河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（文科） WORD版含解析.doc

1、河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知全集U为实数集，集合A=x|x22x30，B=x|y=ln（1x），则图中阴影部分表示的集合为( )Ax|1x3Bx|x3Cx|x1Dx|1x12设i为虚数单位，复数 z1=3ai，z2=1+2i，若是纯虚数，则实数a的值为( )ABC6D63过点P（2，3）的直线l与圆x2+y2=25相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程式是( )A2x+3y13=0B2x3y+5=0C3x2y=0D3x+2y12=04已知aR，若a+1，a+2，

2、a+6依次构成等比数列，则此等比数列的公比为( )A4B2C1D5设等边ABC边长为6，若，则等于( )A6B6C18D186已知实数a，b满足a2+b2=1，设函数f（x）=x26x+5，则使f（a）f（b）得概率为( )A+B+CD7已知ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点P（sinAcosB，3cosA1）位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8设f（x）是定义在2，2上的奇函数，若f（x）在2，0上单调递减，则使f（a2a）0成立的实数a的取值范围是( )A1，2B1，0）（1，2C（0，1）D（，0）（1，+）9设F1，F2分别是双曲线C：=1的左，右焦点，点P（，）在

3、此双曲线上，且PF1PF2，则双曲线C的离心率P等于( )ABCD10若x（0，），均有9xlogax（a0，且a1），则实数a的取值范围是( )A2，1）B（0，2C（2，3）D（1，2）11边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中点，N为DE的中点，将ADE沿DE折起至ADE位置，使AM=，设MC的中点为Q，AB的中点为P，则AN平面BCED NQ平面AECDE平面AMN平面PMN平面AEC以上结论正确的是( )ABCD12已知函数f（x）=，令g（n）=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），则g（n）=( )A0BCD二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，

4、共20分13执行如图的程序，则输出的结果等于_14如图，某几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形，则此几何体最长的棱长为_15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a=2c，则sinC的最大值为_16已知数列an的通项公式为an=n2+n（n=1，2，3，），若数列an是递增数列，则实数的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17已知F1，F2是椭圆C+=1的左，右焦点，以线段F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y2=0对称（l）求圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标18已

5、知数列an的前n项和公式为Sn=3n+1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log3，求数列 |bn|的前n项和Tn（其中，n5）19如图，ABC中，ABC=90，点D在BC边上，点E在AD上（l）若点D是CB的中点，CED=30，DE=1，CE=求ACE的面积；（2）若 AE=2CD，CAE=15，CED=45，求DAB的余弦值20三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC=90，AA1=AC=BC=2，A1在底面ABC内的射影为AC的中点D（1）求证：BA1AC1；（2）求三棱锥 B1A1DB的体积21已知过点 M（，0）的直线 l与抛物线 y2=2px（p0）交于A，B两点，且 =3，其

6、中O为坐标原点（1）求p的值；（2）若圆x2+y22x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程22已知函数f（x）=（k+）lnx+，其中常数k0（1）讨论f（x）在（0，2）上的单调性；（2）若k4，+），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x1，y1），N（x2，y2）使得曲线y=f（x）在M，N两点处切线互相平行，求x1+x2的取值范围河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知全集U为实数集，集合A=x|x22x

7、30，B=x|y=ln（1x），则图中阴影部分表示的集合为( )Ax|1x3Bx|x3Cx|x1Dx|1x1考点：Venn图表达集合的关系及运算 专题：集合分析：由韦恩图中阴影部分表示的集合为A（RB），然后利用集合的基本运算进行求解即可解答：解：A=x|x22x30=x|1x3，B=x|y=ln（1x）=x|1x0=x|x1，则UB=x|x1，由韦恩图中阴影部分表示的集合为A（UB），A（UB）=x|1x3，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用数轴求基本运算是解决此类问题的基本方法2设i为虚数单位，复数 z1=3ai，z2=1+2i，若是纯虚数，则实数a

8、的值为( )ABC6D6考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值解答：解：z1=3ai，z2=1+2i，由=是纯虚数，得，解得：a=故选：B点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3过点P（2，3）的直线l与圆x2+y2=25相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程式是( )A2x+3y13=0B2x3y+5=0C3x2y=0D3x+2y12=0考点：直线和圆的方程的应用 专题：计算题；直线与圆分析：由题意得，点P在圆的内部，故当弦AB和点P与圆心的

9、连线垂直时，弦AB最短，由垂直的条件求出弦的斜率，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程，再化为一般式解答：解：因为点P（2，3）到圆心（0，0）的距离等于，小于半径5，故此点在圆x2+y2=25的内部，故当弦AB和点P与圆心（0，0）的连线垂直时，弦AB最短弦AB的斜率为 =，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程为y3=（x2），即2x+3y13=0，故选A点评：本题考查点与圆的位置关系的判断，以及用点斜式求直线的方程4已知aR，若a+1，a+2，a+6依次构成等比数列，则此等比数列的公比为( )A4B2C1D考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得（a+2）2=（a+1）

10、（a+6），解得a=，由此能求出此等比数列的公比解答：解：a+1，a+2，a+6依次构成等比数列，（a+2）2=（a+1）（a+6），解得a=，此等比数列的公比q=4故选：A点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的公比的求法5设等边ABC边长为6，若，则等于( )A6B6C18D18考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据题意得出=（），=，运用数量积求解即可解答：解：等边ABC边长为6，若，=（），=，=（22）=（366）=18，故答案为：C点评：本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，属于中档题，关键是分解向量6已知实数a，b满足a2+b2=

11、1，设函数f（x）=x26x+5，则使f（a）f（b）得概率为( )A+B+CD考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：函数f（x）=x26x+5，使f（a）f（b），则（ab）（a+b6）0，作出图象，即可得出结论解答：解：函数f（x）=x26x+5，使f（a）f（b），则（ab）（a+b6）0，如图所示，使f（a）f（b）得概率为，故选：D点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型7已知ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点P（sinAcosB，3cosA1）位于( )A

12、第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：三角函数值的符号 专题：三角函数的图像与性质分析：根据A为ABC最小角得A，由余弦函数的性质判断出3cosA1的符号，再由ABC为锐角三角形得A+B，根据诱导公式和正弦函数的性质判断出sinAcosB的符号，即可判断出点P所在的象限解答：解：因为A为ABC最小角，所以A，则cosA1，所3cosA10，因为ABC为锐角三角形，所以A+B，则AB，所以sinAsin（B）=cosB，即sinAcosB0，所以点P（sinAcosB，3cosA1）位于第一象限，故选：A点评：本题考查诱导公式，正弦、余弦函数的性质，以及三角形中的角的性质，属于中档题8设f

13、（x）是定义在2，2上的奇函数，若f（x）在2，0上单调递减，则使f（a2a）0成立的实数a的取值范围是( )A1，2B1，0）（1，2C（0，1）D（，0）（1，+）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由奇函数的图象关于原点对称，则f（x）在2，2上递减，且f（0）=0f（a2a）0即为f（a2a）f（0），即有，解得即可得到范围解答：解：由于f（x）是定义在2，2上的奇函数，若f（x）在2，0上单调递减，则由奇函数的图象关于原点对称，则f（x）在2，2上递减，且f（0）=0f（a2a）0即为f（a2a）f（0），即有，即解得，1a2或1a0故

14、选B点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题9设F1，F2分别是双曲线C：=1的左，右焦点，点P（，）在此双曲线上，且PF1PF2，则双曲线C的离心率P等于( )ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：点P在双曲线上，所以带入双曲线方程可得 ，而根据PF1PF2得到 ，所以由再结合b2=c2a2即可求出a，c，从而求出离心率解答：解：根据已知条件得：；解得；解得；双曲线C的离心率为：故选B点评：考查双曲线的标准方程，点在曲线上时，点的坐标和曲线方程的关系，以及两点间的距离公式，c2=a2+b210若x（0，），均有9xlogax

15、（a0，且a1），则实数a的取值范围是( )A2，1）B（0，2C（2，3）D（1，2）考点：指、对数不等式的解法 专题：计算题；函数的性质及应用分析：对任意的0x时，总有9xlogax恒成立，则在0x时，y=logax的图象恒在y=9x的图象的上方，在同一坐标系中，分别画出指数和对数函数的图象，由此能求出实数a的取值范围解答：解：a（0，1）（1，+），当0x时，函数y=9x的图象如右图所示：对任意的0x，总有9xlogax恒成立，若不等式9xlogax恒成立，则y=logax的图象恒在y=9x的图象的上方，y=logax的图象与y=9x的图象交于（，3）点时，a=，故所求的y=logax的

16、图象对应的底数a应满足a1故选A点评：本题以指数函数与对数函数图象与性质为载体考查了函数恒成立问题，其中熟练掌握指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键11边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中点，N为DE的中点，将ADE沿DE折起至ADE位置，使AM=，设MC的中点为Q，AB的中点为P，则AN平面BCED NQ平面AECDE平面AMN平面PMN平面AEC以上结论正确的是( )ABCD考点：命题的真假判断与应用 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：由等边三角形的性质可得，可得=AM2可得ANMN，又ANDE，利用线面垂直的判定定理即可得出由于NQAC，利用线

17、面平行的判定定理可得NQ平面AEC；由可得AN平面BCED，ANDE，又DEMN，利用线面垂直的判定定理即可得出；由于MN平面AEC=A，因此平面PMN平面AEC不正确解答：解：如图所示，由等边三角形的性质可得，=AM2ANMN，又ANDE，EDMN=N，AN平面BCED，正确NQAC，NQ平面AEC，AC平面AEC，NQ平面AEC，正确；由可得AN平面BCED，ANDE，又DEMN，MNAN=N，DE平面AMN，正确；MN平面AEC=A，平面PMN平面AEC不正确综上可得：只有正确故选：C点评：本题综合考查了线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理，考查了空间想

18、象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题12已知函数f（x）=，令g（n）=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），则g（n）=( )A0BCD考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由f（x）+f（1x）=+=+=1，能求出g（n）=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）=解答：解：f（x）=，f（x）+f（1x）=+=+=1，g（n）=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）=故选：D点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13执行如图的程序，则输出的结果等于2550考点：程序框图 专题：

19、算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，当i=101，退出循环，输出T的值解答：解：执行程序框图，有i=1，s=0，第1次执行循环，有s=1，有i=3，第2次执行循环，s=1+3=4，有i=5，第3次执行循环，s=4+5=9，有i=7，第4次执行循环，s=9+7=16，有i=99，第99次执行循环，s=1+3+5+7+99=（1+99）50=2550，此时有i=101100，满足条件退出循环，输出S的值故答案为：2550点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了数列的求和，属于基本知识的考查14如图，某几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形，则此几何体最长的棱长为考

20、点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图得出某几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形，可判断三棱锥为P=ABC，RtABC，PC=AB=BC=1，ABBC，PC面ABC，根据几何体的性质得出PA最长，运用直角三角形判断即可解答：解：某几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形，可判断三棱锥为P=ABC，RtABC，PC=AB=BC=1，ABBC，PC面ABC，根据几何体的性质得出PA最长，AC=，PC=，故答案：，点评：本题考查了由三视图运用，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，考查了空间想象能力15在ABC中，角A，B，C的对边

21、分别为a，b，c，若b=1，a=2c，则sinC的最大值为考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：由a=2c，得到c对的角C为锐角，利用余弦定理表示出cosC，把a=2c，b=1代入变形后利用基本不等式求出cosC的最小值，即可确定出sinC的最大值解答：解：ABC中，b=1，a=2c，C为锐角，cosC=c+2=，当且仅当c=，即c=时取等号，cosC的最小值为，sinC=，sinC的最大值为，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键16已知数列an的通项公式为an=n2+n（n=1，2，3，），若数列an是递增数列，则实数的取值范围是（

22、3，+）考点：数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出an+1an=（n+1）2+（n+1）（n2+n）=2n+1+0恒成立，由此能求出实数的取值范围解答：解：数列an的通项公式为an=n2+n（n=1，2，3，），数列an是递增数列，an+1an=（n+1）2+（n+1）（n2+n）=2n+1+0恒成立2n+1+的最小值是21+1+=3+03即实数的取值范围是（3，+）故答案为：（3，+）点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17已知F1，F2是椭圆

23、C+=1的左，右焦点，以线段F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y2=0对称（l）求圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程；直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：（1）关键是求出以线段F1F2为直径的圆的圆心关于直线x+y2=0对称的点即圆C的圆心，半径是=1；（2）切线、圆半径、点P与圆心的连线，他们构成的直角三角形，切线最小及点P到圆心的距离最小解答：解：（1）由题意知，F1（1，0），F2（1，0），线段F1F2的中点坐标为原点设点0关于直线x+y2=0对称的点C坐标为（x0，y0），则，解得，即C（2，2

24、），半径为=1，所以圆C的方程为：（x2）2+（y2）2=1；（2）切线长：，当|PC|最小时，切线长取得最小值，当PC垂直于x轴，及点P位于（2，0）处时，|PC|min=2，此时切线长取最小值点评：本题主要考查圆的对称问题，圆的切线问题18已知数列an的前n项和公式为Sn=3n+1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log3，求数列 |bn|的前n项和Tn（其中，n5）考点：数列的求和；数列的函数特性 专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：（1）利用an=求解（2）bn=log3=n4，由此能求出数列 |bn|的前n项和Tn（其中，n5）解答：解：（1）Sn=3n+1，当n

25、=1时，a1=S1=32=3，当n2时，an=SnSn1=（3n+1）（3n+2）=3n，当n=1时，上式成立，an=3n（2）bn=log3=n4，令bn0，即n40，得n4，即第四项开始各项均非负，当n5时，Tn=3+2+1+0+=点评：本题考查数列的通项公式和前n项绝对值的和的求法，解题时要注意对数性质的合理运用19如图，ABC中，ABC=90，点D在BC边上，点E在AD上（l）若点D是CB的中点，CED=30，DE=1，CE=求ACE的面积；（2）若 AE=2CD，CAE=15，CED=45，求DAB的余弦值考点：三角形中的几何计算 专题：计算题；解三角形分析：（1）运用余弦定理，解出

26、CD=1，再解直角三角形ADB，得到AE=1，再由面积公式，即可得到ACE的面积；（2）在ACE和CDE中，分别运用正弦定理，求出CE，及sinCDE，再由诱导公式，即可得到DAB的余弦值解答：解：（1）在CDE中，CD=，解得CD=1，在直角三角形ABD中，ADB=60，AD=2，AE=1，SACE=；（2）设CD=a，在ACE中，=，CE=（）a，在CED中，=，sinCDE=1，则cosDAB=cos（CDE90）=sinCDE=1点评：本题考查解三角形的运用，考查正弦定理和余弦定理，及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题20三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC=90，AA1=AC=

27、BC=2，A1在底面ABC内的射影为AC的中点D（1）求证：BA1AC1；（2）求三棱锥 B1A1DB的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离分析：（1）根据直线平面的垂直得出BCAC1，再判断出四边形ACC1A1为菱形，即AC1A1C，运用判断定理可得得证AC1平面A1BC，BA1AC1，（2）转化体积问题）V=V=V=V运用体积公式求解即可解答：（1）证明：A1D平面ABC，A1D平面ACC1A1，平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABC=AC，BC平面ABC，BCAC，BC平面ACC1A1，BCAC1，AA1=CA，四边形ACC1A

28、1为菱形，即AC1A1C，A1C，BC平面A1BC，A1CBC=C，AC1平面A1BC，BA1平面A1BC，BA1AC1，（2）V=V=V=V=点评：本题考查了空间几何体的性质，运用直线平面的垂直的判断，性质，解决问题，求解体积，属于中档题21已知过点 M（，0）的直线 l与抛物线 y2=2px（p0）交于A，B两点，且 =3，其中O为坐标原点（1）求p的值；（2）若圆x2+y22x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程 专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：

29、（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y22pmyp2=0，y1+y2=2pm，y1y2=p2，由于=3，即x1x2+y1y2=3，x1x2=，即有p2=3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=4，则（y1y2）2=（y1+y2）24y1y2=16（1+m2）

30、，|AB|2=（y1y2）2+（x1x2）2=（y1y2）2+（）2=（y1y2）21+（）2=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|CD|=|AB|CD|，又CD为圆x2+y22x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y=0或xy=0点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题22已知函数f（x）=（k+）lnx+，其中常数k0（1）讨论f（x）在（

31、0，2）上的单调性；（2）若k4，+），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x1，y1），N（x2，y2）使得曲线y=f（x）在M，N两点处切线互相平行，求x1+x2的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（1）求导函数，对k分类讨论，利用导数的正负，即可得到f（x）在区间（0，2）上的单调性；（2）利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2的取值范围解答：解：（1）f（x）=1=，（x0，k0）当0k2时，且2，x（0，k）时，f（x）0，x（k，2）时，f（x）0，函数f（x）在（0，k）

32、上是减函数，在（k，2）上是增函数，；当k=2时，=k=2，f（x）0恒成立，f（x）在（0，2）上是减函数，当k2时，02，k，x（0，）时，f（x）0，x（，2）时，f（x）0，函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，2）上是增函数；（2）由题意，可得f（x1）=f（x2）（x1，x20，且x1x2），即1=1，化简得4（x1+x2）=（k+）x1x2，而x1x2，4（x1+x2）（k+），即x1+x2对k4，+）恒成立，令g（k）=k+，则g（k）=1=0对k4，+）恒成立，g（k）g（4）=5，x1+x2，故x1+x2的取值范围为（，+）点评：本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题