2023年高考数学一轮复习 课时规范练41 直线的倾斜角、斜率与直线的方程（含解析）北师大版 文.docx

1、课时规范练41直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.把直线x-y+3-1=0绕点(1,3)逆时针旋转15后,所得直线l的方程是()A.y=-3xB.y=3xC.x-3y+2=0D.x+3y-2=0答案:B解析:已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45,绕点(1,3)逆时针旋转15后,得到的直线l的倾斜角=45+15=60,直线l的斜率为tan=tan60=3,直线l的方程为y-3=3(x-1),即y=3x.2.(2020上海静安期中)设直线的斜率k(-,-11,+),则该直线的倾斜角满足()A.-44B.42或234C.42D.234答案:B解析:因为k=tan,所以当k-1时,234,当k

2、1时,42,即直线的倾斜角满足42或20,b0,y=bx+a也要经过第一、二、三象限,所以A选项错误;对于B,同理A,可得B选项错误;对于C,对于y=ax+b,图像经过第二、三、四象限,则a0,b0,b0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.答案:16解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa+yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab0,故a0,b0,b0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.4C.2D.8答案:B解析:因为直线ax+by=ab过点(1,

3、1),所以a+b=ab,即1a+1b=1.因为直线在x轴上的截距为b,在y轴上的截距为a,所以直线在x轴、y轴上的截距之和为a+b.a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当a=b=2时取等号,故最小值为4.故选B.12.(2020湖南益阳模拟)直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是()A.-2,2B.(-,-22,+)C.-2,0)(0,2D.(-,+)答案:C解析:令x=0,得y=b2,令y=0,得x=-b,所以所求三角形的面积为12b2|-b|=14b2,且b0,14b21,所以b24,所以b的取值范围是-2,0)(0

4、,2.13.(2020山东日照高三段考)已知直线l过点P(2,-1),在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为.答案:x+2y=0或x+3y+1=0解析:若a=0,则直线l过原点(0,0),此时直线l的斜率k=-12,故直线l的方程为x+2y=0.若a0,则设直线l的方程为xa+yb=1,即x3b+yb=1.因为点P(2,-1)在直线l上,所以23b+-1b=1,解得b=-13.从而直线l的方程为x+3y+1=0.综上可知,直线l的方程为x+2y=0或x+3y+1=0.14.(2020海南琼州中学模拟)已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)求证:直线l过定

5、点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.(1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0.由x+2=0,1-y=0,解得x=-2,y=1.故无论k取何值,直线l恒过定点(-2,1).(2)解:直线l的方程可化为y=kx+1+2k.当k0时,要使直线l不经过第四象限,则有k0,1+2k0,解得k0.当k=0时,直线l的方程为y=1,显然符合题意.综上,k的取值范围是0,+).(3)解:依题意,A-1+2kk,0,B(0,1+2k),且-1+2kk0,解得

6、k0.所以S=12|OA|OB|=12-1+2kk|1+2k|=12(1+2k)2k=124k+1k+412(22+4)=4,当且仅当4k=1k,即k=12时,等号成立.所以Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.创新应用组15.已知函数f(x)=log2(x+1),且abc0,则f(a)a,f(b)b,f(c)c的大小关系为.答案:f(a)af(b)b0时,曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为abc0,所以f(a)af(b)bf(c)c.16.(2020山东德州高三模拟)已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1x1),则y+3x+2的最大值为,最小值为.答案:843解析:如图,作出y=x2-2x+2(-1x1)的图像,即曲线段AB,则y+3x+2表示定点P(-2,-3)与曲线段AB上任意一点(x,y)的连线的斜率k.连接PA,PB,由图可知kPAkkPB.易得A(1,1),B(-1,5),则kPA=1-(-3)1-(-2)=43,kPB=5-(-3)-1-(-2)=8,所以43k8.故y+3x+2的最大值为8,最小值为43.