湖北省武汉市武汉二中2014届高三数学全真模拟考试（二）试题 文（含解析）.doc

1、湖北省武汉市武汉二中2014届高三数学全真模拟考试（二）试题 文（含解析）【试卷综析】本次高三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。符合高考命题的趋势和学生的实际。一、选择题(每小题5分，共50分).1已知全集且则等于( )A.B. C.D. 【知识点】含绝对值的不等式、一元二次不等式的解法，集合的运算。【

2、答案解析】 D 解析 ：解：由，所以A=,所以.由，所以所以=.【思路点拨】先将集合A化简得 A=, 从而得。再将集合B化简得，所以=.2. 下列说法正确的是( ) A. 若则“”是“”的必要不充分条件B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件C. 若命题“”，则是真命题D. 命题“使得”的否定是“”【知识点】充要条件；命题的真假；命题的否定.【答案解析】 A 解析 ：解：对于选项A: 解得a1或a1或a0，S100，S100，S100，得，所以等差数列an是首项大于零公差小于零的递减数列.6. 程序框图如图，如果程序运行的结果为,那么判断框中可填入( )A. B. C. D. 【知识点

3、】当型循环结构的程序框图.【答案解析】 C 解析 ：解：由题意知，程序框图的功能是求S=11211，程序运行的结果为S=132，终止程序时，k=10，判断框的条件是k10，故答案选C.【思路点拨】程序框图的功能是求S=11211，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件【典型总结】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值7过双曲线的一个焦点引它到渐进线的垂线，垂足为，延长交轴于，若，则该双曲线离心率为( )A.3 B. C. D.【知识点】双曲线的渐近线及离心率，向量的有关知识.【答案解析】B 解析 ：解：由点到直线的距离

4、公式得：FM=b,从而OM=a,又所以ME=，因为,所以，解得.【思路点拨】根据点到直线的距离公式求得：FM=b,从而OM=a,又所以ME=，因为,所以，解得.8. 球面上有三个点A、B、C，其中AB18,BC24,AC30，且球心到平面ABC的距离为 球半径的一半，那么这个球的半径为( )A.20 B.30C. 10D.15【知识点】球的内接多面体，空间想象能力，计算能力，勾股定理.【答案解析】 C 解析 ：解：球面上三点A、B、C，平面ABC与球面交于一个圆，三点A、B、C在这个圆上AB=18，BC=24，AC=30，AC2=AB2+BC2，AC为这个圆的直径，AC中点M圆心球心O到平面A

5、BC的距离即OM=球半径的一半= ROMA中，OMA=90，OM= R，AM= AC=30=15，OA=R由勾股定理（R）2+152=R2， R2=225,解得R=10 【思路点拨】说明三角形ABC是直角三角形，AC是斜边，中点为M，OA=OB=OC是半径，求出OM，利用球半径是球心O到平面ABC的距离的2倍，求出半径即可.9.若为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是( )A. B. C. D. 【知识点】锐角的三角函数值的取值范围。【答案解析】B 解析 ：解：把A=B=C=代入各式，只有B正确. 【思路点拨】特殊值检验法.10.设函数的定义域为D，若函数满足下列两个条件，则称在定义域D上

6、是闭函数在D上是单调函数；存在区间，使在上值域为如果函数为闭函数，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【知识点】函数恒成立问题【答案解析】B 解析 ：解：若函数为闭函数，则存在区间a，b，在区间a，b上，函数f（x）的值域为a，b，即，a，b是方程的两个实数根，即a，b是方程x2-（2k+2）x+k2-1=0（x，xk）的两个不相等的实数根，当k时，解得-1k当k时，无解故k的取值范围是故选B【思路点拨】若函数为闭函数，则存在区间a，b，在区间a，b上，函数f（x）的值域为a，b，即，a，b是方程的两个实数根，即a，b是方程x2-（2k+2）x+k2-1=0（x，xk）的两个不相等的实

7、数根，由此能求出k的取值范围再分类讨论即可.二、填空题(每小题5分，共35分).11. 函数的定义域是 .【知识点】定义域；对数函数；正切函数的定义域.【答案解析】解析：解: 的定义域为，又，所以函数的定义域为【思路点拨】本题可先分别求出对应式子的定义域，对于正切函数的定义域，可给出特殊值，最后求出交集.12. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所 示），则该样本的中位数、众数、极差的和是 .【知识点】茎叶图；中位数、众数、极差的定义.【答案解析】46，45，56解析：解：因为有30个数据，所以众数为数据中间两个数的平均数，众数为数据中出现次数最多的数为45，极差为

8、最大值与最小值的差68-12=56.【思路点拨】分别按特征数的定义求出各特征数的值.13.复数满足，设，则 _. 【知识点】复数的概念；数形结合；复数的模长.【答案解析】9解析：解：由题可设，因为可得又因为按数形结合的思想，a,b相当于以为圆心，为半径的圆上的点，而模相当于a,b到原点的距离，所以模的最大值为圆心到原点的距离加半径，最小距离为圆心到原点的距离减半径，圆心到原点的距离为所以【思路点拨】本题主要是考查数形结合思想，利用几何关系，可求出的值.14.已知函数的最大值为3,的图像与轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为,则=_. 【知识点】三角函数的图像；周期性；二倍角公式；最值问题

9、.【答案解析】4027解析：解：根据题意最大值为3所以A=2，又因为图像过，可得，相邻对称轴间的距离为2所以函数的周期为4，依据题意可知函数可化为因为周期为4，所以，根据周期为4可求得【思路点拨】根据三角函数的图像与性质可求出函数的解析式，再根据函数的周期可得值.15. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是 【知识点】三视图；【答案解析】29解析：解：根据三视图可知原图为如图，最长棱为AC所以，AE=2，EB=2，ED=3，DC=4 所以EC=5 所以AC=.【思路点拨】根据题意可做出原图，根据原图的关系可知最长棱，根据线短的关系可求出AC的值.16. 对于函数，若有六 个不同的

10、单调区间，则的取值范围为 .【知识点】带绝对值的函数，考查利用导数研究函数的单调性.【答案解析】1a2 解析 ：解：f（x）为偶函数，又f（x）有六个不同的单调区间，当x0时，f（x）=x3-ax2+（2-a）x+b有三个不同的单调区间，f（x）=x2-2ax+2-a与x正半轴有两交点，即x2-2ax+2-a=0有两异正根，解得1a2故答案为：1a2【思路点拨】由题意可知，f（x）为偶函数，当x0时，f（x）有三个不同的单调区间，利用其导函数与x正半轴有两交点即可求得a的取值范围17. 古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式。例如，可以这

11、样来理解：假定有两个面包，要平均分给5 个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.形如的分数的分解：按此规律，则(1) .(2) .【知识点】归纳推理.【答案解析】（1），（2） 解析 ：解：由已知的三个等式 得当n=5、7、9时，等号右边第一个分数的分母依次为3、4、5，第二分数的分母是等号左边分母与等号右边第一分数分母的乘积，由此归纳出结论.【思路点拨】：由已知的三个等式 得，分解成的两分数的分母与n的关系.三、解答题(65分).18. (12分) 已知函数， (1)求的值；(2)求的单调区间；(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围【知识点】降幂公式；二倍角的余弦公式；

12、两角差的正弦公式；三角函数的单调区间；三角函数求值；三角函数的值域；三角不等式恒成立问题.【答案解析】（1）3 （2）的单调递增区间为，同理的单调递减区间为.（3） .解析 ：解：因为所以化简得：，.（1）=.（2）当时，即，又因为，所以的单调递增区间为，同理的单调递减区间为.（3）若不等式恒成立，即或恒成立，也就是或恒成立，又因为，所以，当时，只需满足m大于的最大值1，即；当时，只需满足m小于的最小值4，即，综上所述：实数的取值范围是.【思路点拨】先把原函数化简为，（1）代入数值进行计算即可，（2）借助于正弦函数的基本单调区间，再结合其定义域即可求得单调区间；（3）把原不等式转化为或恒成立的

13、问题，再去求的最大值和的最小值即可.19.(12分)已知数列的奇数项是首项为1公差为d的等差数列，偶数项是首项为2公比为q的等比数列.数列 前项和为，且满足.(1)求d和q的值；(2)求数列的通项公式和前项和为.【知识点】等差数列、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式。【答案解析】（1）（2）当n为偶数时+，当n为奇数时 解析 ：解：（1）根据题意得：即： 解得：（2）由（1）得：所以：当n为偶数时，其中有个奇数项，个偶数项。奇数项的和为：，偶数项的和为：。所以+。当n为奇数时，n+1为偶数，=【思路点拨】（1）先根据题意得关于q、d 的方程组 解得：（2）再由数列的奇数项是首项为1公差为d

14、的等差数列，偶数项是首项为2公比为q的等比数列得：由于通项公式与n的奇、偶性有关，所以分n是奇数、偶数求前n项和.n为偶数时，其中有个奇数项，个偶数项。奇数项的和为：，偶数项的和为：。所以+。当n为奇数时，n+1为偶数，=.20.(12分)在三棱柱中，侧面为矩形，为的中点，与交于点，侧面(1)证明：;(2)若，求点到平面ABC的距离【知识点】棱锥的体积;线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;空间想象能力与运算能力.【答案解析】(1)略（2）解析：证明：(1)得,又BD与CO交于O点，又(2) ,又AB=1，【思路点拨】（I）利用AODB1OB，可求得OA、OD的长，根据勾股定理可证AB1BD，

15、可证AB1平面CBD，从而可证线线垂直；（II）由（1）知OC为三棱锥C-ABA1的高，底面为直角三角形，利用三棱锥的换底性求得三棱锥的体积，最后求出高即到平面ABC的距离.21.(15分)已知函数，其中(1)当时，求曲线在原点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若在上存在最大值和最小值，求的取值范围【知识点】导数的几何意义;导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用.【答案解析】（1）2x-y=0,(2)略（3）a的取值范围是（-，-1（0，1解析：解：（I）当a=1时由得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0（II）对函数求导可得所以f（x）在（0，+）单调递增，在（-，0

16、）单调递减，当,当a0时，令，得f（x）与的情况如下：x-0+0-递减递增递减故f（x）的单调减区间是（-，-a）， ；单调增区间是当a0时，f（x）与的情况如下：x+0-0+递增递减递增所以f（x）的单调增区间是；单调减区间是.（）解：由（）得，a=0时不合题意（10分）当a0时，由（）得，f（x）在单调递增，在单调递减，所以f（x）在（0，+）上存在最大值设x0为f（x）的零点，易知且从而xx0时，f（x）0；xx0时，f（x）0若f（x）在0，+）上存在最小值，必有f（0）0，解得-1a1所以a0时，若f（x）在0，+）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1 当a0时，由（）得，f

17、（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+）单调递增，所以f（x）在（0，+）上存在最小值f（-a）=-1若f（x）在0，+）上存在最大值，必有f（0）0，解得a1，或a-1所以a0时，若f（x）在0，+）上存在最大值和最小值，a的取值范围是综上，a的取值范围是（-，-1（0，1【思路点拨】（）当a=1时，先对函数求导，然后求出，即取消在原点的切线斜率，可求得曲线y=f（x）在原点处的切线方程（）先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间（III）由（）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围22.(14分)已知分别是椭圆的左右焦点，其左准线与轴相交于点N，并且

18、满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中.(1)求此椭圆的方程；(2)求直线AB的斜率的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；利用导数研究函数的单调性；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【答案解析】(1) (2) 解析 ：解：（1）由于,解得，从而所求椭圆的方程为(2),A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k0由，消去x得(y2)2+2y22，即根据条件可知，解得0|k|.设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据韦达定理，得又由，得从而，消去y2得令()，则，由于，所以（）0（）是区间上的减函数，从而()()()，即()，解得，而0|k|，因此直线AB的斜率的取值范围是【思路点拨】(1)欲求椭圆方程，利用已知可得关于a，b，c的关系式，进而解出a，b得到标准方程；(2)求直线AB的斜率的取值范围，可设其斜率为k，则利用前面的结果，得到直线AB的点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，设A（x1，y1），B（x2，y2）利用设而不求的思想，建立起与k的关系=f（k），进而利用的范围解出k的取值范围