《优教通同步备课》高中数学（北师大版）选修2-3教案：第1章 拓展资料：排列问题既要会“排”又要会“列”.doc

1、排列问题既要会“排”又要会“列”排列应用问题的应用情景多样，思维灵活，是高中数学的一个难点，也是高考的必考内容。对于排列问题，我们既要会“排”又要会“列”，下面举例说明。一、排列问题要会“排”1、要会排课例1、某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能排第一节和第四节，则不同的排课方案种数为多少？分析：以特殊元素“体育老师”为解题突破口。解：由题可知体育老师共有2种不同的排法，其它老师不受影响，故共有种不同的排课方案种数。点评：排课是最接近同学们实际情况的排列应用题。2、要会排队例2、4个男同学，3个女同学站成一排，其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？分析：

2、根据题意，可采用“捆邦法”求解。解：甲、乙2人先排好，有种排法，再从余下的5人中选3人排在甲、乙2人中间，有种排法，这时把已排好的5人视为一个整体，与最后剩下的2人再排，又有种，故共有=720种不同排法。点评：捆绑法”主要解决“相邻”排列问题。其操作过程是将相邻的若干元素“捆绑”为一个“大元素”，与其它元素全排列，此时切莫遗忘“大元素”内部进行排列。3、要会排数例3、从0到9十个数字中，可以组成多少个没有重复数字的四位数？分析：根据数的实际情况，优先考虑特殊位置“千位”。解：千位不能放“0”，故千位放数字共有9种，其它3个位置放种。故共有9=4536个。点评：优先法适用于存在限制条件的元素或位

3、置问题。即先排特殊元素或特殊位置，再排其它非受限元素或位置。4、要会排节目例4、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）A、6 B、12 C、15 D、30分析：根据题意，可采用“插空法”求解。解：原来的5个节目中间和两端共产生6个空位。将两个新节目插入空位，共有种排法。由于原定的5个节目已排成节目单，不需再排列。故选D。点评：插空法主要适用于“不相邻”问题。其操作过程是先安排其他元素，然后将不相邻的元素按要求插入排好的元素之间的空位二、排列问题要会“列”1、“列”出各种情况例4、将标有1

4、，2，3，4标号的四个小球放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，则每个盒子的标号与每个小球的标号都不相同的放法有多少种？分析：本题属于错位排列问题，直接利用排列数公式求解较为困难，考虑本题涉及的数据不大，故可用“列”的方法或利用分步乘法原理求解。解：采用树形图如下：故共有9种不同方法。点评： 树图法实质上是最原始的方法即“列”，它是比较直观、形象的“排列”方法, 对于“小数据”的排列问题较为行之有效,在近年来的高考试题中大展身手.。2、“列”出各种方法例5、7名同学排队，其中要求甲同学不能排在排头，乙同学不能排在排尾，问共有多少种不同的排队方法？分析：本题是一例含有多个限制

5、条件的排列问题，其限制条件中存在两个特殊元素：甲同学、乙同学。两个特殊位置：排头，排尾，故可由此“列”出方法，突破解题难点。解法一：特殊元素优先法。不妨先考虑特殊元素甲同学，其排法可分为两类：第一类：甲同学坐在中间五只位置。则甲同学有种坐法，而乙同学也有种坐法（除排尾及甲同学已坐的位置），故共有种不同的排队方法。第二类：甲同学坐在排尾位置。则乙同学有种坐法，其它五人无限制，故共有种不同的排队方法。由分类加法计数原理，共有3000+720=3720种不同的排队方法。解法二：特殊位置优先法。不妨先考虑特殊位置排头位置，则可分为两类：第一类：排头位置由乙同学坐，则共有种不同的排队方法。第二类：排头位

6、置由除乙同学外的同学坐，则排头可由个不同的同学坐，而排尾也可由个不同的同学坐。故共有种不同的排队方法。由分类加法计数原理，共有3000+720=3720种不同的排队方法。解法三：间接法。“甲同学不排在排头，乙同学不排在排尾”的反面是“甲同学排在排头或乙同学排在排尾”。当甲同学排在排头时，共有种不同的排队方法。当乙同学排在排尾时，共有种不同的排队方法。两者重复一种情况：甲同学排在排头且乙同学排在排尾，其共有种不同的排队方法。故共有种不同的排队方法。点评：对含有多个限制条件的排列问题，应先分析每个限制条件，选择恰当的方案，使限制条件逐个满足，解答过程应注意特殊元素或特殊位置优先的原则。对于正面解决较为困难的问题也可采用间接法，但须防止重复或遗漏。