2023届高考复习专题——数列与数学文化 WORD版含解析.doc

1、2023届高考复习专题数列与数学文化新课程标准（2017版）进一步明确了数学文化在教学中的地位，数学文化作为素养考查的四大内涵之一，以数学文化为背景的试题将是新高考的考察内容，数列与数学文化有着紧密的联系，本文总结了近年来数学文化在数列中出现的真题和模拟题。一、中华传统文化中的数列问题1、(2022鹤壁市高三模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，.我国宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中所记载的“垛积术”，其中的“落形”堆垛就是每层为“三角形数”的堆垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，).若一

2、“落形”三角堆垛有10层，则该堆垛总共球的个数为()A55B220 C285D3852、(2020全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A3 699块B3 474块C3 402块D3 339块二、源于世界数学名题的高考试题1、(湖北高考)已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为_跟踪练习1、我国古代数学典

3、籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？()A2B3 C4D62、(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏3、(多选)(2022福州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学如图，有一列曲线P0，P1，P2，Pn，已知P0是边长为1的等边三角形，Pk1是对Pk进行如下操

4、作而得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k0,1,2，)记Pn的周长为Ln，面积为Sn对于nN，下列结论不正确的是()A为等差数列B为等比数列CM0，使Ln0，使SnM4、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为_5、Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728记bnlg an，其中x表示不超过x的最

5、大整数，如090，lg 991(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和6、设xR，记不超过x的最大整数为x，xxx，则，()A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列也不是等比数列7、满足a1a21，anan1an2(n3)的数列an称为斐波那契数列，又称黄金分割数列依次以斐波那契数列an各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线(也称“黄金螺旋线”)如图，圆心角为90的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，则阴影部分面积与扇形OAB

6、面积的比值为()ABCD8、(多选)南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中出现了球体堆垒的形状，后人称为“三角垛”(其平面图形如图所示)，其中最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设从上到下各层球数构成数列an，则下列说法正确的是()Aa412Ban1ann1Ca1005 050D2an1anan29、一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔则该塔的阶数是()A10B11C12

7、D1310、我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为()A6斤B7斤 C9斤D15斤11、(2022安徽淮北模拟)定义：若数列an对任意的正整数n，都有|an1|an|d(d为常数)，则称an为“绝对和数列”，d叫作“绝对公和”已知“绝对和数列”an中，a12，绝对公和为3，则其前2 023项的和S2 023的最小值为()A2 023B3 010C3 031D3 0272023届高考复习专题数列与数学文化（解析版）新课程标

8、准（2017版）进一步明确了数学文化在教学中的地位，数学文化作为素养考查的四大内涵之一，以数学文化为背景的试题将是新高考的考察内容，数列与数学文化有着紧密的联系，本文总结了近年来数学文化在数列中出现的真题和模拟题。一、中华传统文化中的数列问题1、(2022鹤壁市高三模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，.我国宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中所记载的“垛积术”，其中的“落形”堆垛就是每层为“三角形数”的堆垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，).若一“落形”三角堆垛有10层，则该堆垛总共球的个

9、数为()A55B220 C285D385【解析】“三角形数”的通项公式an，前n项和公式为Sn136，当n10时，S10220.故选B2、(2020全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A3 699块B3 474块C3 402块D3 339块解析由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为an，易知其首项a19，公

10、差d9，所以ana1(n1)d9n设数列an的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差数列，所以2(S2nSn)SnS3nS2n，所以(S3nS2n)(S2nSn)S2n2Sn29n2729，得n9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n3 402，故选C二、源于世界数学名题的高考试题(湖北高考)已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为_解析因为a1为正整数，由数列an的递推公式可得数列an各项均为正整数所以a61a52a44a38或a31，当a38时，可知a216a132或a15当a31时，可知a22a14，因此a1即m所有可

11、能的取值为4,5,32跟踪练习1、我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？()A2B3 C4D6解：(2)不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列an和bn，则由题意可知，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，数列bn是首项为1，公比为的等比数列，设前n天两鼠总共穿墙的厚度之和为Sn，则Sn2n1，当n3时，S310，故两个老鼠在第4天相逢2、(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是

12、：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏解：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比q2，依题意，得S7381，解得a133、(多选)(2022福州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学如图，有一列曲线P0，P1，P2，Pn，已知P0是边长为1的等边三角形，Pk1是对Pk进行如下操作而得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k0,1,2，)记Pn的周长为Ln，面积为Sn对于nN，下列结论不正确的是()A为等

13、差数列B为等比数列CM0，使Ln0，使SnM解析：ABC易知封闭曲线的周长数列Ln的首项L03，公比为，故Ln3n易知Pk的边数为34k，边长为，故Pk1的面积比Pk的面积增加了34k2k，所以Sk1Skk(k0,1,2，)，所以Snn所以，所以不为等差数列也不为等比数列，所以A、B均错误；当n时，Ln3n，所以C错误；而Sn，所以D正确故选A、B、C4、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第10

14、0个数时，甲同学拍手的总次数为_解析：先列出前若干个数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，可以发现第4个、第8个、第12个数能被3整除由此猜想第4k(kN*，k25)个数能被3整除因为依次循环报数中，甲同学为第一个报数，故甲同学所报的数为第1个，第6个，第(5t4)(tN*，t20)个，第96个数，令4k5t4，得4(k1)5t，故t只能取4,8,12,16,20，即甲同学拍手的总次数为55、Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如090，lg 991(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 0

15、00项和解：(1)设数列an的公差为d，由已知得721d28，解得d1所以数列an的通项公式为annb1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012(2)因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311 8936、设xR，记不超过x的最大整数为x，xxx，则，()A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列也不是等比数列解析：因为，1，于是根据等比中项有27、满足a1a21，anan1an2(n3)的数列an称为斐波那契数列，又称黄金分割数列依次以斐波那契数列an各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心

16、角为90的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线(也称“黄金螺旋线”)如图，圆心角为90的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，则阴影部分面积与扇形OAB面积的比值为()ABCD解析：由题意得，a1a21，a32，a43，a55，则阴影部分面积为(aaaaa)(1212223252)10，扇形OAB的面积为16，所以所求比值为8、(多选)南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中出现了球体堆垒的形状，后人称为“三角垛”(其平面图形如图所示)，其中最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设从上到下各层球数构成数列an，则下列说法正确的是()Aa412Ban1ann1Ca1005

17、 050D2an1anan2解析：由题意归纳可知，an则a410，故A错误an1ann1，故B正确a1005 050，故C正确2an1(n1)(n2)，anan2，显然2an1anan2不恒成立，故D错误9、一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔则该塔的阶数是()A10B11C12D13解析：由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四阶共12座则从第五阶后共有1081

18、296座设第五阶塔的数目为a1，则a15，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为an，由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列所以ana1(n1)d52(n1)2n3，所以Sn n24n，所以由Snn24n96，解得n8或n12 (舍去)所以该塔的阶数是481210、我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为()A6斤B7斤 C9斤D15斤解析：设从头到尾每一尺的质量构成等差数列an，则有a14，a52

19、，所以a1a56，数列an的前5项和为S555315，即该金箠共重15斤11、(2022安徽淮北模拟)定义：若数列an对任意的正整数n，都有|an1|an|d(d为常数)，则称an为“绝对和数列”，d叫作“绝对公和”已知“绝对和数列”an中，a12，绝对公和为3，则其前2 023项的和S2 023的最小值为()A2 023B3 010C3 031D3 027解析：选C依题意，要使S2 023的值最小，只需每一项的值都取最小值即可因为a12，绝对公和d3，所以a21或a21(舍去)，所以a32或a32(舍去)，所以a41或a41(舍去)，所以满足条件的数列an的通项公式an所以S2 023a1(a2a3)(a4a5)(a2 022a2 023)2(12)3 031.