4.4 数学归纳法-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）.doc

1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第四章：数列4.4数学归纳法【考点梳理】考点一数学归纳法1数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当nn0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以当“nk(kN*，kn0)时命题成立”为条件，推出“当nk1时命题也成立”只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k1)也为

2、真结论：P(n)为真3. 数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当nn0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k1)也为真只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n01)真P(k)真，P(k1)真，从而完成证明【题型归纳】题型一：数学归纳法证明恒等式1（2021江苏高二专题练习）用数学归纳法证明2（2020全国高二课时练习）122+232+342+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立？并说明你的结论.题型二：数学归纳法证明整除问题3（2021陕西西北工业大学附属中学高二月

3、考（理）用数学归纳法证明：能被整除4（2021河南高二月考（理）用两种方法证明：能被49整除题型三：数学归纳法证明数列问题5（2021全国高二课时练习）已知数列满足，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明6（2021全国高二课时练习）已知数列an满足a1，前n项和Snan.（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.题型四：数学归纳法证明不等式7（2021全国高二单元测试）求证：，nN*8（2021全国高二课时练习）试用数学归纳法证明.【双基达标】一、单选题9（2021全国高二课时练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk到nk1时，左边增加了（ ）A1

4、项Bk项C2k1项D2k项10（2021全国高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ）A假设时命题成立B假设时命题成立C假设时命题成立D假设时命题成立11（2021全国高二单元测试）用数学归纳法证明不等式 (n2)的过程中，由nk递推到nk1时，不等式的左边（ ）A增加了一项B增加了两项，C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项12（2021全国高二课时练习）用数学归纳法证明“1aa2a2n1”在验证n1时，左端计算所得项为（ ）A1aB1aa2C1aa2a3D1aa2a3a413（2021陕西咸阳百灵学校高二期中（理）用数学归纳法证明

5、：14（2021江苏高二专题练习）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A假设当时成立，再推出当时成立B假设当时成立，再推出当时成立C假设当时成立，再推出当时成立D假设当时成立，再推出当时成立15（2021全国高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Snna1d时，假设当nk时，公式成立，则Sk（ ）Aa1(k1)dBCka1dD(k1)a1d16（2021江苏高二课时练习）用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（ ）ABCD17（2021全国高二课时练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）AB

6、CD18（2021江苏高二专题练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）A若成立，则成立B若成立，则当时，均有成立C若成立，则成立D若成立，则当时，均有成立【高分突破】一：单选题19（2021全国高二专题练习）用数学归纳法证明n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2(nN*)时，若记f(n)n(n1)(n2)(3n2)，则f(k1)f(k)等于（ ）A3k1B3k1C8kD9k20（2020全国高二课时练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）时等式成立ABCD21（2021全国高二专题练习）

7、用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ）A假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立B假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立C假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立D假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立22（2021江苏高二专题练习）现有命题“，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（ ）A不能用数学归纳法判断此命题的真假B此命题一定为真命题C此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题D存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题23（2021全国高二课时练习）用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（ ）A第一步应该验证当时不等式

8、成立B从“到”左边需要增加的代数式是C从“到”左边需要增加项D从“到”左边需要增加的代数式是24（2021全国高二课时练习）用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（ ）A增加一项B增加两项、C增加，且减少一项D增加、，且减少一项25（2021安徽省肥东县第二中学高二月考（理）用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（ ）ABCD26（2021全国高二课时练习）对于不等式 n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n1时， 11，不等式成立（2）假设当nk(kN*)时，不等式成立，即 k1，则当nk1时，(k1)1，nk1时，不等式成立，则上述证法（ ）A过程全部

9、正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确二、多选题27（2021全国高二课时练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）A若成立，则成立B若成立，则当时，均有成立C若成立，则成立D若成立，则当时，均有成立28（2021江苏高二专题练习）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（ ）A若对成立，则对所有正整数都成立B若对成立，则对所有正偶数都成立C若对成立，则对所有正奇数都成立D若对成立，则对所有自然数都成立29（2021全国高二课时练习）已知一个命题p(k)，k2n(nN*)，若当n1，2，1000时，

10、p(k)成立，且当n1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）Ap(k)对k528成立Bp(k)对每一个自然数k都成立Cp(k)对每一个正偶数k都成立Dp(k)对某些偶数可能不成立30（2021全国高二单元测试）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（ ）A当时，命题不成立B当时，命题可能成立C当时，命题不成立D当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立三、填空题31（2021全国高二单元测试）用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式_成立即可32（2021全国高二课时练习）已知数列a

11、n的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_.33（2021全国高二课时练习）已知f(n)1 (nN*)，证明不等式f(2n)时，f(2k1)比f(2k)多的项数是_.34（2021全国高二课前预习）用数学归纳法证明 (nN*)的过程如下：（1）当n1时，左边1，右边2111，等式成立；（2）假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时等式也成立.由此可知对于任何nN*，等式都成立.上述证明的错误是_.35（2021全国高二课时练习）用数学归纳法证明关于的恒等

12、式，当时，表达式为，则当时，表达式为_.四、解答题36（2020安徽省明光中学高二月考（理）已知数列满足，.（1）求，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；（2）用数学归纳法证明：当时，.37（2021全国高二课时练习（理）已知数列满足，.（1）求、；（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.38（2021全国高二专题练习）已知数列的前n项和为，其中且.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并证明39（2021全国高二专题练习）已知数列的前项和为，且.（1）求、；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.40（2021全国高二课时练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，

13、数列满足：数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，证明9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案详解】1【详解】证明：（1）当时，左边，右边，左边=右边，等式成立.（2）假设当时，等式成立，即，则当时，即当时，等式成立，由（1）（2）可知，对一切等式成立.2存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立，证明见解析.【详解】假设存在常数a，b，c，使等式对于一切正整数n成立，令n=1，2，3得整理得解得令Sn=122+232+342+n(n+1)2.于是对于n=1，2，3，等式Sn=(3n2+11n+10)成立.用数学归纳法证明等式对于一切都成立，过程如下

14、：当n=1时，已得等式成立.假设)时，等式成立，即Sk=(3k2+11k+10)，则n=k+1时，Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=k(3k+5)+12(k+2)=3(k+1)2+11(k+1)+10，当n=k+1时，等式也成立.根据可以断定，对于一切等式都成立.所以存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立.3【详解】当时，又，能被整除；假设当时，能被整除，即，那么当时，能被整除；综上所述：能被整除.4【详解】证明：方法一：因为为整数，所以能被49整除方法二：（1）当时，能被

15、49整除（2）假设当，能被49整除，那么，当，因为能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即当时命题成立，由（1）（2）知，能被49整除5，证明见解析【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.【详解】由，可得由，可得同理可得，归纳上述结果，猜想下面用数学归纳法证明这个猜想（1）当时，式左边，右边，猜想成立（2）假设当时，式成立，即，那么，即当时，猜想也成立由（1）（2）可知，猜想对任何都成立6（1）a2=，a3，a4（2）an，证明见解析【分析】（1）用赋值法即可求解；（2）结合（1）的答案猜想出an，再数学归纳法的步骤证明即可.（1）a1，前n项和Snan，

16、令n2，得a1a23a2，a2a1.令n3，得a1a2a36a3，a3.令n4，得a1a2a3a410a4，a4.（2）猜想an，下面用数学归纳法给出证明.当n1时，结论成立；假设当nk(kN*，k1)时，结论成立，即ak，则当nk1时，Skak，Sk1ak1，即Skak1ak1，ak1ak1，ak1，ak1，当nk1时结论成立.由可知，对一切nN*都有an成立.7证明见解析【分析】由已知结合数学归纳法即可求解【详解】证明：（1）当n1时，因为1，所以原不等式成立（2）假设nk(kN*)时，原不等式成立，即有，当nk1时，因此，欲证当nk1时，原不等式成立，只需证明成立，即证，从而转化为证，也

17、就是证又k2k10，从而于是当nk1时，原不等式也成立由（1）（2）可知，当n是一切正整数时，原不等式都成立8证明见解析【分析】根据数学归纳法的步骤即可证明【详解】（1）当时，左边，右边，不等式成立；（2）假设当时，原不等式成立，即，当时，即，所以，当时，不等式也成立根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立9D【分析】写出与时左边的式子，对比即可求解【详解】由题意知：时，左边为，当时，左边为，增加项为：共项.故选：D10C【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，归纳假设应写成：假设时命题成立故选：

18、C11C【分析】将nk、nk1代入不等式左边，比较两式即可求解.【详解】nk时，左边为，nk1时，左边为，比较可知C正确.故选：C12C【分析】将n1代入即得.【详解】由知，当时，等式的左边是.故选：C.13答案见解析【分析】根据数学归纳法的步骤即可证出【详解】当时，左边，右边，左边右边；假设当时，等式成立，即，那么，当时，即等式也成立，综上，对一切，等式恒成立14B【分析】根据数学归纳法的步骤，即可判断选项.【详解】第二步假设当时成立，再推出当时成立.故选：B.15C【分析】只需把公式中的n换成k即可【详解】假设当nk时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Skka1d.故选: C16B

19、【分析】根据题意表示出和，然后代入计算即可.【详解】由题意，所以.故选：B.17B【分析】根据数学归纳法的步骤，结合数学归纳法的步骤进行验证，即可求解.【详解】因为，故数学归纳法应验证的情况，即.故选：B.18D【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；再根据题意可得若f(3)4成立，则当k3时，均有f(k)k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；选项B中，若f(3)4成立，则当k3时，均有f(k)k+1成立，故B错误；根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.故选：D.19C【分析】根据

20、题意，写出的表达式，然后求差即得，注意表达式的起始项、终止项和中间项的变化.【详解】因为f(k)k(k1)(k2)(3k2)，f(k1)(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)，则f(k1)f(k)3k13k3k1k8k.故选：C.20B【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论.【详解】若已假设（为偶数）时命题为真，因为只能取偶数，所以还需要证明成立故选：B21D【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案.【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为：假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立，即当（为正整数）时，能被整除，再证时，能被整除.故选：D.22B【分

21、析】直接用数学归纳法证明即可【详解】当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；假设时，等式成立，即，则当时，即当时，等式成立综上，对任意，等式恒成立，故选：B23D【分析】根据题意可知可以判定A错误；根据n=k+1和n=k时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.【详解】第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.故选:D.24D【分析】理解数学归纳法到步骤，结合不等式的差异确定增减项即可.【详解】由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，那么时，有：，综上知：不等式左边需要增加、，且减少一

22、项故选：D25C【详解】当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是.故选：C.26D【分析】根据数学归纳法的定义即可判断答案.【详解】在nk1时，没有应用nk时的归纳假设.故选:D.27AD【详解】对于A：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.若成立，则成立，故A正确；对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；对于C：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.故若成立，则成立，所以C错误；对于D：根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立，故D正确.故选：AD28BC【详解】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若

23、对成立，则对所有正偶数都成立.故选：BC29AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.【详解】由题意知p(k)对k2，4，6，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.故选：AD30AD【详解】如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确；如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确；当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D正确.故选：AD31【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.【详解

24、】假设时成立，即成立，当时，故只需证明“”成立即可故答案为：.32Sn【详解】S11，S2，S3，S4，猜想Sn.故答案为：Sn332k【分析】由f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出f(2k)和f(2k1)进行比较可得答案【详解】观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(2k)多了2k项.故答案为：2k34未用归纳假设【分析】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案.【详解】本题在由nk成立，证nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.故答案为：未用归纳假设35【分析】当

25、时可确定表达式左侧增加的项和右侧的形式，进而得到结果.【详解】当时，表达式左侧为：，表达式右侧为：，则当时，表达式为.故答案为：.36（1），（2）证明见解析【分析】（1）由，2，可求得，继而可求得，由此猜想的一个通项公式：（2）证明，利用数学归纳法证明：易证当时，不等式成立；假设当时结论成立，即，去推证时，结论也成立即可.【详解】（1）由，得；由，得；由，得；由此猜想的一个通项公式：.（2）先证明：下面用数学归纳法证明当时，成立假设当时成立即，那么当时，即当时也成立所以再证明当时，当时，不等式成立，假设当时结论成立，即，当时，而，所以即时，结论也成立由和可知，当时，.【点睛】本题考查了数列的

26、递推公式，数学归纳法，考查计算、推理与证明的能力，属于中档题37（1），；（2）,证明见解析.【分析】（1）依据递推关系可求、.（2）根据（1）可猜测，按照数学归纳法的基本步骤证明即可.【详解】（1），；（2）猜想数列通项公式，证明如下：当时，所以成立；假设时成立，即 ，当时， ，时，成立，综上，由得： .38（1），；（2）猜想，证明见解析.【分析】（1）由，且，分别令，即可求得的值；（2）由，猜想：，利用数学归纳法，即可证明.【详解】（1）由题意，数列满足，且，可得， 即，又由，可得，可得.（2）由，猜想：，证明：当时，由（1）可知等式成立；假设时，猜想成立，即，当时，由题设可得，所以，又

27、由，所以，所以，即当时，命题也成立，综上可得，命题对任意都成立.39（1），；（2），证明见解析.【分析】（1）由，分别令，求解： （2）由（1）猜想，数列的通项公式为，由时成立，再假设，成立，然后论证时成立即可.【详解】（1），当时，解得，即有；当时，解得，则；当时，解得，则；（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为.下面运用数学归纳法证明.当时，由（1）可得成立；假设，成立，当时，即有，则，当时，上式显然成立；当时，即，则当时，结论也成立.由可得对一切，成立.40（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.【详解】（1）由，是，的等差中项，可得，即，即，解得或，又因为，所以，又由，所以，因为数列的前项和为，当时，当时，当时，满足上式，所以，所以.（2）先用数学归纳法证明当，当时，左式右式，不等式成立；假设时，不等式成立，即，当时，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立.由得证当，所以.30原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！