江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高一下学期期中数学试卷 WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分请把答案填写在答题卷相应的位置上.1求值sin36cos24+cos36sin156=_2已知直线l1：（m+1）x+2y+2m2=0，l2：2x+（m2）y+2=0，若直线l1l2，则m=_3已知x1，函数f（x）=x+的最小值是_4已知数列an是等差数列，若a3+a11=24，a4=3，则数列an的公差=_5在ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB=_6数列an满足Sn=2an1（nN*），其中Sn是an的前n项和，则a10=_7已知点A（1，2），B（2，3），直线l

2、：y=k（x+4）与线段AB有公共点（线段AB包括端点），则k的取值范围是_8已知，则cos（）=_9已知在ABC中，A=60，AC=6，BC=k，若ABC有两解，则k的取值范围是_10已知sin（+）=，则cos（）=_11已知a=4，则a2+2b2的最小值为_12已知ab0，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a+b=_13如图，互不相同的点A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列an的通项公式是_14已知a，b为正实数，

3、且a+b=2，则+的最小值为_二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15在平面直角坐标系内，已知A（1，a），B（5，3），C（4，0）；（1）当a（，3）时，求直线AC的倾斜角的取值范围；（2）当a=2时，求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l16在ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2bc）sinB+（2cb）sinC（）求角A的大小；（）若sinB+sinC=，试判断ABC的形状17已知数列an的首项a1=3，且满足an+1=3an+23n+1，（nN*）（1）设bn=，判断数列bn是否为等

4、差数列或等比数列，并证明你的结论；（2）求数列an的前n项和Sn18如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）（1）若AMN的外接圆面积为S，求S的值；（2）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）19已知三角形ABC中，ACB=60，CH为AB边上的高，H为垂足；设BC=a，CA=b，AB=c，CH=h；（1）若c=，求a+b的取值范围；（2）若已知h=，试解决下面两个问题：求a，b满足的等式；求三角形ABC的周长l的最

5、小值20如果无穷数列an满足下列条件：an+an+22an+1；存在实数M，使得anM，其中nN*，那么我们称数列an为数列（1）设an是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，a3=，S3=，证明：数列Sn是数列；（2）设数列an的通项为an=5n2n，且是数列，求M的取值范围；（3）设数列an是各项均为正整数的数列，问：是否存在常数n0N*，使得aa，并证明你的结论2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分请把答案填写在答题卷相应的位置上.1求值sin36cos24+cos36sin156=【考点】三角函

6、数的化简求值【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解：sin36cos24+cos36sin156=sin36cos24+cos36sin24=sin（36+24）=sin60=故答案为：2已知直线l1：（m+1）x+2y+2m2=0，l2：2x+（m2）y+2=0，若直线l1l2，则m=2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】根据直线的平行关系得到关于m的方程，解出即可【解答】解：直线l1：（m+1）x+2y+2m2=0，l2：2x+（m2）y+2=0，m=2时，l1：3x+2y+2=0，l2：x+1=0，不合题意，m2时，若直线l1l2

7、，则=，即（m+1）（m2）=4，解得：m=3（舍）或m=2，故答案为：23已知x1，函数f（x）=x+的最小值是3【考点】基本不等式【分析】由x1 可得x10，由基本不等式可得， 可求答案【解答】解：x1x10由基本不等式可得， 当且仅当即x1=1时，x=2时取等号“=”故答案为：34已知数列an是等差数列，若a3+a11=24，a4=3，则数列an的公差=3【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程，解方程即可求出数列的公差【解答】解：数列an是等差数列，若a3+a11=24，a4=3，则（a4d）+（a4+7d）=（3d）+（3+7d）=24，解得d=3，所以数列

8、an的公差为3故答案为：35在ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB=【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可求得 sinB=，再由 ba，可得 B为锐角，cosB=，运算求得结果【解答】解：由正弦定理可得 =，sinB=，再由 ba，可得 B为锐角，cosB=，故答案为：6数列an满足Sn=2an1（nN*），其中Sn是an的前n项和，则a10=512【考点】数列的求和【分析】运用数列的通项和前n项和的关系：当n=1时，a1=S1；当n1时，an=SnSn1，结合等比数列的通项公式，计算即可得到所求值【解答】解：当n=1时，a1=S1=2a11，可得a1=1；当n1时，an=SnSn

9、1=2an1（2an11），即有an=2an1，则数列an为首项为1，公比为2的等比数列，可得an=2n1，则a10=29=512故答案为：5127已知点A（1，2），B（2，3），直线l：y=k（x+4）与线段AB有公共点（线段AB包括端点），则k的取值范围是，【考点】直线的斜率【分析】求出直线y=k（x+4）过定点（4，0），再求它与两点A（1，2），B（2，3）的斜率，即可取得k的取值范围【解答】解：直线y=k（x+4）过定点C（4，0），KAC=，KBC=，k，故答案为：，8已知，则cos（）=【考点】两角和与差的余弦函数【分析】利用平方求，的值，然后求和，化简出cos（），求解即可【

10、解答】解：因为，；所以cos2+2coscos+cos2=；sin2+2sinsin+sin2=；所以2+2coscos+2sinsin=2cos（）=cos（）=故答案为：9已知在ABC中，A=60，AC=6，BC=k，若ABC有两解，则k的取值范围是（3，6）【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得sinB=，结合范围0B120，要使三角形有两解，得到60B120，且B90，即sinB1，从而解得k的求值范围【解答】解：在ABC中，A=60，AC=6，BC=k，由正弦定理得：sinB=，A=60，0B120，要使三角形有两解，得到60B120，且B90，即sinB1，1，解得：3k6，故k的

11、取值范围是（3，6）故答案为：（3，6）10已知sin（+）=，则cos（）=【考点】二倍角的余弦；诱导公式的作用【分析】因为 cos（）=sin（+）=，利用二倍角公式求得 cos（）的值【解答】解：因为 cos（）=sin（+）=，cos（）=21=21=，故答案为11已知a=4，则a2+2b2的最小值为82【考点】基本不等式【分析】由条件可得a2（2b2+2）=32，运用基本不等式求得a2+（2b2+2）的最小值8，即可得到所求最小值【解答】解：a=4，可得：a2（b2+1）=16，即a2（2b2+2）=32，则a2+（2b2+2）2=2=8，当且仅当a2=2b2+2=4，取得等号，可得

12、a2+2b2的最小值为82故答案为：8212已知ab0，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a+b=5【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【分析】ab0，可得：a，b，2这三个数可适当排序为2，b，a或a，b，2后成等差数列，也可适当排序为b，2，a或a，2，b后成等比数列，即可得出【解答】解：由ab0，可得：a，b，2这三个数可适当排序为2，b，a或a，b，2后成等差数列，也可适当排序为b，2，a或a，2，b后成等比数列，2b=a2，（2）2=ab，联立解得a=4，b=1，a+b=5故答案为：513如图，互不相同的点A1，A2，An，和B1，B2

13、，Bn，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列an的通项公式是【考点】数列的应用；数列的函数特性【分析】设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到=，梯形A1B1B2A2的面积=3S由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，已知，可得，因此数列是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an【解答】解：设，OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1A2B2，A1B1是三角形OA2B2的中位线， =，梯形A1B1B2A2的面积

14、=3S故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S所有AnBn相互平行，所有OAnBn（nN*）都相似，数列是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n1）3=3n2因此数列an的通项公式是故答案为14已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式【分析】由a，b为正实数，且a+b=2，变形可得=+a+b1+=+1=f（a），0a2利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：a，b为正实数，且a+b=2，=a+=+a+b1+=+1=f（a），0a2f（a）=+=，令f（a）0，解得，此时函数f（a）单调递增；令f（a）0，解得，此时函数f（a）单

15、调递减当且仅当a=63时函数f（a）取得极小值即最小值，=故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15在平面直角坐标系内，已知A（1，a），B（5，3），C（4，0）；（1）当a（，3）时，求直线AC的倾斜角的取值范围；（2）当a=2时，求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l【考点】直线的一般式方程【分析】（1）求出AC的斜率，根据a的范围，求出AC的斜率的范围，从而求出倾斜角的范围即可；（2）求出BC的斜率，根据垂直关系求出AH的斜率，代入点斜式方程即可求出l【解答】解：（1）KAC=，a（，3），则KAC（1，），

16、k=tan，又0，（，）；（2）KBC=，AH为高，AHBC，KAHKBC=1，KAH=3；又l过点A（1，2），l：y2=3（x1），即3x+y5=016在ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2bc）sinB+（2cb）sinC（）求角A的大小；（）若sinB+sinC=，试判断ABC的形状【考点】余弦定理；三角形的形状判断【分析】（）利用余弦定理表示出cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化简后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（）由A为60，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，

17、用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B为60，可得出三角形ABC三个角相等，都为60，则三角形ABC为等边三角形【解答】解：（）由2asinA=（2bc）sinB+（2cb）sinC，利用正弦定理化简得：2a2=（2bc）b+（2cb）c，整理得：bc=b2+c2a2，cosA=，又A为三角形的内角，则A=60；（）A+B+C=180，A=60，B+C=18060=120，即C=120B，代入si

18、nB+sinC=得：sinB+sin=，sinB+sin120cosBcos120sinB=，sinB+cosB=，即sin（B+30）=1，0B120，30B+30150，B+30=90，即B=60，A=B=C=60，则ABC为等边三角形17已知数列an的首项a1=3，且满足an+1=3an+23n+1，（nN*）（1）设bn=，判断数列bn是否为等差数列或等比数列，并证明你的结论；（2）求数列an的前n项和Sn【考点】数列的求和【分析】（1）根数列的递推关系，利用构造法，构造等比数列，结合等差数列的定义即可证明bn是等差数列（2）求出数列an的通项公式，利用求和公式，结合错位相减法进行求解

19、即可【解答】解：（1）an+1=3an+23n+1，（nN*）=+，即=+2，bn=，bn+1bn=2，bn构成以b1=1为首项，2为公差的等差数列（2）由（1）可知bn=1+2（n1）=2n1，所以an=（2n1）3nSn=13+332+533+（2n1）3n 3Sn=132+333+（2n3）3n+（2n1）3n+1 得2Sn=3+232+233+23n（2n1）3n+1 =3+2（2n1）3n+1=（22n）3n+16Sn=（n1）3n+1+318如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄

20、A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）（1）若AMN的外接圆面积为S，求S的值；（2）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）在AMN中，利用正弦定理求得AMN的外接圆的半径R，可得AMN的外接圆的面积（2）设AMN=，0120，可得AN、ANP的值，再利用余弦定理求得AP2的解析式，利用正弦函数的最值，求得AP的最大值【解答】解：（1）在AMN中，由正弦定理可知： =2R，故AMN的外接圆的半径 R=，AMN的外接圆的面积S=R2=（2）设AMN=，0120，在AMN中， =，AN=sin，又因为NP=2，ANP=1

21、80，AP2=AN2+NP22ANNPcos=sin2+4+2sin2cos=sin（230）+0120，30230210，故当230=90时，AP2取得最大值为+=12，故AP的最大值为2，此时，AM=AN=219已知三角形ABC中，ACB=60，CH为AB边上的高，H为垂足；设BC=a，CA=b，AB=c，CH=h；（1）若c=，求a+b的取值范围；（2）若已知h=，试解决下面两个问题：求a，b满足的等式；求三角形ABC的周长l的最小值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由题意和余弦定理列出式子，由完全平方和公式和基本不等式求出a+b的范围，结合三角形三边的关系可a+b的取值范围；（2

22、）由题意和余弦定理列出式子求出c，由三角形的两个公式列出方程后将c代入化简即可；由和不等式求出ab的范围，利用表示出得ABC的周长l，由基本不等式求出l的范围，即可求出三角形ABC的周长l的最小值【解答】解（1）ABC中，ACB=60，c=，由余弦定理得，c2=a2+b22abcosC，则a2+b2ab=3（a+b）23=3ab，解得a+ba+bc，（2）在ABC中，ACB=60，由余弦定理得c2=a2+b22abcosC，则c2=a2+b2ab，即c=，则由可知，则2ab，当且仅当“a=b”时候取等号；解得ab4，当且仅当a=b=2时取等号；三角形ABC的周长l=a+b+c=a+b+=a+b

23、+ab=6，当且仅当“a=b=2”取等号，当a=b=2时，l取得最小值为620如果无穷数列an满足下列条件：an+an+22an+1；存在实数M，使得anM，其中nN*，那么我们称数列an为数列（1）设an是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，a3=，S3=，证明：数列Sn是数列；（2）设数列an的通项为an=5n2n，且是数列，求M的取值范围；（3）设数列an是各项均为正整数的数列，问：是否存在常数n0N*，使得aa，并证明你的结论【考点】数列的应用；数列递推式【分析】（1）根据等比数列前n项和公式， +a3=整理求得q及a1的值，即求得an=，Sn=22，有=22=Sn+1，且Sn2，

24、即可证明Sn是数列；（2）由an+1an0，故数列an单调递减；当n=1，2时，an+1an0，即a1a2a3，则数列bn中的最大项是a3=7，即可求得M7；（3）采用反证法，假设存在常数nN*，使得aa，an是数列，得aa1，a1，采用累加法m，由当m取时，0与anN*矛盾，不存在常数n0N*，使得aa【解答】解：（1）证明an是各项正数的等比数列，Sn是其前n项和，a3=，S3=，设其公比为q0，+a3=整理得6q2q1=0，解得q=，q=（舍去）a1=1，an=，Sn=22，对任意的nN*，有=22=Sn+1，且Sn2，故Sn是数列（2）an+1an=52n，当n3，an+1an0，故数列an单调递减；当n=1，2时，an+1an0，即a1a2a3，则数列bn中的最大项是a3=7，所以M7（3）证明：假设存在常数nN*，使得aa，即aa0；an是各项均为正整数的数列，所以aa1；又an是数列，所以+2a，即aaa1，得a1，以此类推，1，（nN*，）；将中k赋值1，2，3m，累加可得m，即m；当m取时，0与anN*矛盾；假设错误，不存在常数n0N*，使得2016年10月2日