. 23cm2【答案】D【解析】解：设一段长为x，则另一段为12-x(0x12)，则S(x)=12(x3)232+12(12-x3)232=34(2x29-8x3+16)，S(x)=34(49x-83)令S(x)=0，得x=6，当x(0,6)时，S(x)0，当x=6时，S(x)最小S(x)min=34(2962-836+16)=23(cm2)故答案选D3. 菱形ABCD的边长为2，现将ACD沿对角线AC折起使平面ACD平面ACB，求此时所成空间四面体体积的最大值A. 16327B. 539C. 1D. 34【答案】A【解析】解：设ABC=ADC=，(0,)，DO=A

8、Dcos2=2cos2，SABC=1222sin=2sin，又DO平面ABC，VD-ABC=13SABCDO=43sincos2=83sin2cos22=83sin2(1-sin22)(022)，设t=sin2，则VD-ABC=83(t-t3)，且0t1，VD-ABC=83(1-3t2)，当0t0，当33t1时，VPABC0，当t=33时，VD-ABC取得最大值16327，四面体DABC体积的最大值为16327故选：A4. 现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为A. 12B. 14C.

9、 2D. 4【答案】B【解析】设单位面积铁的造价为m，总的造价为y，那么y=3mr2+m(r2+2rh)，即y=4mr2+2mrh，由V=r2hh=Vr2，则y=4mr2+2mVr，y=8mr-2mVr2，令y=0，解得r=3V4当r(0,3V4)时，y0，函数单调递增所以当r=3V4时，造价最低，此时h=Vr2=316V，则rh=3164=14故选B5. 一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为A. 500281B. 500227C. 53D. 152【答案】A【解

10、析】解：四棱锥如图，设底面正方形边长的一半为x，则有AO=(5-x)2-x2-x2=-x2-10x+25，V=43x2-x2-10x+25=43-x6-10x5+25x4设y=-x6-10x5+25x4，则y=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5)，由y=0，可得x=-10(舍)或x=53Vmax=500281故选：A6. 已知函数f(x)=1x2+a(a0)，若对任意xR，存在x1,x2使得fx1-fx2=f(x)x1-x2，则a的最大值为A. 18B. 827C. 2764D. 64125【答案】C【解析】解：f(x)=1x2+a

11、(a0)，fx=-2xx2+a2当x1x2时，f(x1)-f(x2)=f(x)(x1-x2)fx=fx1-fx2x1-x2若对，x1,x2，使得f(x1)-f(x2)=f(x)(x1-x2)，即x0R，使得fx0=fxfx的值域为(0,1a,fx0的值域包含(0,1a,又当x0时，fx=-2xx2+a2=-2xx4+2ax2+a2=-2x3+2ax+a2x，令gx=x3+2ax+a2x，则gx为奇函数，且gx=3x2+2a-a2x2=x2+a3x2-ax2，当x(0,a3时，gx0，当xa3,+)时，gx0若x0,+，则当x=a3时，gx=x3+2ax+a2x有最小值，这时gx163a39,+

12、)，于是这时fx-983a3,0)因此，对任意xR，fx-983a3,983a3由983a31a，得：a2764故选C7. 原子有稳定和不稳定两种不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出、等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)=N02-t24，其中N0为t=0时钍234的含量已知t=24时，钍234含量的瞬

13、时变化率为-8ln2，则N120=A. 12贝克B. 12ln2贝克C. 6贝克D. 6ln2贝克【答案】A【解析】解：因为N(t)=N02-t24，其中N0为t=0时钍234的含量，钍234的含量的变化率为N(t)=-124N02-t24ln2，所以当t=24时，N(24)=-124N02-2424ln2=-N048ln2=-8ln2，所以N0=384，可解得N(120)=12(贝克)故选A8. 设函数fx=x-a2+lnx2-2a2，其中x0，aR，若存在x0R，使得fx045成立，则实数a的值是A. 15B. 25C. 35D. 45【答案】A【解析】解：函数f(x)可以看作是动点M(x

14、,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，y=2x=2，解得x=1，曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离最小，最小距离d=25=255，则f(x)45，根据题意，要使f(x0)45，则f(x0)=45，此时N恰好为垂足，由kMN=2a-0a-1=2aa-1=-12，解得a=15，故选A二、单空题9. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当x=_时，方盒的容积V最大。【答案】a6【解析】解：由于在边长为a的正方形铁片的四角截

15、去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a-2x，高为x，则无盖方盒的容积V(x)=(a-2x)2x，0xa2；即V(x)=(a-2x)2x=4x3-4ax2+a2x，0x0；当x(a6,a2)时，V(x)0，f(x)是递增的，x23,2时，f(x)0，f(x)是递减的，当x=23时，f(x)取最大值43911. 如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为CA=8km,DB=27km.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设APC=02，则当PC+PD最小时，AP=_km【答案】

16、12【解析】解：在RtPAC中，由题意可知APC=，则PC=8sin，同理在RtPBD中，PDB=，则PD=27cos，令f()=PC+PD=8sin+27cos，02；则f()=-8cossin2+27sincos2=27sin3-8cos3sin2cos2，由f()=0，得tan0=23，当(0,0)时，f()单调递减，当(0,2)时，f()单调递增，所以tan=23时，f()取得最小值，此时AP=ACtan0=823=12，所以当PC+PD最小时，AP=12km故答案为：1212. 2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历

17、春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”.武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率均为p(0p1)且相互独立，若当p=p0时，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大值，则p0=_【答案】1-155【解析】解：由题意，该小区第4个人检测为阳性的概率为p(1-

18、p)3，该小区第5个人检测为阳性的概率为p(1-p)4，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率f(p)=p(1-p)3+p(1-p)4，(0p1)，f(p)=-3p(1-p)2+(1-p)3-4p(1-p)3+(1-p)4=(1-p)2(5p2-10p+2)，令f(p)=0，0p1，5p2-10p+2=0，解得p=1-155或p=1+155(舍去)，故fp在0,1-155上单调递增，在1-155,1上单调递减，故当p=1-155时，fp取得最大值故答案为1-155三、解答题13. 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费x(0x7)百万元，

19、可增加销售额(-x2+7x)百万元(1)若该公司将当年的广告费控制在4百万元之内，则应该投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大(2)现该公司准备共投入6百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费p百万元，可增加的销售额为(-13p3+p2+4p)百万元.请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.(注：收益=销售额-投入)【答案】解：(1)设投入x百万元的广告费后增加的收益为f(x)百万元，则有f(x)=(-x2+7x)-x=-x2+6x=-(x-3)2+9(0x4)，所以当x=3时，f(x)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2

20、)设用于技术改造的资金为p百万元，则用于广告促销的资金为(6-p)百万元，由此获得的收益是g(p)百万元，则g(p)=(-13p3+p2+4p)+-(6-p)2+7(6-p)-6=-13p3+9p(0p6)，则g(p)=-p2+9，令g(p)=0，解得p=-3(舍去)或p=3所以当p=3时，g(p)取得最大值，即将3百万元用于技术改造，3百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大14. 为了办好新淮高中首届“草坪音乐节”，学校计划在直径为400米的半圆形草地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD，如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上，其余为绿化部分，设BOC=(1)用S()表示花圃的面积，并

21、写出定义域；(2)当为何值时，花圃面积最大？最大值为多少？【答案】解：(1)设半径为r，则r=200米，作CEAB，垂足为E，因为BOC=，所以CE=OCsin=rsin,OE=rcos，所以CD=2OE=2rcos，所以S()=12(2r+2rcos)rsin=r2(sin+cossin)=4104(sin+cossin),(0,2)(2)S()=4104(cos+2cos2-1)=4104(cos+1)(2cos-1)，所以，当00，S递增；当32时，S0,0x6)点C(6,-12)在曲线AC上，62=-2p(-12)，2p=3曲线AC的方程为x2=-3y.，(0x6)kDC=-6-(-1

22、2)0-6，直线DC方程为：y=-x-6线段DC的方程为：y=-x-6，.(0x6)线段AD与DC，曲线短CA所围成区域的面积：S=06-13x2-(-x-6)dx=(-19x3+x22+6x)|06=30(m2)()由()可设F(a,-13a2)，G(a,-a-6)，E(0,-13a2).DE=-13a2+6，EF=a，FG=-13a2+a+6则公园的面积为f(a)=(-23a2+a+12)a12=-13a3+12a2+6a，(0a6)f(a)=-a2+a+6，a(0,3)时，f(a)0，a(3,6)时，f(a)0,b0)，已知投资额为零时收益为零()求a,b的值；()如果该个体户准备投入5

23、万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润【答案】解：()根据问题的实际意义，可知f(0)=0，g(0)=0，则-a+2=0，解得a=2，b=1；()由()可得：f(x)=2x，g(x)=6lnx+1，设投入经销B商品的资金为x万元，x0,5，则投入经销A商品的资金为5-x万元，设所获得的收益为S(x)万元，则Sx=25-x+6lnx+1=6lnx+1-2x+10，x0,5，Sx=6x+1-2，令S(x)=0，得x=2，当0x0，函数单调递增；当2x5时，S(x)0，函数单调递减，所以万元)，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元