河南省郑州市登封市2016届高三上学期期中数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年河南省郑州市登封市高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|y=，且AB=B，则集合B可能是（）A1，2，3Bx|1x1C2，2DR2如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=（）A34iB5+4iC54iD34i3已知命题p：x0，x+2，则p为（）A2B2C2D24函数f（x）的导数为题f（x）若函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f（x）在区间（a，b）内无零点命题P的逆命题，否命题，逆否命题中，正确的个数是（）A0B1C2D35由曲线xy=1，直

2、线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）AB2ln3C4+ln3D4ln36数列an前n项和为Sn，a1=1，a2=3，且an+2=|an+1an|（nN*），则S2015=（）A1342B1344C1346D13487下列函数中，既是奇函数又在区间2，2上单调递增的是（）Af（x）=sinxBf（x）=ax+ax（a0，a1）Cf（x）=lnDf（x）=axax，（a0，a1）8设是第三象限，cos（+）cos+sin（+）sin=，则tan=（）A3B2C2D39等比数列an的前n项和Sn为，并且对任意的正整n数成立Sn+2=4Sn+3，则a2=（）A2B6C2或6D2或610设是两个

3、非零的平面向量，给出下列说法若=0，则有；若存在实数，使，则；若，则存在实数，使得其中说法正确的个数是（）A1B2C3D411设a=log50.5，b=log20.3，c=log0.32则（）AbacBbcaCcbaDabc12已知方程在（0，+）有两个不同的解，（），则下面结论正确的是（）ABCD二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13求值： =14等差数列an的前n项和为Sn，a1=20，an=54，Sn=999，则公差d=15在ABC中，已知若cosA=，则tanB=16用mina，b表示a，b二个数中的较小者设f（x）=min，则f（x）的最大值为三.解答题：解答应写出文字说明，证明

4、过程或演算步骤17命题P：存在实数x，x22cx+c0；命题Q：|x1|x+2c0对任意xR恒成立若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围18已知向量，函数f（x）=（）求函数f（x）的解析式，并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f（x）在0，上的图象；（须列表）（）该函数的图象由y=sinx（xR）的图象经过怎样的变化得到？19已知f（x）=x3ax23x，其中aR（1）当a=4时，求f（x）在1，1上的最大值；（2）若f（x）在1，+）上存在单调递减区间，求a的取值范围20如图，在ABC中，ACB为钝角，AB=2，BC=D为AC延长线上一点，且CD=+1（）求BCD的大小；（）求BD的

5、长及ABC的面积21在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列aij表示位于第i a11a12a13a21a22a23a31a32a33行第j列的数，其中，a42=1，（） 求q的值；（） 求aij的计算公式；（）设数列bn满足bn=ann，bn的前n项和为Sn，求Sn22已知函数f（x）=lnx+x22ax+1，g（x）=ex+x22ax+1，（a为常数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）证明：|f（x）g（x）|22015-2016学年河南省郑州市登封市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共1

6、2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|y=，且AB=B，则集合B可能是（）A1，2，3Bx|1x1C2，2DR【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算【分析】化简集合A=x|y=，得到x应满足：x0，即A=x|x0，易知答案【解答】解：集合A=x|y=，x应满足：x0，A=x|x0，AB=B，BA1，2，3A故选：A2如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=（）A34iB5+4iC54iD34i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】在复平面内，点A对应的复数为z=2+i，再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：在复

7、平面内，点A对应的复数为z=2+i，则复数z2=（2+i）2=34i故选：D3已知命题p：x0，x+2，则p为（）A2B2C2D2【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：命题p为全称命题，则命题的否定为：2，故选：D4函数f（x）的导数为题f（x）若函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f（x）在区间（a，b）内无零点命题P的逆命题，否命题，逆否命题中，正确的个数是（）A0B1C2D3【考点】四种命题【分析】可先判断出原命题与其逆命题的真假，根据四种命题的等价关系即可判断出真命题的个数【解答】解：函数f（x）的导数为f（x）若函数在区间f（x）在

8、区间（a，b）内无极值点，则f（x）在区间（a，b）内无零点，故原命题为真正确，则逆否命题为真命题，其逆命题为：函数f（x）的导数f（x），若f（x）在区间（a，b）内无零点，则函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，逆命题也是真命题，由此可知命题的否命题也是真命题，因为原命题的逆命题与否命题是等价命题综上可知：命题p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是3故选：D5由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）AB2ln3C4+ln3D4ln3【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形

9、的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3）dx+=（3xlnx）+2=3ln31+2=4ln3故选D6数列an前n项和为Sn，a1=1，a2=3，且an+2=|an+1an|（nN*），则S2015=（）A1342B1344C1346D1348【考点】数列的求和【分析】a1=1，a2=3，且an+2=|an+1an|（nN*），可得a3=|a2a1|=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，可得：从第4项开始为周期数列，其周期T=3

10、即可得出【解答】解：a1=1，a2=3，且an+2=|an+1an|（nN*），a3=|a2a1|=2，a4=|a3a2|=1，a5=|a4a3|=1，a6=|a5a4|=0，a7=|a6a5|=1，a8=1，a9=0，可得：从第4项开始为周期数列，其周期T=3S2015=a1+a2+a3+（a4+a5+a6）670+a4+a5=6+2670+2=1348故选：D7下列函数中，既是奇函数又在区间2，2上单调递增的是（）Af（x）=sinxBf（x）=ax+ax（a0，a1）Cf（x）=lnDf（x）=axax，（a0，a1）【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】分别判断四个答

11、案中是否满足既是奇函数又在2，2上单调递增，易得到答案【解答】解：Asinx在上单调递减；Bf（0）=20，f（x）不是奇函数；Cf（x）=ln=ln=f（x），f（x）是奇函数，设x1，x22，2，且x1x2，则f（x1）f（x2）=lnln=ln，x1x2，3+x13+x2，3x23x1，1，ln0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）在区间2，2上单调递增，Df（x）=（ax+ax）lna；0a1时，lna0，f（x）0；f（x）单调递减故选：C8设是第三象限，cos（+）cos+sin（+）sin=，则tan=（）A3B2C2D3【考点】两角和与差的正弦函数【分析】

12、由条件利用两角差的余弦公式求得cos=，可得sin的值，再利用半角公式求得tan的值【解答】解：是第三象限，cos（+）cos+sin（+）sin=cos（+）=cos=，sin=，则tan=2，故选：B9等比数列an的前n项和Sn为，并且对任意的正整n数成立Sn+2=4Sn+3，则a2=（）A2B6C2或6D2或6【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的公比为q，由等比数列可得Sn+2=q2Sn+a1（1+q），比较已知式子可得a1和q，可得a2【解答】解：设等比数列an的公比为q，由等比数列可得Sn+1=qSn+a1，Sn+2=q（qSn+a1）+a1=q2Sn+a1（1+q），

13、由已知式子Sn+2=4Sn+3比较可得q2=4，a1（1+q）=3，联立解得或，当时，a2=a1q=2；当时，a2=a1q=6故选：C10设是两个非零的平面向量，给出下列说法若=0，则有；若存在实数，使，则；若，则存在实数，使得其中说法正确的个数是（）A1B2C3D4【考点】平面向量数量积的运算【分析】若=0，则有=，即可判断出正误；利用数量积的定义即可判断出正误；若存在实数，使，则=， =，即可判断出正误；由于，当且仅当与同向共线时，即可判断出正误【解答】解：若=0，则有=，正确；=|，因此不正确；若存在实数，使，则=， =，因此不正确；，当且仅当与同向共线时，因此存在实数，使得，正确其中说

14、法正确的个数是2故选：B11设a=log50.5，b=log20.3，c=log0.32则（）AbacBbcaCcbaDabc【考点】对数值大小的比较【分析】化简可得log20.31，log50.51，log0.321；再化简log0.32=，log50.5=，从而比较大小【解答】解：log50.5log50.2=1，log20.3log20.5=1，log20.3log20.25=2；log0.32log0.3=1；log0.32=，log50.5=，1lg0.2lg0.30，；即ca；即bca；故选B12已知方程在（0，+）有两个不同的解，（），则下面结论正确的是（）ABCD【考点】根的存

15、在性及根的个数判断；两角和与差的正切函数【分析】利用x的范围化简方程，通过方程的解转化为 函数的图象的交点问题，利用相切求出的正切值，通过两角和的正切函数求解即可【解答】解：，要使方程在（0，+）有两个不同的解，则y=|sinx|的图象与直线y=kx（k0）有且仅有两个公共点，所以直线y=kx与y=|sinx|在内相切，且切于点（，sin），由，故选C二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13求值： =2【考点】对数的运算性质【分析】利用对数的运算性质lgMlgN=lg以及lgMn=nlgM进行化简运算即可得到答案【解答】解： =，=2故答案为：214等差数列an的前n项和为Sn，a1=20，

16、an=54，Sn=999，则公差d=【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a1=20，an=54，Sn=999，解得n=27，d=故答案为：15在ABC中，已知若cosA=，则tanB=【考点】平面向量数量积的运算【分析】设ABC的三边分别是a，b，c，运用向量数量积的定义和正弦定理，结合同角的平方关系和商数关系，化简即可得到所求值【解答】解：设ABC的三边分别是a，b，c，由，可得cbcosA=2cacosB，由正弦定理可得，sinBcosA=2sinAcosB，则tanB=2tanA，由cosA=，可得si

17、nA=，则tanA=，即有tanB=故答案为：16用mina，b表示a，b二个数中的较小者设f（x）=min，则f（x）的最大值为2【考点】函数的最值及其几何意义；对数值大小的比较【分析】讨论当+3log2x，当+3log2x，由对数函数的单调性可得x的范围，f（x）的解析式，再由单调性求得最大值【解答】解：当+3log2x，即为3log2xlog2x，即log2x3，解得x4，即有f（x）=+3，当x=4时，取得最大值31=2；当+3log2x，解0x4，即有f（x）=log2x，由f（x）递增，则f（x）2综上可得f（x）的最大值为2故答案为：2三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演

18、算步骤17命题P：存在实数x，x22cx+c0；命题Q：|x1|x+2c0对任意xR恒成立若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】关于命题P：存在实数x，x22cx+c0，即存在实数x，使得（xc）2c2c即可，只需c2c0，解得c范围命题Q：|x1|x+2c0，化为2cx|x1|，令f（x）=x|x1|=，可得f（x）1即可得出c的取值范围若P或Q为真，P且Q为假，P与Q必然一真一假【解答】解：关于命题P：存在实数x，x22cx+c0，即存在实数x，使得（xc）2c2c即可，只需c2c0，解得：c0或c1，P真：c0或c1；命题Q：|x1|x+2c0，化为2c

19、x|x1|，令f（x）=x|x1|=，f（x）12c1，解得c若P或Q为真，P且Q为假，P与Q必然一真一假或，解得c0或因此c的取值范围是18已知向量，函数f（x）=（）求函数f（x）的解析式，并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f（x）在0，上的图象；（须列表）（）该函数的图象由y=sinx（xR）的图象经过怎样的变化得到？【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，列表，描点，连线即可用“五点法”作出函数f（x）在0，上的图象；（）根据函数y=Asin（x+）的图象变

20、换规律即可得解【解答】（本小题满分12分）解：（）f（x）=3sinxcosxsin2x+cos2x=3sin（2x+） 令X=2x+，则f（x）=3sin（2x+）=2sin X列表： x 0 X 0 2 y=sinX 0 1 01 0 f（x）=3sin（2x+） 0 2 02 0描点画图：（2）法一：把y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin（x+）的图象；再把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin（2x+）的图象；最后把y=sin（2x+）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=3sin（2x

21、+）的图象法二：将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin 2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象；再将y=sin（2x+）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），即得到y=3sin（2x+）的图象19已知f（x）=x3ax23x，其中aR（1）当a=4时，求f（x）在1，1上的最大值；（2）若f（x）在1，+）上存在单调递减区间，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间

22、，从而求出函数的最大值即可；（2）求出函数的导数，根据二次函数的性质求出a的范围即可【解答】解：（1）f（x）=x34x23x，f（x）=3x28x3=（3x+1）（x3），f（x）在（1，）上单调递增，在（，1）上单调递减，f（x）max=f（）=；（2）f（x）=3x22ax3，f（x）在1，+）上存在单调递减区间f（1）0，解得：a0，无解，综上：a020如图，在ABC中，ACB为钝角，AB=2，BC=D为AC延长线上一点，且CD=+1（）求BCD的大小；（）求BD的长及ABC的面积【考点】余弦定理的应用【分析】（）利用正弦定理求出BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；（）在BCD中，由

23、余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长，即可求解ABC的面积【解答】（本小题满分13分）解：（）在ABC中，因为，由正弦定理可得，即，所以因为ACB为钝角，所以所以 （）在BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC22CBDCcosBCD，即，整理得BD=2在ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC22ABACcosA，即，整理得解得因为ACB为钝角，所以ACAB=2所以所以ABC的面积21在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列aij表示位于第i a11a12a13a21a22a23a31a32a33行第j列的数，其

24、中，a42=1，（） 求q的值；（） 求aij的计算公式；（）设数列bn满足bn=ann，bn的前n项和为Sn，求Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（）设第4列公差为d，则d=可得a44=a54d，于是q2=解出即可（）在第4列中，ai4=a24+（i2）d由于第i行成等比数列，且公比，可得aij=（）由（）可得即bn=Sn=b1+b2+b3+bn=a11+a22+a33+ann利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（）设第4列公差为d，则故，于是由于aij0，q0，故（）在第4列中，由于第i行成等比数列，且公比，（）由（）可得即bn=Sn=b1+b2+

25、b3+bn=a11+a22+a33+ann即，故两式相减，得=，22已知函数f（x）=lnx+x22ax+1，g（x）=ex+x22ax+1，（a为常数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）证明：|f（x）g（x）|2【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出导数，（x0），再讨论g（x）=2x22ax+1的取值情况即可；（）|f（x）g（x）|=|lnxex|=exlnx，只需F（X）=exlnx，的最小值大于2即可【解答】（本小题满分12分）解：（）（x0），记g（x）=2x22ax+1当a0时，因为x0，所以g（x）10，函数f（x）在（0，+）上单调递增；当时，因为=4（a22）0，所以g（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增；当时，由，解得，所以函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增（2）f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+），|f（x）g（x）|=|lnxex|=exlnx，令F（X）=exlnx，所以F（x）单调递增因为，所以存在唯一使得，且当x（0，x0）时F（x）0，F（x）递减； 当x（x0，+）时F（x）0，F（x）当递增；所以故|f（x）g（x）|22017年1月15日