2024八年级数学下册 专题突破 第10讲 特殊平行四边形中的动态问题专练（含解析）（新版）浙教版.doc

1、第10讲特殊四边形中的动态问题专练1（南召县期末）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【分析】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得D点坐标为（，），即（1，1）每秒旋转45，则第60秒时，得45602700，27003607.5周，OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（1，1），故选

2、：B2（绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A平行四边形正方形平行四边形矩形B平行四边形菱形平行四边形矩形C平行四边形正方形菱形矩形D平行四边形菱形正方形矩形【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与点B重合时是矩形【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形故选：B3（淮南期中）如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC

3、为边作矩形CFG，且边FG过点D在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A先变大后变小B保持不变C一直变大D一直变小【分析】连接DE，CDE的面积时矩形ECFG面积的一半，也是正方形ABCD面积的一半，则矩形ECFG的面积和正方形ABCD的面积相等【解答】解：连接DE，SCDES矩形ECFG，SCDES正方形ABCD，S矩形ECFGS正方形ABCD，矩形ECFG的面积保持不变，故选：B4（慈溪市模拟）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足

4、（）AAD4AEBAD2ABCAB2AEDAB3AE【分析】设ABa，BCb，BEc，BFx，根据S平行四边形EFGHS矩形ABCD2（SBEF+SAEH）（a2c）x+bc，F为BC上一动点，x是变量，（a2c）是x的系数，根据平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，a2c0，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断【解答】解：设ABa，BCb，BEc，BFx，S平行四边形EFGHS矩形ABCD2（SBEF+SAEH）ab2cx+（ac）（bx）ab（cx+abaxbc+cx）abcxab+ax+bccx（a2c）x+bc，F为BC上一动点，x

5、是变量，（a2c）是x的系数，平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，a2c0，a2c，E是AB的中点，AB2AE，故选：C5（仙桃期末）如图，在菱形ABCD中，AB5cm，ADC120，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒DEF为等边三角形，则t的值为（）ABCD【分析】连接BD，证出ADEBDF，得到AEBF，再利用AEt，CF2t，则BFBCCF52t求出时间t的值【解答】解：连接BD，四边形ABCD是菱形，ABAD，ADBADC60，AB

6、D是等边三角形，ADBD，又DEF是等边三角形，EDFDEF60，又ADB60，ADEBDF，在ADE和BDF中，ADEBDF（ASA），AEBF，AEt，CF2t，BFBCCF52t，t52tt，故选：D6（灌云县期末）如图，在矩形ABCD中，AB10，AD6，动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A10B2C2D8【分析】过P点作MNAB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A，连接AB交MN于点P，AP+PBAB即为所求，由面积关系可得AMAD4，在RtABA中求出AB即可【解答】解：过P点作MNAB，交AD于M，交BC于N，作A点

7、关于MN的对称点A，连接AB交MN于点P，AP+PBAP+PBAB，此时PA+PB的值最小，SPABS矩形ABCD，ABAMBAAD，AMAD，AD6，AM4，AA8，AB10，在RtABA中，AB2，故选：B7（乌海期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE1，若点P为对角线BD上的一个动点，则PAE周长的最小值是（）A3B4C5D6【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案【解答】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，四边形ABCD是正方形，OAOC，ACBD，即A和C关于BD对称，APCP，即AP+PECE，此时

8、AP+PE的值最小，所以此时PAE周长的值最小，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE1，ABC90，BE413，由勾股定理得：CE5，PAE的周长的最小值是AP+PE+AECE+AE5+16，故选：D8如图，在四边形ABCD中，ABDC，ADBC5，DC7，AB13，点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿ADDC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为3秒【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CPBQ，据此列出方程求解即可【解答】解：设运动时间为t秒，则CP123

9、t，BQt，根据题意得到123tt，解得：t3，故答案为：39（越秀区校级期中）如图，菱形ABCD的周长为24，ABD30，点P是对角线BD上一动点，Q是BC的中点，则PC+PQ的最小值是（）A6BCD【分析】点Q和点C是定点，点P在直线BD上一动点，是轴对称最值问题，连接CQ，由菱形的对称性可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ，AQ即为所求【解答】解：如图，由菱形的对称轴可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ，AQ即为所求连接AC，ABD30，四边形ABCD是菱形，ABC60，ABBC，ABC是等边三角形，点Q为BC的中点，AQBC，菱形ABCD的周长为24，ABBC6，在RtABQ中，A

10、BC60，BAQ30，BQAB3，AQBQ3故选：B10（嘉兴）如图，在ABC中，BAC90，ABAC5，点D在AC上，且AD2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AGFG时，线段DE长为（）ABCD4【分析】法一：分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GPFN于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论法二：连接DF，AF，EF，利用中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得DFG是直角三角形，然后再结合全等三角形的判定和性质求勾股定理求解【解答】解：法一、如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂

11、足为M，N，过点G作GPFN于点P，四边形GMNP是矩形，GMPN，GPMN，BAC90，ABAC5，CAAB，又点G和点F分别是线段DE和BC的中点，GM和FN分别是ADE和ABC的中位线，GM1，AMAE，FNAC，ANAB，MNANAMAE，PN1，FP，设AEm，AMm，GPMNm，在RtAGM中，AG2（m）2+12，在RtGPF中，GF2（m）2+（）2，AGGF，（m）2+12（m）2+（）2，解得m3，即AE3，在RtADE中，DE故选：A法二、如图，连接DF，AF，EF，在ABC中，ABAC，CAB90，BC45，点G是DE的中点，点F是BC的中点，AGDGEG，AFBF，A

12、FBC，DAF45，DAFB45，FGAG，FGDGEG，DFE是直角三角形，且DFE90，DFA+AFEBFE+AFE90，DFAEFB，在AFD和BFE中，AFDBFE（ASA），ADBE2，AE3，在RtADE中，DE故选：A11（越城区期末）如图，长方形ABCD的边BC13，E是边BC上的一点，且BEBA10F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BFDG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S

13、2的值为（）A7BC7或D7或【分析】利用矩形及正方形的性质可求解KI2DG10，KHDG3，根据当矩形KILH的邻边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可求解，注意分类讨论【解答】解：在矩形ABCD中，ABCD10，ADBC13四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BFDG，四边形KILH为矩形，KIHL2DGAB2DG10BEBA10，LGEC3，KHILDGLGDG3当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG3）：（2DG10）3：4，或（2DG10）：（DG3）3：4，解得DG9或，当DG9时，则CG1，KH6，KI8，AJ4，AF1，S

14、1+S231+417；当DG，则CG，KH，KI，AJ，AF，S1+S2+3，故选：C12（麦积区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（4，3），或（1，3），或（9，3）【分析】先由矩形的性质求出OD5，分情况讨论：（1）当OPOD5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PDOD5时；作PEOA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；作PFOA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果【解答】解：A（10，0），C（0，3

15、），OA10，OC3，四边形OABC是矩形，BCOA10，ABOC3，D是OA的中点，ADOD5，分情况讨论：（1）当OPOD5时，根据勾股定理得：PC4，点P的坐标为：（4，3）；（2）当PDOD5时，分两种情况讨论：如图1所示：作PEOA于E，则PED90，DE4，PCOE541，点P的坐标为：（1，3）；如图2所示：作PFOA于F，则DF4，PCOF5+49，点P的坐标为：（9，3）；综上所述：点P的坐标为：（4，3），或（1，3），或（9，3）；故答案为：（4，3），或（1，3），或（9，3）13（安徽一模）如图，在矩形ABCD中，AB1，BC3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动

16、点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若AEF是等腰三角形，则DF的长为或1或或1+【分析】依据矩形的性质，即可得出BEODFO（AAS），进而得到OFOE，DFBE设BEDFa，则AF3a当AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论根据勾股定理列方程即可得到DF的长【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADBC，OBOD，FDOEBO，DFOBEO，BEODFO（AAS），OFOE，DFBE设BEDFa，则AF3a当AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论如图（1），当AEAF时，在RtABE中，由AE2AB2+BE2，得（3a）212+a2，解得如图（2），当AEEF时，过点E作

17、EHAD于点H，则AHFHBE，AF2BE，3a2a，解得a1如图（3），当AFEF时，FAEFEA又FAEAEB，FEAAEB过点A作AGEF于点G，则AGAB1，EGBEa，FG32a在RtAFG中，由AF2AG2+FG2，得（3a）212+（32a）2，解得，（舍去）如图4中当AFEF时，同法可得DF1+综上所述，DF的长为或1或或1+故答案为：或1或或1+14如图，在矩形ABCD中，AD4，点P是直线AD上一动点，若满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2【分析】要求直线AD上满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：当ABAD时；当ABA

18、D时，当ABAD时【解答】解：如图，当ABAD时满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，P1BC，P2BC是等腰直角三角形，P3BC是等腰直角三角形（P3BP3C），则ABAD4当ABAD，且满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，易知P2是AD的中点，P1BC是等腰三角形，BP1BC，同理：BCCP3，只有P2BC是等边三角形时，PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，BCBP1BP2CP2CP3BP2，又BP1BC，4AB2当ABAD时，直线AD上只有一个点P满足PBC是等腰三角形故答案为：4或215（温州模拟）如图，矩形ABCD中，AB：AD2：1，点E为AB的中点，点F为EC

19、上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（）A2B3C4D6【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为为BP1的长，由勾股定理求解即可【解答】解：如图，当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF，点P的运动轨迹是线段P1P2，.当BPP1P2时，PB取得最小值矩形

20、ABCD中，AB：AD2：1，设AB2t，则ADt，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP1t，ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BCt，BP1t3，t3故选：B16（嘉兴期末）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连结DE，EF，FD若ABC的面积的为18cm2，则DEF的面积是4.5cm2【分析】连接BE，根据三角形的面积公式求出AEB的面积，进而求出DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DEBC，得到DEF的面积DE

21、B的面积，得出答案【解答】解：连接BE，点E是AC的中点，ABC的面积的为18cm2，AEB的面积ABC的面积9（cm2），点D是AB的中点，DEB的面积AEB的面积4.5（cm2），D，E分别是AB，AC的中点，DEBC，DEF的面积DEB的面积4.5（cm2），故答案为：4.517（天河区校级期中）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（3，5），点D在线段AO上，且AD2OD，点E在线段AB上（1）求D点的坐标；（2）当CDE的周长最小时，找出点E的位置并求点E的坐标和CDE的周长最小值【分析】（1）根据点的坐标性质求出OA，根据题意求出OD，得到D点的坐标；（2）根据

22、轴对称最短路径确定点E的位置，利用待定系数法求出直线CD的解析式，进而求出点E的坐标，根据勾股定理求出CDE的周长最小值【解答】解：（1）四边形AOCB是矩形，B（3，5），OA3，OC5，AD2OD，AD2，OD1，D点的坐标为（1，0）；（2）作点D关于直线AB的对称点D，连接CD交AB于点E此时EC+ED最小，即DCE的周长最小，由题意得，点D的坐标为（5，0），设直线CD的解析式为ykx+b，则，解得，直线CD的解析式为yx+5，当x3时，y2，E（3，2），在RtCDO中，CD5，在RtCDO中，CD，CDE的周长最小值为5+，18（兖州区期末）已知：如图，在边长为1的正方形ABCD

23、中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PEPB，PE交边CD于点E，过点E作EFAC，垂足为F（1）求证：PBPE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由【分析】（1）过点P作PGBC于G，过点P作PHDC于H，如图1要证PBPE，只需证到PGBPHE即可；（2）连接BD，如图2易证BOPPFE，则有BOPF，只需求出BO的长即可【解答】（1）证明：过点P作PGBC于G，过点P作PHDC于H，如图1四边形ABCD是正方形，PGBC，PHDC，GPCACBACDHPC45PGPH，GPHPGBPHE9

24、0PEPB，即BPE90，BPG90GPEEPH在PGB和PHE中，PGBPHE（ASA），PBPE（2）解：连接BD，如图2四边形ABCD是正方形，BOP90PEPB，即BPE90，PBO90BPOEPFEFPC，即PFE90，BOPPFE在BOP和PFE中，BOPPFE（AAS），BOPF四边形ABCD是正方形，OBOC，BOC90，BCOBBC1，OB，PFOB点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为19（永嘉县校级模拟）如图，等腰ABC中，已知ACBC2，AB4，作ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒2个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F（1）求证：四边形

25、BCFE是平行四边形；（2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由；（3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t的值答：t秒或5秒或2秒【分析】（1）根据等腰三角形的性质得：BBAC，再由角平分线定义和三角形外角的性质可解答；（2）如图2，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可解答；（3）分三种情况：EFCF；CECF；CEEF；分别列方程可解答【解答】（1）证明：如图1，ACBC，BBAC，CF平分ACH，ACFFCH，ACHB+BACACF+FCH，FCHB，B

26、ECF，EFBC，四边形BCFE是平行四边形；（2）解：四边形AECF是矩形，理由是：如图2，E是AB的中点，ACBC，CEAB，AEC90，由（1）知：四边形BCFE是平行四边形，CFBEAE，AECF，四边形AECF是矩形；（3）解：分三种情况：以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，BEBC，即2t2，t；以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，过C作CDAB于D，ACBC，AB4，BD2，由勾股定理得：CD6，EG2EC2，即（2t）262+（2t2）2，t5；以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图5，CAAFBC，此时E

27、与A重合，t2，综上，t的值为秒或5秒或2秒；故答案为：秒或5秒或2秒20如图1，已知ABC和DEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD及CF（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD0.3cm，ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ABC运动时间为t秒，如图2，当t为何值时，ADFC是菱形？请说明你的理由；如图3，ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由【分析】（1）由等边三角形的性质易证ACDF，ACBFDE60，推出ACDF，即可得出结论；（2）根据ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，所

28、以当t秒时，B与D重合、C与E重合，由等边三角形的性质即可得出四边形ADFC为菱形；若ADFC是矩形，则ADF90，E与B重合，得出t1.3秒，由勾股定理求出AD的长，即可得出结果【解答】（1）证明：ABC和DEF是两个边长都为1cm的等边三角形，ACDF1cm，ACBFDE60，ACDF，四边形ADFC是平行四边形；（2）当t0.3秒时，平行四边形ADFC是菱形，理由如下：ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，当t（秒）时，B与D重合、C与E重合，则ADACDEDFFC，平行四边形ADFC是菱形；ADFC有可能是矩形，若ADFC是矩形，则ADF90，ADC906030同理DAB30AD

29、C，BABD，同理ECEF，E与B重合，t（1+0.3）11.3（秒），此时，在RtADF中，ADF90，DF1cm，AF2cm，AD（cm），矩形ADFC的面积ADDF1（cm2）21（上城区校级期末）如图，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC，设MN交ACB的平分线于点E，交ABC的外角ACD的平分线于点F（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由（2）当点O运动到何处，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE不可能是菱形（填“可能”或“不可能”）请说明理由【分析】（1）由直线MNBC，MN交BCA的平分线于

30、点E，交BCA的外角平分线于点F，易证得OEC与OFC是等腰三角形，则可证得OEOFOC；（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OAOC，所以O为AC的中点，同样在ABC中，当ACB90时，可满足其为正方形；（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直【解答】解：（1）OEOF理由如下：CE是ACB的角平分线，ACEBCE，又MNBC，NECECB，NECACE，OEOC，CF是BCA的外角平分线，OCFFCD，又MNBC，OFCFCD，OFCOCF，OFOC，OEOF；（2）当点O运动到AC的中点，且ABC满足ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形理由如下：当点O运动到AC的中点时，AOCO，又EOFO，四边形AECF是平行四边形，FOCO，AOCOEOFO，AO+COEO+FO，即ACEF，四边形AECF是矩形已知MNBC，当ACB90，则AOFCOECOFAOE90，ACEF，四边形AECF是正方形；（3）不可能理由如下：如图，CE平分ACB，CF平分ACD，ECFACB+ACD（ACB+ACD）90，若四边形BCFE是菱形，则BFEC，但在GFC中，不可能存在两个角为90，所以不存在其为菱形故答案为不可能