2022秋新教材高中数学 章末综合检测（二）一元函数的导数及其应用 新人教A版选择性必修第二册.doc

1、章末综合检测(二)A卷基本知能盘查卷(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知f(x)x22xf(1)，则f(3)等于()A4 B2 C1 D2解析：选D对f(x)求导得f(x)2x2f(1)，令x1，可得f(1)22f(1)，f(1)2，f(x)2x2f(1)2x4，当x3时，f(3)2.故选D.2已知函数f(x)ax2b的图象开口向下，4，则a()A. B C2 D2解析：选B由题意知，f(x)2ax，由导数的定义可知f(a)2a24，解得a.因为函数f(x)的图象开口向下，所以a0，所以

2、a.3.如图是导函数yf(x)的图象，则下列说法错误的是()A(1,3)为函数yf(x)的单调递增区间B(3,5)为函数yf(x)的单调递减区间C函数yf(x)在x0处取得极大值D函数yf(x)在x5处取得极小值解析：选C由题图，可知当x1或3x5时，f(x)5或1x0，所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3,5)，单调递增区间为(1,3)，(5，)，所以函数yf(x)在x1，x5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C说法错误4过点P(2，6)作曲线f(x)x33x的切线，则切线方程为()A3xy0或24xy540B3xy0或24xy540C3xy0或24xy540D24xy54

3、0解析：选A设切点为(m，m33m)，f(x)x33x的导数为f(x)3x23，则切线斜率k3m23，由点斜式方程可得切线方程为ym33m(3m23)(xm)，将点P(2，6)代入可得6m33m(3m23)(2m)，解得m0或m3.当m0时，切线方程为3xy0；当m3时，切线方程为24xy540.5若函数f(x)(x1)有最大值4，则实数a的值是()A1 B1 C4 D4解析：选B由函数f(x)(x1)，则f(x).要使得函数f(x)有最大值4，则a0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x(2，)时，f(x)0，函数f(x)在(2，)上单调递减，所以当x2时，函数f(x)取得最大值，即f(

4、x)maxf(2)4，解得a1，满足题意，故选B.6已知函数f(x)x在(，1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A1，) B(，0)(0,1C(0,1 D(，0)1，)解析：选D由题意知f(x)1，由于f(x)在(，1)上单调递增，则f(x)0在(，1)上恒成立，即x2在(，1)上恒成立当x1，则有1，解得a1或a0.故选D.7若函数f(x)x33bx3在(1,2)内有极值，则实数b的取值范围是()A(0,4) B0,4) C1,4) D(1,4)解析：选Af(x)3x23b0，即x2b.又f(x)在(1,2)内有极值，f(x)在(1,2)内有变号零点，0b0)在1，)上的最大值为，则a(

5、)A.1 B C. D1解析：选A由题意得f(x)(x0)，所以当0x0，f(x)单调递增；当x时，f(x)1，即a1时，f(x)在1，)上单调递增，在(，)上单调递减，故f(x)maxf() .令，解得a，不合题意；当01，即0a1时，f(x)在1，)上单调递减，故f(x)maxf(1).令，解得a1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9下列函数求导运算正确的为()A(3x)3xlog3e B(log2x)C(ex)ex Dx解析：选BCA(3x)3xln 3，故错误；B.(log2

6、x)，故正确；C.(ex)ex，故正确；D.，故错误故选B、C.10设f(x)在x0处可导，下列式子中与f(x0)相等的是()A. B. C. D. 解析：选ACA. f(x0)B. 2 2f(x0)C. f(x0)D. 3 3f(x0)故选A、C.11已知曲线y在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为()A2xy20 B2xy180C2xy180 D2xy20解析：选ABy，y|x22，因此kl2.设直线l方程为y2xb，即2xyb0.由题意得2，解得b18或b2，所以直线l的方程为2xy180或2xy20.故选A、B.12已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图，

7、则下列叙述正确的是()A函数f(x)在(，4)上单调递减B函数f(x)在x2处取得极大值C函数f(x)在x4处取得极值D函数f(x)只有一个极值点解析：选BD由导函数的图象可得，当x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x2时，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的单调递减区间为(2，)，故A错误当x2时函数取得极大值，故B正确当x4时函数无极值，故C错误只有当x2时函数取得极大值，故D正确，故选B、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13若函数f(x)3sin25，则f的值为_解析：f(x)6sin6sincos12sincos6sin

8、，f3.答案：314设a为实数，函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)若f(x)是偶函数，则a_，曲线yf(x)在原点处的切线方程为_解析：f(x)3x22axa3为偶函数，a0，f(x)3x23，f(0)3，所求切线方程为y3x.答案：0y3x15某公司需要一年购买某种货物共400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总储存费为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则x应为_吨解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总储存费之和f(x)4n4x4x.令f(x)40，解得x20，x20(舍去)经检验可知，x20是函数f(x)的最小值，故当每次购买20吨时

9、，总费用之和最小答案：2016设函数f(x)ln x，mR，若任意两个不相等正数a，b，都有a0，原式恒成立等价于f(b)b0)，则h(b)0)恒成立，所以m.答案：四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，求曲线在点M处的斜率最小的切线方程解：yx24x3(x2)21，当x2时，ymin1，此时y，斜率最小的切线过点，且斜率k1，所求切线方程为3x3y110.18(12分)已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求

10、f(x)的单调区间解：(1)由题意得f(x).又因为f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)1)，所以f(x)，所以f(0)2.又f(0)0，所以函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.(2)f(x)(x1)，令x1a0，得xa1.若a11，即a0，则f(x)0恒成立，此时f(x)无极值；若a11，即a0，则当1xa1时，f(x)a1时，f(x)0，此时f(x)在xa1处取得极小值，极小值为ln(a)a1.22(12分)

11、设函数f(x)x36x29xa.(1)求函数f(x)在区间2,2上的最值；(2)若函数f(x)有且只有两个零点，求a的值解：(1)对f(x)求导得f(x)3x212x9，令f(x)0可得x1或x3(舍去)，因为x2,2，所以当x2,1)时，f(x)0，f(x)在2,1)上单调递增；当x(1,2时，f(x)0，f(x)在(1,2上单调递减又因为f(1)4a，f(2)50a，f(2)2a，所以f(x)min50a，f(x)max4a.(2)令f(x)x36x29xa0，可得ax36x29x.设g(x)x36x29x，则g(x)3x212x9，令g(x)0，得x1或x3，列表如下，所以g(x)的大致

12、图象如图所示，要使ax36x29x有且只有两个零点，只需直线ya与g(x)的图象有两个不同交点，所以a4或a0.B卷高考能力达标卷(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()Ae2 BeC. Dln 2解析：选Bf(x)xln x，f(x)ln xxln x1，f(x0)2，ln x012，x0e.故选B.2曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A30 B45C60 D120解析：选B由题意知点(1,3)在曲线yx32x4上yx32x

13、4，y3x22，根据导数的几何意义，可知曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的斜率ky|x11，曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45.故选B.3函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3处取得极值，则a()A2 B3 C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，又f(x)在x3处取得极值，f(3)306a0，得a5.4.函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x3)f(x)0，解不等式(x3)f(x)0，得x3.当x(1,1)时，f(x)0，解不等式(x3)f(x)0，得1x0，不等式(x3)f(x)0无解综上，不等式(x3)f(x)0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不

14、符合题意当a0时，令f(x)0，解得xln a，当x(，ln a)时，f(x)0.可知xln a为f(x)的极值点，ln af(x)，则当ab时，下列不等式成立的是()Aeaf(a)ebf(b) Bebf(a)eaf(b)Cebf(b)eaf(a) Deaf(b)ebf(a)解析：选Db，ebf(a)8设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析：选A当x0时，令F(x)，则F(x)0时，F(x)为减函数f(x)为奇函数，且由f(1)0，

15、得f(1)0，故F(1)0.在区间(0,1)上，F(x)0；在(1，)上，F(x)0.即当0x0；当x1时，f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0的解集为(，1)(0,1)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9曲线yx21与yln x()A在点(1,0)处相交 B在点(1,0)处相切C存在相互平行的切线 D有两个交点解析：选ACD令f(x)x21，g(x)ln x，f(1)g(1)0，f(1)2，g(1)1，故选A，排除B.f(x)2xR，g(x)(0，)，存在f(1)g，故选C.令F

16、(x)f(x)g(x)，则F(x)2x，故F(x)在上单调递减，在上单调递增，而Fln 20，FF(e)e220，故选D.10函数y2x33x212x5在2,1上的最值情况为()A最大值为12 B最大值为5C最小值为8 D最小值为15解析：选ACy6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2时，y1；x1时，y12；x1时，y8. ymax12，ymin8.故选A、C.11.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列说法正确的是()Af(a)f(e)f(d)B函数f(x)在a，b上递增，在b，d上递减Cf(x)的极值点为c，eDf(x)的极大值为f(c)解析：选C

17、D由导数与函数单调性的关系知，当f(x)0时，f(x)单调递增，当f(x)0，f(x)在(a，c)上单调递增；当x(c，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，函数f(x)在xc处取得极大值f(c)，在xe处取得极小值f(e)，f(x)的极值点为c，e.故选C、D.12对于函数f(x)，下列说法正确的有()Af(x)在x1处取得极大值Bf(x)有两个不同的零点Cf(4)f()f(3)De22e解析：选AC由函数f(x)，可得函数f(x)的导数为f(x).当x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，f(x)单调递增可得函数f(x)在x1处取得极大值，且为最大值，所以A

18、正确；因为f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且f(0)0，当x0时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，)上单调递减，且431，可得f(4)f()f(3)，所以C正确；由f(x)在(1，)上单调递减，且21，可得，即e22e，所以D错误故选A、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13函数f(x)exsin x的图象在点(0，f(0)处切线的倾斜角为_解析：由题意得，f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x)，函数f(x)的图象在点(0，f(0)处切线的斜率kf(0)1，则所

19、求的倾斜角为.答案：14已知函数f(x)asin 2x(a2)cos x(a1)x在上无极值，则a_，f(x)在上的最小值是_解析：f(x)acos 2x(a2)sin xa1a(12sin2x)(a2)sin xa12asin2x(a2)sin x1(2sin x1)(asin x1)当sin x，即x时，f(x)0.所以要使f(x)在上无极值，则a2，此时f(x)(2sin x1)20恒成立，即f(x)单调递减，故在区间上f(x)的最小值为f.答案：215当x(0,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_解析：根据题意，当x(0,1时，分离参数a，得a恒成立令t，t1时

20、，at4t23t3恒成立令g(t)t4t23t3，则g(t)18t9t2(t1)(9t1)，当t1时，g(t)0，函数g(t)在1，)上是减函数则g(t)g(1)6，a6.实数a的取值范围是6，)答案：6，)16海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲、乙两地相距800 n mile，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_n mile/h.解析：设从甲地到乙地海轮的航速为v n mile/h，燃料费为y元/h，总

21、费用为f(x)元由题意设y与v满足的关系式为yav3(0v30)，由题意得25a103，a.则f(x)v340020v2.由f(x)40v0，得v20.当0v20时，f(x)0；当20v0.当v20时，f(x)最小即当总费用最低时，海轮的航速为20 n mile/h.答案：20四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设函数f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，求实数a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(，)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：f(x)18x2

22、6(a2)x2a.(1)由已知有f(x1)f(x2)0，从而x1x21，所以a9.(2)因为36(a2)24182a36(a24)0，所以不存在实数a，使得f(x)是(，)上的单调函数18(12分)已知函数f(x)aln x.(1)若曲线f(x)在x1处的切线方程为x2y10，求实数a的值；(2)求函数f(x)在区间1,4上的极值解：(1)因为f(x)aln x，所以f(x)，所以f(1)a.因为曲线f(x)在x1处的切线方程为x2y10，所以a，解得a0.故实数a的值为0.(2)由(1)，知f(x).当2a1，即a时，f(x)0在1,4上恒成立，所以函数f(x)在1,4上单调递增，所以函数f

23、(x)在1,4上无极值当2a2，即a1时，f(x)0在1,4上恒成立，所以函数f(x)在1,4上单调递减，所以函数f(x)在1,4上无极值当12a2，即a0)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若以函数yf(x)(x(0,3)图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值解：(1)当a1时，f(x)ln x，定义域为(0，)，f(x)，当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)由(1)知f(x)(0x3)，则kf(x0)(0ln ，且x0时，x3a.解：(1)由f(x)ex3x3a，xR，知f(x)e

24、x3，xR.令f(x)0，得xln 3，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(，ln 3)，单调递增区间是(ln 3，)，f(x)在xln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)eln 33ln 33a3(1ln 3a)，无极大值(2)证明：待证不等式等价于exx23ax1.设g(x)exx23ax1，x0，于是g(x)ex3x3a，x0.由(1)及aln ln 31知：g(x)的最小值为g(ln 3)3(1ln 3a)0.于是对任意x0，都有g(x)0，所以g(x)在(0，)内单调递增于是当aln ln 31时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)

25、而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx23ax1，故x3a.21(12分)(2019全国卷)已知函数f(x)ln x.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线解：(1)f(x)的定义域为(0,1)(1，)因为f(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)上单调递增因为f(e)10，所以f(x)在(1，)上有唯一零点x1(ex1e2)，即f(x1)0.又01，fln x1f(x1)0，故f(x)在(0,1)上有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点(2

26、)证明：因为eln x0，所以点B在曲线yex上由题设知f(x0)0，即ln x0，故直线AB的斜率k.曲线yex在点B处切线的斜率是，曲线yln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是，所以曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线22(2021新高考卷)已知函数f(x)(x1)exax2b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点2a；0a，b2a.解：(1)f(x)xex2axx(ex2a)，当a0时，令f(x)0x0.且当x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)单调递增当0a时，令f(x)0x10，x2ln 2

27、a0.且当x0，f(x)单调递增；当ln 2ax0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)单调递增当a时，f(x)x(ex1)0，f(x)在R上单调递增当a时，令f(x)0x10，x2ln 2a0.且当x0，f(x)单调递增；当0xln 2a时，f(x)ln 2a时，f(x)0，f(x)单调递增综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减；当0a时，f(x)在(，0)，(ln 2a，)上单调递增，在(0，ln 2a)上单调递减(2)证明：若选，由(1)知f(x)在(，0)上单调递增，(0，ln 2a)上单调递减，(ln 2a，)上单调递增注意到fe2a10.f(x)在上有一

28、个零点；f(ln 2a)(ln 2a1)2aaln22ab2aln 2a2aaln22a2aaln 2a(2ln 2a)，由a得00，当x0时，f(x)f(ln 2a)0，此时f(x)无零点综上，f(x)在R上有一个零点若选，由(1)知f(x)在(，ln 2a)上单调递增，在(ln 2a，0)上单调递减，在(0，)上单调递增f(ln 2a)(ln 2a1)2aaln22ab2aln 2a2aaln22a2aaln 2a(2ln 2a)0a，ln 2a0，aln 2a(2ln 2a)0，f(ln 2a)0，当x0时，f(x)f(ln 2a)0时，f(x)单调递增，注意到f(0)b12a10，取c，b2a1，又可证ecc1，f(c)(c1)ecac2b(c1)(c1)ac2b(1a)c2b1c2b11b1b110.f(x)在(0，c)上有唯一零点，即f(x)在(0，)上有唯一零点综上，f(x)在R上有一个零点