江西省宜春市万载中学2013届高三数学单元测试 数学归纳法、极限、函数连续性（北师大版）.doc

1、高考资源网（ ），您身边的高考专家 数学归纳法、极限、函数连续性测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1函数在处连续是在有极限的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件。C充要条件。 D既不充分也不必要条件2用数学归纳法证明“对于足够的的自然数，总有”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值应该是 （ ）A、1 B、大于1且小于10的某个整数 C、10 D、113、函数，若函数在R上处处连续，则的值为 （ ）A B C D4，则常数为 （ ）A2 B C D5数列的前项和，则（ ） A1 B C D06用数学归纳法证

2、明：时，从“到”左边的变化结果是 （ ）A、增乘一个因式 B、增乘和两个因式 C、增乘一个因式 D、增乘同时除以 7若展开式的各项系数和为，展开式的二项式系数和为，则的值为 （ ）A B C D8已知集合，则集合的子集个数为（ ）A2 B4 C7 D89若能通过选择适当的常数，使存在，则常数为（ ） A正数B负数C0D不确定 10 （ ）A、 B、 C、0 D、不存在11以下几个命题中，（1）在连续，则；（2）函数在处连续，则 在处也连续；（3）在区间处处连续，则在区间必有最大值与最小值；（4） 。正确的有（ ）个 A、1 B、2 C、3 D、4 12已知函数在R上连续，则与轴在以下哪个区间内

3、必有交点 （ ）A B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分，请指导答案填在答题卡上）13若，求 .14_ 15数列中，则 _ 。16将个正数填入个方格中。使得每行，每列，每条对角线上的数之和全部相等，这个正方形就称为阶幻方，如图就是一个三阶幻方，其中定义为三阶幻方某指定行的所有数之和，例如，那么_.三、解答题（本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）设 （1）求在点处的左、右极限，函数在处是否存在极限。 （2）在点处是否连续，并说明理由 （3）确定函数的连续区间。18（本小题满分12分）为多项式，且，求。19（本小题满

4、分12分）等比数列首项，公比为，且有，求首项范围。20（本小题满分12分），试求（1）的定义域并画出函数图象。（2），。21（本小题满分12分）正项数列，已知前项和，试确定的通项。22（本小题满分14分）设是正三角形ABC的边AB上的任一点，从向边BC引垂线，垂足为，再从向边CA引垂线，垂足为，从向边AB引垂线，垂足为，再有重复以上操作，得到、，问：当时，能否无限趋近于某一点？若能，指出该点位置，若不能，说明理由。参考答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1A. 根据连续性定义定义，连续必有极限，有极限未必连续，还需要极

5、限等于函数值。故选A2C虽然，但是，时，故选C。3B由连续性定义可知，故选B。4B，得到5C，裂项得到， 6C时左边=，时左边= 多乘了7D ， 8D，集合M为三元素集，共有8个子集。9A，存在，必有，故10B11A仅（1）正确，（2）中须，（3）中最大值最小值定理要求在闭区间连续函数，才有最大值，最小值。（4）12C，的两解为， 为连续函数，且故在区间必有解。二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分，请指导答案填在答题卡上）13 3；。14； 15；，结合首项，猜得为等比数列，故。16；由于各行数字之和相等，所以任一行的数字之和即为所有数字之和除以，故三、解答题（本大题共6小题，共

6、计74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 解：（1），由于，故 （2）由于，故在点处不连续。 （3）函数的连续区间和。 （考察函数连续性定义）18 解：存在，可设 得到 得到 所以 （考察函数极限及待定系数法）19（本小题满分12分）等比数列首项，公比为，且有，求首项范围。 解：1、当时， 得到 2、当时， 得到 故 综上可知 （考察数列极限及对公比q的分类讨论）20（本小题满分12分），试求（1）的定义域并画出函数图象。（2），。 解：（1）求函数的定义域，即何时存在，1、当时，；2、时，；3、，；4、时，不存在。故 定义域为 （2）、，不存在 （考察极限式中变量的混淆）21（

7、本小题满分12分）正项数列，已知前项和，试确定的通项。 解：； 解得；， 解得，猜想通项为，下面用数学归纳法证明：1 当时，符合通项（已证）2 设时，则时， 得到 解得 由于为正项数列 故 由1、2可知对任意的，都有 （考察求数列通项的先猜后证的方法，数学归纳法）22（本小题满分14分）设是正三角形ABC的边AB上的任一点，从向边BC引垂线，垂足为，再从向边CA引垂线，垂足为，从向边AB引垂线，垂足为，再有重复以上操作，得到、，问：当时，能否无限趋近于某一点？若能，指出该点位置，若不能，说明理由。 解：设正三角形ABC边长为， 易知， ， 得到递推关系利用性质将大大减少计算量。 得到，即当时，无限线段AB靠近A的三等分点处（注）若不使用性质，则应线形变换构造等比数列求通项 设 得到 （数列递推式，的运用，线性变换，应用题）欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。