（新教材）2020-2021学年人教B版数学选择性必修三课件：5-4 数列的应用 .ppt

1、5.4数列的应用核心互动探究探究点一 等差数列的应用【典例1】某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1 150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后,买这40套住房实际花了多少钱?【思维导引】由题意知还款方式为“等额本金还款法”.设每次付款的金额顺次构成数列an,则an是等差数列.【解析】因购房时付150万元,则欠款1 000万元,依题意分20次付款,则每次付款的数额顺次构成数列an.则a1=50+1 0001%=60,a2=50+

2、(1 000-50)1%=59.5,a3=50+(1 000-502)1%=59,a4=50+(1 000-503)1%=58.5,所以an=50+1 000-50(n-1)1%=60-(n-1)(1n20,nN+).所以an是以60为首项,-为公差的等差数列.所以a10=60-9 =55.5.所以第10个月应付55.5万元.a20=60-19 =50.5.所以S20=(a1+a20)20=10(60+50.5)=1 105.所以实际共付1 105+150=1 255(万元).【类题通法】按等额本金还款问题的三个关键问题(1)规定多少时间还清全部款额.(2)在规定的时间内分几期付款.(3)每期

3、结算利息的计算公式.【解析】选B.由题意,可知:该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240 000元,所以两种还款方式的本金没有差额.因为该大学毕业生决定2019年8月初将剩余贷款全部一次还清.所以从2014年9月初第一次还款到2019年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也是一样的.所以按原约定所有还款数额-按现计划的所有还款数额=原约定还款方式从2019年9月起到最后还完这整60个月所还的利息.因为每月应还本金:240 000120=2 000(元).2019年8月还完后本金还剩24 0000-2 00060=120 000(元),所以2019年9月应还利息为120 000

4、0.5%,2019年10月应还利息为:0.5%,2019年11月应还利息为:0.5%,最后一次应还利息为:0.5%.后60个月所还的利息为:120 0000.5%+0.5%+0.5%+0.5%=0.5%=0.5%=18 300(元).【知识拓展】银行存款计息方式单利:单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金利率存期.以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S=P(1+nr).复利:把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是S=P(1+r)n.零存整取模型银行有一

5、种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.定期自动转存模型客户存款到期后,客户如不前往银行办理转存手续,银行可自动将到期的存款本息按相同存期一并转存.探究点二 等比数列的应用【典例2】某汽车销售公司为促销,采取了较为灵活的付款方式,对购买一辆10万元的轿车在1年内将款全部付清的前提下,可分3次付清,购买4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款,规定分期付款中,每期付款额相同,月利率为0.8%,每月利息按复利计算,即指上月利息要记入下月本金,问付款总额是多少?【解析】设每次付款额为x万元,第一次付款的现值为

6、万元,第二次付款的现值为万元,第三次付款的现值为万元,则+=10,所以x=3.552(万元).付款总额为33.55210.656万元.【互动探究】在本例中,若分12次付清,其他条件不变,付款总额又是多少?【解析】设每次付款额为m万元,第一次付款的现值为万元,第二次付款的现值为万元,第12次付款的现值为万元,则+=10,所以m=0.877(万元).付款总额为120.877 10.524(万元).【类题通法】等额本息还款问题的三个关键(1)规定多少时间还清全部款额.(2)在规定的时间内分几期付款.(3)每期所还钱的现值.【定向训练】陈老师购买安居工程集资房92平方米,单价为1 000元/平方米,一

7、次性国家财政补贴28 800元,学校补贴14 400元,余款由个人负担,房地产开发公司对教师实行分期付款,每期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一次再经过一年又付款一次,共付10次,10年后付清,如果按年利率7.5%,每年按复利计算,那么每年应付款多少元?(计算结果精确到百元)【解析】设每次付款额为x元,第一次付款的现值为元,第二次付款的现值为元,第10次付款的现值为元,则+=1 00092-(28 800+14 400),所以x=48 8001.07510 7 100(元).故每年需交款7 100元.探究点三 数列的综合应用【典例3】沿海某市为了进一步完善海防生态防护体系,林业部门计划

8、在沿海新建防护林3万亩,从2020年开始,每年春季在规划的区域内植树造林,第一年植树1 200亩,以后每一年比上一年多植树400亩,假设所植树木全部成活.(1)求到哪一年春季新建防护林计划全部完成;(2)若每亩新植树苗的木材量为2立方米,且所植树木每一年从春季开始生长,到年底停止生长时木材量的年自然增长率为10%,到新建防护林计划全部完成的那一年底,新建防护林的木材总量为多少立方米.(参考数据:1.1113)【思维导引】(1)设第n年春季植树为an亩,由题意知数列是首项为1200,公差为400的等差数列,利用等差数列的求和公式可得出方程,解出正整数的值,即可得出结论;(2)设从2020年开始第

9、n年年底的木材量为数列bn,根据题意分别计算出b1,b2,b10,并设S=b1+b2+b10,利用错位相减法可求得S,进而可得出结果.【解析】(1)设第n年春季植树为an亩,由题意可知a1=1 200,an+1-an=400=d(常数),所以为等差数列.设植树m年新建防护林计划全部完成,则1 200m+400=30 000,化简得m2+5m-150=0,所以m=10.因为2 020+10-1=2 029,所以到2029年新建防护林计划全部完成.(2)设从2020年开始第n年年底的木材量为数列bn,则b10=a1021.1,b9=a921.12,b1=a121.110.则木材总量S=b1+b2+

10、b10=2 ,1.1S=2 ,所以0.1S=2 =10 960,解得S=109 600,所以到2029年底新建防护林的木材总量为109 600立方米.【类题通法】解决与数列有关的实际应用题时,一定要理清各个量之间的关系,正确地将实际问题转化为数学模型,在数列求和时,首先要分清是何种数列,然后再利用相应公式求和.【定向训练】某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案,一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比上一年增加30%的利润;乙方案,每年贷款1万元,第一年便可获利1万元,以后每年比上一年多获利5千元.两种方案,使用期限都是十年,到期一次性归还本息,若银行贷款利息按年息10%的复利计算

11、,比较两种方案,哪个获利更多?(计算数据精确到千元,1.1102.594,1.31013.786)【解析】方案甲:十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9,所以S10=42.62(万元).又贷款本息总数为10(1+10%)10=101.11025.94(万元),甲方案净获利42.62-25.9416.7(万元).乙方案获利构成等差数列,首项为1,公差为,前10项和为=32.50(万元),而贷款本息总数为1.11+(1+10%)+(1+10%)9=1.1 17.53(万元),乙方案净获利32.50-

12、17.5315.0(万元).比较两方案可得甲方案获利较多.【补偿训练】政府鼓励创新、创业,银行给予低息贷款.一位大学毕业生想自主创业,经过市场调研、测算,有两个方案可供选择.方案1:开设一个科技小微企业,需要一次性贷款40万元,第一年获利是贷款额的10%,以后每年比上一年增加25%的利润.方案2:开设一家食品小店,需要一次性贷款20万元,第一年获利是贷款额的15%,以后每年都比上一年增加利润1.5万元.两种方案使用期限都是10年,到期一次性还本付息,两种方案均按年息2%的复利计算.试比较哪种方案净获利更多?(参考数据:1.2597.45,1.25109.3,1.0291.20,1.02101.

13、22)【解析】方案1:由题意知,每年的获利an成等比数列,且a1=4,公比q=1+25%=1.25,n=10,收入S1=132.8(万元);净获利W1=132.8-40(1+2%)10132.8-48.8=84(万元);方案2:由题意,每年的获利记为数列bn,它是等差数列,且b1=3,公差为1.5,n=10,收入S2=103+1091.5=30+67.5=97.5(万元).净获利:W2=97.5-20(1+2%)1097.5-24.4=73.1(万元),所以方案1净获利更多.【课堂小结】课堂素养达标1.某企业在2019年年初贷款M万元,年利率为m,从该年年末开始,每年偿还的金额都是a万元,并恰

14、好在10年间还清,则a的值等于()【解析】选C.由已知条件和分期付款公式可得,所以a=.2.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120,公差为5,那么这个多边形的边数n等于()A.12B.16C.9D.16或9【解析】选C.依题意可知,凸多边形的内角成等差数列,故内角和为n120+5=180,解得n=9或n=16.由于内角小于180,所以120+5180,n13,所以n=9,故选C.3.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后_分,该病毒占据64 MB(1 MB=210 KB).【解析】由题意可得每3分钟病毒

15、占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64 MB时自身复制了n次,即22n=64210=216,解得n=15,从而复制的时间为153=45(分).答案:454.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第2名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,则此科研单位共拿出_万元资金进行奖励.【解析】设第10名到第1名得到的资金数分别是a1,a2,a10,则an=Sn+1,则a1=2,an-an-1=(Sn+1)-(Sn-1+1)=(Sn-Sn-1)=an,即an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以2为首项,以2为公比的等比数列,所以S10=2 046.答案:2 0465.某大理石工厂初期花费98万元购买磨大理石刀具,第一年需要各种费用12万元,从第二年起,每年所需费用比上一年增加4万元,该大理石加工厂每年总收入50万元.(1)到第几年末总利润最大,最大值是多少?(2)到第几年末年平均利润最大,最大值是多少?【解析】(1)设n年后的总利润为y万元,则y=50n-98-=-2 +102,所以到第10年末总利润最大,最大值是102万元.(2)年平均利润为=-2 +40-28+40=12,当且仅当n=时,即n=7时,上式取等号.所以到第7年末平均利润最大,最大值是12万元.本课结束