（全国卷Ⅲ）2020年高考数学压轴卷 文（含解析）.doc

1、（全国卷）2020 年高考数学压轴卷 文（含解析）注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合(1)(4)0Ax xx，2log2Bxx，则 AB（）A.4,2 B.1,C.0,4 D.2,2.若复数 z 满足2(1)zii（i 是虚数单位），则

2、 z 为（）A.13 B.12 C.14 D.15 3已知单位向量，满足 ，则（）（）A0 B C1 D2 4.将函数的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，则的解析式为（）A.B.C.D.5已知 xlog321，则 4x（）A4 B6 C4 D9 6在ABC 中，若 sinB2sinAcosC，那么ABC 一定是（）A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形 7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大家”，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱世杰平生勤力研习九章算术，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承了前人数学

3、成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启蒙，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的,a b 分别为3，1，则输出的n（）A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知等比数列 na中，公比为q，23a，且 1，q，7 成等差数列，又3lognnba，数列 nb的前n 项和为nT，则9T （）A.36 B.28 C.45 D.32 9.设函数2()lnf xaxbx(0,0)ab，若函数()f x 的图象

4、在1x 处的切线与直线20 xye平行，则 11ab的最小值为（）A.1 B.12 C.3 2 2 D.3 2 2 10已知函数 f（x）sin（x+）（0，）的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）Af（1）f（0）f（2）Bf（0）f（2）f（1）Cf（2）f（0）f（1）Df（2）f（1）f（0）11.已知抛物线214yx的焦点 F 是椭圆22221(0)yxabab的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 A、B 两点，若 FAB是正三角形，则椭圆的离心率为（）A.31 B.21 C.33 D.22 12.定义在R上的可导函数()f x 满足(2)()22fxf xx，记

5、()f x 的导函数为()fx，当1x 时恒有()1fx 若()(1 2)31f mfmm，则m的取值范围是 A(,1 B1(,13 C 1,)D1 1,3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.求值：331log 15log 252 _ 14已知 x，y 满足0421.xxyxy ，若2xy的最小值为_ 15、已知数列 na的前n 项和为nS，且21nnSa，则数列1na的前 6 项和为_.16、已知正三棱锥，点、都在半径为球面上，若、两两相互垂直，则球心到截面的距离为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，

6、每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值 等级 频数 频率 60，75）三等品 10 0.1 75，90）二等品 30 b 90，105）一等品 a 0.4 105，120）特等品 20 0.2 合计 n 1（1）求 a，b，n；（2）从质量指标值在90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件中随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率 18.（12 分）已知数列 na满足12

7、3123252525253nnnaaaa（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列11nna a 的前 n 项和为nT,求nT.19(12 分)将棱长为 2 的正方体1111DCBAABCD截去三棱锥ACDD 1后得到如图所示几何体，O 为11CA的中点.（1）求证/OB平面1ACD；（2）求几何体111DAACB的体积.20（12 分）中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线2:4C xy的焦点关于直线 yx对称，且椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为2,0.（I）求椭圆 E 的标准方程；（II）过点0,2的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点P

8、点 A 关于 x 轴的对称点为 D，直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究|OPOQ是否为定值？请说明理由.21（12 分）已知函数2()2lnf xxaxx（I）当5a 时，求()f x 的单调区间；（II）若()f x 有两个极值点12,x x,且12113xxe，求a 取值范围（其中 e 为自然对数的底数）（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为22212xtyt （t 为参数），以原点 O为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2241sin.（1）求

9、直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 P（0，-1），直线 l 与 C 的交点为 M，N，线段 MN 的中点为 Q，求OPOQ.23.已知函数()2f xx（1）解不等式：()4(1)f xf x（2）若函数()3,(4)g xxx与函数()2(2)ymf xf x的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 1、【答案】C【解析】算出集合,A B 后可求BA.【详解】(1)(4)01,4Ax xx，2log20,4Bxx，故0,4AB，故选 C.2、【答案】B【解析】利用复数的除法运算求得12z ，问题得解.【详解】由

10、2(1)zii 可得：221(1)1 22iiziii 所以12z 故选：B 3、C【分析】直接把已知代入数量积求解即可 解：因为单位向量，满足 ，则（）1201 故选：C 4、【答案】A【解析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式【详解】将函数的图象向左平移 个单位后所得图象对应的解析式为 故选 A 5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 解：xlog321，xlog23，4x9，故选：D 6、B 解：sinBsin（A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC，cosAsinCsinAcosCsin（CA）0，即 CA0，CA，ac，

11、即ABC 为等腰三角形 故选：B 7、【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可.【详解】输入的,a b 分别为3，1时，依次执行程序框图可得：193322a 2 12b ab不成立 1 12n 919272224a 2 24b ab不成立 2 13n 27127814248a 2 48b ab不成立 3 14n 8118124382816a 2 816b ab成立 输出4n 故选：C 8、【答案】A【解析】由 1，q，7 成等差数列即可列方程求得：3q，即可求得：13 nna，即可求得：1nbn，再利用等差数列前n 项和公式计算即可.【详解】因为 1，q，7 成等差数列，所以21 7q ，解得：

12、3q 又23a，所以22123 33nnnnaa q 所以313loglog 31nnnban 所以19912999 1 1 9 13622bbTbbb 故选：A 9、【答案】D【解析】由2()lnf xaxbx可得：()2afxbxx，又函数()f x 的图象在1x 处的切线与直线20 xye平行，所以(1)21fab 所以11111112abababab 221 23232 2babaabab 当且仅当221,12ab 时，等号成立 所以 11ab的最小值为3 2 2 故选：D 10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可 解：函数的最小周期是，得 2，

13、则 f（x）sin（2x+），f（x）关于中心对称，2（）+k，kZ，即 k+，kZ，当 k0 时，即 f（x）sin（2x+），则函数在，上递增，在，上递减，f（0）f（），12，f（）f（1）f（2），即 f（2）f（1）f（0），故选：D 11、【答案】C【解析】由题知线段 AB 是椭圆的通径，线段 AB 与 y 轴的交点是椭圆的下焦点1F，且椭圆的1c ，又60FAB，1121224,2tan60333FFcAFAFAF，由椭圆定义知216132,3,333cAFAFaaea，故选 C.12【答案】D【解析】构造函数()(1 2)31f mfmm)21()21()(mmfmmf，所以构

14、造 函 数xxfxF)()(，(2)()22fxf xxxxfxxf)()2()2(，)()2(xFxF 所 以)(xF 的 对 称 轴 为1x，1)()(xfxF 所 以，)(,1xFxFx是 增 函 数；)(,0,1-xFxFx 是 减 函 数。|1-2m-1|1-m|，解得：31,1-m 13【答案】1【解析】根据对数运算,化简即可得解.【详解】由对数运算,化简可得 331log 15log 252 1233=log 15log 25 33=log 15log 5 3=log 3=1 故答案为:1 14、【答案】5【解析】式组表示的平面区域，再将目标函数 zx+2y 对应的直线进行平移，

15、可得当 x3 且 y1时，z 取得最小值【详解】作出不等式组0421xxyxy 表示的平面区域，其中421xyxy 解得 A（3，1）设 zx+2y，将直线 l：zx+2y 进行平移，观察 y 轴上的截距变化，可得当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值 z 最小值3+25 故答案为：5 15、【答案】6332【解析】由题意得n-111121(2)222nnnnnnSanaaaaa，因为1111111=2112()2nnnnSaaaa 数列n1a的前 6 项和为611()63213212 16、【答案】【详解】正三棱锥 PABC，PA，PB，PC 两两垂直，此正三棱锥的外接球即为以 P

16、A，PB，PC 为三条棱的正方体的外接球，球的半径为，正方体的边长为 2，即 PAPBPC2 球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离 设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 PABC 的体积 VSABChSPABPC222 ABC 为边长为 2的正三角形，SABC（2）2 h 球心（即正方体中心）O 到截面 ABC 的距离为，故答案为 17、解：（1）由 100.1100，即 n100，a1000.440，b301000.3 6 分 （2）设从“特等品”产品中抽取 x 件，从“一等品”产品中抽取 y 件，由分层抽样得：，解得 x2，y4，在抽取的 6 件中，有特

17、等品 2 件，记为 A1，A2，有一等品 4 件，记为 B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况有 15 种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，其中至少有 1 件特等品被抽到包含的基本事件有 9 种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，至少有 1 件特等品被抽到的概率为：p 12 分 18解：（1）令,325nnnnnSba，当2n 时，111333nnnnnbSS，当1n 时，113b，则1253nnnba，

18、故35.2nna 6分（2）114411(35)3(1)53(35)3(1)5nna annnn，8分 111111()()()3 153 253 253 35353(1)5nTnn 1662494615)1(318134nnnn 12分 19.解：（1）取 AC 中点为1O，连接11111,DODBOO.正方形1111DCBA中O为11CA的中点,O为11DB的中点.又正方体1111DCBAABCD 中111/BBCCAA,111/BBCCOO.11/BBOO.四边形BBOO11为平行四边形,OBBO11/ODBO11/.四边形11BODO为平行四边形.11/DOBO.又BO平面1ACD，1

19、1DO平面1ACD,/OB平面1ACD 6 分（2）11111111111DCBCBCBABADABCCDAACBVVVV 320111111111ACDDDCBAABCDBADABCCVVV 341111DCBCBCBAVV,4342320111DAACBV 12分 20（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线2:4C xy的焦点关于直线 yx对称，所以椭圆 E 的右焦点为 1,0（），所以1c .又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 2,0（），所以2a，又2223bac，所以椭圆 E 的标准方程为22143xy.4 分（2）设直线 l 的方程为2ykx，0k，则点2,0P k，设 1122

20、,A x yB x y 则点11,D xy，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有221432xyykx，得22341640kxkx，所以有248 410k，即214k 且1221221634434kxxkx xk，即直线 BD 的方程为112121yyxxyyxx 令0y，得点 Q 的横坐标为121212211212224Qkx xxxx yx yxyyk xx，代入得：2283224212164 34Qkkkxkkk，所以2|24PQOPOQxxkk，所以|OPOQ为定值 4.21.（1）f x 的定义域为0，2212225225xxxxfxxxxx，f x 的单调递增区间为10,2和2,，单

21、调递减区间为 1,22.5 分（2 22222xaxfxxaxx，f x 有两个极值点 令 222g xxax，则 g x 的零点为12,x x，且12113xxe.216a,4a-或4a 1202axx，121x x4a.根据根的分布，则1()03g且g(1e)0 即 1122093a,21220aee.a 的取值范围是22023eae 12 分 22、【答案】（1）1yx，22142xy；（2）2 23【解析】（1）直线 l 的参数方程为2221.2xtyt （t 为参数）消去参数 t 可得直线 l 的普通方程为1yx 由2241sin，得222sin4，则有2224xyy，即2224xy

22、，则曲线 C 的直角坐标方程为22142xy （2）将 l 的参数方程代入2224xy，得232 2202tt，设两根为 1t，2t 则 1t，2t 为 M，N 对应的参数，且 124 23tt 所以，线段 MN 的中点为 Q 对应的参数为 122 223tt，所以，2 23OPOQPQ 23、【答案】（1）17|22xx；（2）3,.【解析】(1)由()4(1)f xf x得241xx，即：214xx 等价于2342xx 或1412x 或3241xx 解得722x或12x或112x，即1722x，所以原不等式的解集为17|22xx（2）因为函数()3g xx在4,单调递增，所以min()(4)1g xg，因为310,2()2(2)6,24310,4xmxymf xf xxmxxmx，在4x 处，y 取得最大值2m，要使函数()3,(4)g xxx与函数()2(2)ymf xf x的图象恒有公共点，则须21m，即3m，故实数m 的取值范围是3,