（人教通用）2014届数学（理）一轮复习知识点逐个击破专题讲座：离散型随机变量及其概率的分布 WORD版含解析.doc

1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 48 离散型随机变量及其概率的分布（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 随机变量分布列的意义，两点分布、二项分布、条件概率、独立重复试验等概念的理解及有关公式的运用 二.知识梳理 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示 2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若是随机变量，=a+b，其中 a、b 是常数，则也是随机变量.3连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区

2、间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5.离散型随机变量的分布列:x1 x2 xi P P1 P2 Pi 6.离散型随机变量分布列的两个性质：,2,1(0ipi)；P1+P2+=1.7如果随机变量 X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中 0p1，q1p，则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布 8.超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次

3、品，则事件Xk发生的概率为：P(Xk)CkMCnkNMCnN (k0,1,2，m)，其中 mminM，n，且 nN，MN，n、M、NN*，则称分布列 X 0 1 m P C0MCn0NMCnN C1MCn1NMCnN CmMCnmNMCnN 为超几何分布列 9.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A)PABPA 在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A)ABnA.(2)条件概率具有的性质：0P(B|A)1如果 B 和 C 是两互斥事件，

4、则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)10相互独立事件(1)对于事件 A，B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A、B 是相互独立事件(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B 也都相互独立(4)若 P(AB)P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 11二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在 n 次

5、独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为 Cknpk(1p)nk(k0,1,2，n)(p 为事件 A 发生的概率)，事件 A 发生的次数是一个随机变量 X，其分布列为二项分布，记为 XB(n，p)三考点逐个突破 1.离散型随机变量分布列的性质 例 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X1 的分布列；(2)|X1|的分布列 解 由分布列的性质知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表为：X 0 1 2 3 4 2X1 1 3 5 7 9|X1|1 0 1 2 3(1)2X1 的分布列：2X1 1 3 5

6、7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3(2)|X1|的分布列：|X1|0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 2.离散型随机变量的分布列 例 2 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：(1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量 X 的分布列；(3)一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间的概率 解(1)解法一“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A)C35C1

7、2C12C12C31023.解法二“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的事件记为 B，则事件 A 和事件 B 是对立事件 因为 P(B)C15C22C18C310 13，所以 P(A)1P(B)11323.(2)由题意，X 所有可能的取值为 2,3,4,5.P(X2)C22C12C12C22C310 130；P(X3)C24C12C14C22C310 215；P(X4)C26C12C16C22C310 310；P(X5)C28C12C18C22C310 815.所以随机变量 X 的概率分布列为：X 2 3 4 5 P 130 21

8、5 310 815(3)“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”记为事件 C，则 P(C)P(X3 或 X4)P(X3)P(X4)215 3101330.3.超几何分布 例 3 一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X，求随机变量 X 的数学期望 E(X)解(1)记“从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球”为事件 A，设袋中白球的个数为 x，则 P(A)1C210 xC210 79，得到 x5.(2)X 服从超几何分布，其中 N10，M5，

9、n3，其中 P(Xk)Ck5C3k5C310，k0,1,2,3.于是可得其分布列为 X 0 1 2 3 P 112 512 512 112 X 的数学期望 E(X)1120 5121 5122 112332 4.条件概率 例 4.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”(1)求 P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点数之和大于 8 的概率 解(1)P(A)2613.两个骰子的点数共有 36 个等可能的结果，点数之和大于 8 的结果共 10 个P(B)1036518.当蓝色

10、骰子的点数为 3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个，故 P(AB)536.(2)由(1)知 P(B|A)ABPA53613 512.5.相互独立事件的概率 例 5.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率 解(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai(i1,2,3,4)，则 P(A1)45，P(A2)35，P(A3)25，P(

11、A4)15，该选手进入第四轮才被淘汰的概率 P4P(A1A2A3 A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)45352545 96625.(2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P3P(A1 A1 A2 A1A2 A3)P(A1)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)154525453535101125 6.独立重复试验与二项分布 例 6.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16，现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记

12、为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 的分布列 思路点拨(1)选择的项目所属类别互不相同的情况共有 A33种，每种之间是互斥的(2)寻找 与选择民生工程项目的人数 的关系，根据 服从二项分布，可求 的分布列 解 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由题意知 A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3 且 i，j，k 互不相同)相互独立，且 P(Ai)12，P(Bj)13，P(Ck)16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同

13、的概率 P3！P(A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)612131616.(2)解法一 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知，B(3，13)，且 3，所以 P(0)P(3)C33(13)3 127，P(1)P(2)C23(13)2(23)29，P(2)P(1)C13(13)(23)249，P(3)P(0)C03(23)3 827.故 的分布列是 0 1 2 3 P 127 29 49 827 解法二 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件 Di，i1,2,3.由已知：D1，D2，D3相互独立，且 P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci)121623，所以 B(3，23)，即 P(k)Ck3(23)k(13)3k，k0,1,2,3.故 的分布列是 0 1 2 3 P 127 29 49 827